MCD y mcm: cálculos alternativos y rápidos

Para hallar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm), no siempre es necesario descomponer todos los números en factores primos. Las divisiones sucesivas de Euclides permiten calcular rápidamente el MCD; de él se obtiene enseguida el mcm. Estas herramientas también sirven para tres o más números. Aquí trabajamos con enteros positivos.

¿Qué buscamos?

El MCD es el mayor entero positivo que divide todos los números dados. El mcm es el menor entero positivo múltiplo de todos ellos. Por ejemplo, si dos sucesos se repiten cada 24 y 36 minutos, el primer instante positivo en que vuelven a coincidir es su mcm. En cambio, el MCD indica la mayor unidad con la que se pueden dividir ambas duraciones en partes enteras sin resto.

Un MCD rápido: divisiones sucesivas

Calculemos MCD(84,132). Dividimos el mayor entre el menor y sustituimos la pareja por el divisor y el resto hasta que el resto sea cero:

132 = 84 × 1 + 48
84 = 48 × 1 + 36
48 = 36 × 1 + 12
36 = 12 × 3 + 0

El último resto no nulo es 12; por tanto, MCD(84,132) = 12. Esto funciona porque los divisores comunes de dos números son precisamente los divisores comunes del divisor y del resto: MCD(A,B) = MCD(B,A mod B).

Tres fórmulas para recordar

Para enteros positivos A, B y C:

mcm(A,B) = A × B / MCD(A,B)
MCD(A,B,C) = MCD(C,MCD(A,B))
mcm(A,B,C) = mcm(C,mcm(A,B))

Se trabaja con dos números cada vez; cambiar su orden no altera el resultado.

Del MCD al mcm sin otra descomposición

Con la primera fórmula, mcm(84,132) = 84 × 132 / 12 = 84 × 11 = 924. Conviene dividir antes de multiplicar para mantener pequeños los resultados intermedios. La comprobación es inmediata: 924 / 84 = 11 y 924 / 132 = 7.

¿Por qué funciona? En la factorización prima, el MCD toma el menor exponente de cada primo y el mcm el mayor. La suma del mínimo y el máximo es la suma de los dos exponentes iniciales; por eso MCD(A,B) × mcm(A,B) = A × B.

Un ejemplo completo con tres números

Tomemos 24, 36 y 50. Para el MCD, procedemos por parejas: MCD(24,36) = 12 y después MCD(50,12) = 2. Así, MCD(24,36,50) = 2.

Para el mcm, calculamos primero mcm(24,36) = 24 × 36 / 12 = 72. Después, MCD(72,50) = 2 y mcm(50,72) = 50 × 72 / 2 = 1800. Por tanto, mcm(24,36,50) = 1800: en efecto, 1800 / 24 = 75, 1800 / 36 = 50 y 1800 / 50 = 36.

Atajos útiles y un error que conviene evitar

• Si un número es múltiplo del otro, el MCD es el menor y el mcm el mayor: MCD(18,72) = 18 y mcm(18,72) = 72.
• Si el MCD es 1, los números son coprimos y su mcm es el producto: mcm(35,64) = 35 × 64 = 2240.
• La fórmula para dos números no se convierte en A × B × C / MCD(A,B,C) para tres números. En nuestro ejemplo daría 21600 en vez de 1800. Hay que aplicarla por parejas.

Inténtalo

Halla el MCD y el mcm de 18, 30 y 42 utilizando únicamente parejas sucesivas.

La estrategia es siempre la misma: hallar rápidamente el MCD mediante los restos, usar el producto dividido entre el MCD y repetir el procedimiento por parejas cuando haya tres o más números.