¿Quién ocupa la posición mil millones?

Consideremos una sucesión en la que 1 aparece una vez, 2 dos veces, 3 tres veces y así sucesivamente. ¿Qué número se encuentra exactamente en la posición mil millones? El intervalo ocupado por cada número permite responder sin construir mil millones de términos.

Este trabajo se preparó originalmente para el Curso de Docentes de Nuevo Ingreso 2011-2012 y se imprimió el 15 de mayo de 2012.

1. Resumen

Este trabajo corrige la solución atribuida a Ferdinando Arzarello para la UMI: 44722 no es el resultado correcto. La respuesta exacta es 44721. El punto esencial es que el número n no ocupa una sola posición, sino todo un intervalo de n posiciones.

2. El problema

Consideremos la siguiente sucesión de números naturales:

1  2 2  3 3 3  4 4 4 4  5 5 5 5 5  6 6 6 6 6 6  ...

Se escribe una vez el número 1, dos veces el número 2, tres veces el número 3 y, en general, n veces el número n. La pregunta es: ¿cuál es el término situado en la posición mil millones?

3. Una solución mediante intervalos

Para hallar la posición final del número 4, por ejemplo, sumamos los primeros cuatro números:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

La fórmula de Gauss proporciona la posición final del bloque que contiene n:

fin(n) = n(n + 1) / 2 = (n² + n) / 2

El bloque contiene n términos, por lo que su posición inicial es su posición final menos n - 1:

inicio(n) = n(n + 1) / 2 - (n - 1)
          = n(n - 1) / 2 + 1
          = (n² - n + 2) / 2

El número n ocupa todas las posiciones, extremos incluidos, desde (n² - n + 2)/2 hasta (n² + n)/2.

4. Comprobación con una hoja de cálculo

En Excel, o en cualquier otra hoja de cálculo, podemos crear tres columnas: n, posición inicial y posición final. Las primeras filas muestran cómo crecen los intervalos; las dos últimas son decisivas.

La respuesta exacta es el menor entero n que cumple fin(n) ≥ 1.000.000.000: ese entero es 44721. La posición 1.000.000.000 pertenece, en efecto, a su intervalo. El número 44722 comienza en la posición 1.000.006.282, más allá del término buscado. No indicar que existe un intervalo de posiciones puede generar confusión.

5. Modelización y aproximación

Representemos con I la posición inicial y con F la posición final del bloque de n:

I = (n² - n + 2) / 2
F = (n² + n) / 2

2I = n² - n + 2
2F = n² + n
2I + 2F = 2n² + 2
I + F = n² + 1
n² = I + F - 1

Si M = (I + F)/2 es el valor medio de las posiciones ocupadas por el número, entonces:

n² = 2M - 1

El cuadrado de n es exactamente el doble de la posición media menos 1. Como las funciones consideradas son crecientes, sustituir M por un número menor da una aproximación por defecto; sustituirlo por un número mayor da una aproximación por exceso. Si no conocemos las posiciones inicial y final, no podemos saber de qué lado cae la aproximación.

En este caso, usando directamente mil millones como valor de referencia, obtenemos:

√(2 · 1.000.000.000)     = 44.721,3595499958
√(2 · 1.000.000.000 - 1) = 44.721,3595388155

Ambos valores están muy cerca de la solución entera 44721. Para n = 44721, la posición media es:

M = (999.961.561 + 1.000.006.281) / 2
  = 999.983.921

Como 1.000.000.000 es mayor que esta media, 44.721,3595388155 es una aproximación por exceso. La comprobación mediante el intervalo demuestra finalmente, sin ambigüedad, que el término en la posición mil millones es 44721.

Preparado por Salvatore Mosaico.