Salvatore Mosaico · 2026
Índice
- 1. El problema inicial
- 2. Cómo se obtiene el modelo (4k, 3k)
- 3. Tres momentos y la primera solución
- 4. Versión 1: conocemos la suma actual
- 5. Versión 2: conocemos la suma futura
- 6. Versión 3: conocemos la edad de la persona mayor
- 7. Versión 4: conocemos la edad de la persona menor
- 8. Versión 5: diferencia conocida y problema invertido
- 9. Un modelo, cinco fórmulas rápidas
- 10. Qué aporta la colaboración con la IA
Un problema de edades puede parecer un laberinto de «cuando», «tenías» y «tendrás». Una vez comprendida su estructura, muchas versiones se convierten en aplicaciones del mismo modelo: (4k, 3k). Este artículo reelabora la conversación «Risolvi il problema d’età». Salvatore Mosaico ya había obtenido la razón 3/4 mediante una ecuación paramétrica; aquí la desarrollamos y aplicamos a distintas condiciones.
1. El problema inicial
«Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, entre los dos sumaremos 90 años. ¿Qué edades tenemos hoy?»
Quien habla es la persona mayor. Sean x su edad e y la de la persona menor, con x > y > 0. Consideramos edades como duraciones exactas, no como números de cumpleaños redondeados. La diferencia x − y permanece constante: al avanzar o retroceder sumamos o restamos el mismo tiempo a ambos.
La primera frase determina una razón; la segunda selecciona una pareja entre todas las compatibles. No partimos de 40 y 30 para comprobar el texto: queremos entender por qué deben aparecer esas edades.
2. Cómo se obtiene el modelo (4k, 3k)
Cuando la persona mayor tenía y años, habían transcurrido hacia atrás x − y años. La menor tenía entonces y − (x − y) = 2y − x. «Tengo el doble de la edad que tú tenías» se traduce en:
x = 2(2y − x)
x = 4y − 2x
3x = 4y
y/x = 3/4
Por tanto, x:y = 4:3. Todas las parejas compatibles se escriben:
(x, y) = (4k, 3k), k > 0
x − y = 4k − 3k = k
El parámetro positivo k es precisamente la diferencia de edad. Hemos deducido la razón, no adivinado una que funciona. Recíprocamente, con 4k y 3k, retroceder k años da 3k y 2k; 4k es el doble de 2k. El modelo es necesario y suficiente para la primera condición.
3. Tres momentos y la primera solución
Mantenemos siempre el mismo orden: persona mayor, persona menor. «Cuando tú tengas mi edad» significa alcanzar mi edad actual, no alcanzarme mientras yo sigo envejeciendo.
| Momento | Mayor | Menor | Suma |
|---|---|---|---|
| k años antes | 3k | 2k | 5k |
| Hoy: momento de la frase | 4k | 3k | 7k |
| k años después | 5k | 4k | 9k |
La suma futura es 5k + 4k = 9k. Como se propuso en la conversación, partimos directamente de 90:
k = 90/9 = 10
(4k, 3k) = (4 × 10, 3 × 10) = (40, 30)
Hoy tienen 40 y 30 años. Hace diez años tenían 30 y 20: 40 es el doble de 20. Dentro de diez tendrán 50 y 40, cuya suma es 90. Se comprueban ambas condiciones.
4. Versión 1: conocemos la suma actual
Se cumple la frase «Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes». Hoy nuestras edades suman 63. ¿Qué edades tenemos?
Usamos el mismo modelo. La suma actual contiene siete partes, no nueve:
7k = 63
k = 63/7 = 9
(4k, 3k) = (36, 27)
Las edades son 36 y 27 años. Hace nueve años tenían 27 y 18, y 36 es el doble de 18. Hoy 36 + 27 = 63. En general, con suma actual S, k = S/7 y las edades son (4S/7, 3S/7).
5. Versión 2: conocemos la suma futura
Se cumple la misma frase de base. Cuando la persona menor alcance la edad actual de la mayor, la suma será S. Determina las edades actuales.
En ese momento futuro las edades serán (5k, 4k), por lo que k = S/9. Pero buscamos las actuales: (4k, 3k). No confundamos ambos momentos.
9k = S
k = S/9
(4k, 3k) = (4S/9, 3S/9)
Con S = 90 recuperamos (40, 30). Con S = 54, k = 6 da (24, 18); la comprobación futura es 30 + 24 = 54. Con S = 63 obtenemos (28, 21), y con S = 27, (12, 9). Cambia el dato, no el procedimiento.
6. Versión 3: conocemos la edad de la persona mayor
«Tengo 24 años y el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes». ¿Qué edad tiene la otra persona?
La edad conocida corresponde a las cuatro partes:
4k = 24
k = 24/4 = 6
(4k, 3k) = (24, 18)
Las edades son 24 y 18 años. Hace seis años tenían 18 y 12, y 24 = 2 × 12. Si A es la edad de la persona mayor, k = A/4 y la pareja es (A, 3A/4). Con A = 40 obtenemos inmediatamente (40, 30).
7. Versión 4: conocemos la edad de la persona menor
La persona menor tiene 18 años. La mayor le dice la misma frase de base. ¿Qué edad tiene quien habla?
La edad conocida corresponde ahora a tres partes. Este ejemplo numérico aplica la cuarta fórmula de la conversación:
3k = 18
k = 18/3 = 6
(4k, 3k) = (24, 18)
Las edades vuelven a ser 24 y 18 años, pero partimos de un dato distinto. Si B es la edad de la persona menor, k = B/3 y la pareja es (4B/3, B). Dividir entre cuatro aquí atribuiría el dato a la persona equivocada.
8. Versión 5: diferencia conocida y problema invertido
Si la frase de base es cierta en el momento considerado y la diferencia es D, el parámetro ya es conocido: k = D. Las edades son (4D, 3D). Con D = 4 obtenemos (16, 12).
La variante propuesta por Salvatore Mosaico invierte la pregunta:
«Hoy tengo 69 años y tú tienes 65. Un día te dije: “Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes”. ¿Qué edades teníamos aquel día?»
El modelo (4k, 3k) debe cumplirse el día de la frase, no hoy. La diferencia, en cambio, no ha cambiado:
D = 69 − 65 = 4
k = D = 4
(4k, 3k) = (16, 12)
69 − 16 = 65 − 12 = 53
Tenían 16 y 12 años, hace 53 años. Para comprobar la frase retrocedemos otros cuatro años desde aquel día: tenían 12 y 8. Quien tenía dieciséis podía afirmar correctamente que tenía el doble de los 8 años que la otra persona tenía entonces.
Con edades actuales A > B, sea D = A − B. En el instante buscado las edades son (4D, 3D); el tiempo transcurrido es A − 4D = B − 3D. Un valor positivo indica el pasado, cero el presente y uno negativo el futuro: no siempre podemos decir que ocurrió en el pasado.
9. Un modelo, cinco fórmulas rápidas
| Dato conocido | Valor de k | Edades en el momento de la frase |
|---|---|---|
| Suma actual S | S/7 | (4S/7, 3S/7) |
| Suma futura S | S/9 | (4S/9, 3S/9) |
| Edad del mayor A | A/4 | (A, 3A/4) |
| Edad del menor B | B/3 | (4B/3, B) |
| Diferencia D | D | (4D, 3D) |
La razón 4:3 no permanece constante durante toda la vida: lo que permanece constante es la diferencia. El modelo describe el momento en que la frase de base es verdadera. Diez años después de (40, 30), las edades son (50, 40), que ya no están en razón 4:3.
No hace falta que k sea entero si admitimos edades fraccionarias. Para dos edades enteras en años, k debe ser entero: la suma actual debe ser múltiplo de 7 y la suma futura indicada múltiplo de 9. La fórmula siempre se interpreta junto con sus hipótesis.
10. Qué aporta la colaboración con la IA
La respuesta inicial de la IA presentó 40 y 30 y mostró que 4:3 funciona. Sin embargo, comprobar una pareja no equivale a deducir todas las soluciones. La referencia del autor a su anterior razón 3/4 y a la ecuación paramétrica permitió explicitar la estructura general.
El paso siguiente no fue resolver cada variante desde cero, sino utilizar siempre (4k, 3k) y obtener k directamente del dato disponible. La variante 69–65 distingue especialmente bien el presente del momento en que la frase era verdadera. La atribuimos al autor como propuesta de la conversación, sin reivindicar una prioridad histórica no verificada.
Comprender un modelo significa reconocer la misma estructura bajo enunciados distintos. La IA ayuda a desarrollar y comprobar los pasos; elegir qué generalizar y qué pregunta plantear da dirección al recorrido.
Portada fotográfica generada con IA: escena ilustrativa con personas ficticias, no una fotografía de los participantes en la conversación.