Salvatore Mosaico · 2026
Sommaire
- 1. Le problème de départ
- 2. Déduire le modèle (4k, 3k)
- 3. Trois moments et la première solution
- 4. Version 1 : la somme actuelle est connue
- 5. Version 2 : la somme future est connue
- 6. Version 3 : l’âge de la personne la plus âgée est connu
- 7. Version 4 : l’âge de la personne la plus jeune est connu
- 8. Version 5 : différence connue et problème inversé
- 9. Un modèle, cinq formules rapides
- 10. L’apport de la collaboration avec l’IA
Un problème d’âge peut sembler un labyrinthe de «quand», «avais» et «auras». Une fois la structure comprise, plusieurs versions deviennent des applications du même modèle : (4k, 3k). Cet article reprend la conversation «Risolvi il problema d’età». Salvatore Mosaico avait déjà obtenu le rapport 3/4 grâce à une équation paramétrique ; nous le développons et l’appliquons à différentes conditions.
1. Le problème de départ
«J’ai le double de l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as. Quand tu auras l’âge que j’ai aujourd’hui, nous aurons ensemble 90 ans. Quels sont nos âges actuels ?»
La personne qui parle est la plus âgée. Notons x son âge et y celui de la plus jeune, avec x > y > 0. Les âges sont des durées exactes, non des nombres d’anniversaires arrondis. La différence x − y est constante : avancer ou reculer dans le temps ajoute ou retranche la même durée aux deux personnes.
La première phrase détermine un rapport ; la seconde choisit une paire parmi toutes les paires compatibles. Au lieu de partir de 40 et 30 pour vérifier le texte, cherchons pourquoi ces âges doivent apparaître.
2. Déduire le modèle (4k, 3k)
Lorsque la personne la plus âgée avait y ans, c’était x − y années auparavant. La plus jeune avait alors y − (x − y) = 2y − x ans. «J’ai le double de l’âge que tu avais» devient :
x = 2(2y − x)
x = 4y − 2x
3x = 4y
y/x = 3/4
Ainsi x:y = 4:3. Toutes les paires compatibles s’écrivent :
(x, y) = (4k, 3k), k > 0
x − y = 4k − 3k = k
Le paramètre positif k est exactement la différence d’âge. Le rapport est déduit, non deviné. Réciproquement, avec 4k et 3k, reculer de k années donne 3k et 2k ; 4k est bien le double de 2k. Le modèle est donc nécessaire et suffisant pour la première condition.
3. Trois moments et la première solution
Gardons toujours le même ordre : personne la plus âgée, personne la plus jeune. «Quand tu auras mon âge» signifie atteindre mon âge actuel, non me rattraper pendant que je continue à vieillir.
| Moment | Aîné | Cadet | Somme |
|---|---|---|---|
| k années avant | 3k | 2k | 5k |
| Aujourd’hui : moment de la phrase | 4k | 3k | 7k |
| k années après | 5k | 4k | 9k |
La somme future est 5k + 4k = 9k. Comme proposé dans la conversation, partons directement de 90 :
k = 90/9 = 10
(4k, 3k) = (4 × 10, 3 × 10) = (40, 30)
Les âges actuels sont 40 et 30 ans. Dix ans auparavant, ils étaient 30 et 20 : 40 est le double de 20. Dans dix ans, ils seront 50 et 40, dont la somme vaut 90. Les deux conditions sont vérifiées.
4. Version 1 : la somme actuelle est connue
La phrase de base «J’ai le double de l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as» est vraie. La somme de nos âges actuels vaut 63. Quels sont nos âges ?
Le modèle ne change pas. La somme actuelle comporte sept parts, et non neuf :
7k = 63
k = 63/7 = 9
(4k, 3k) = (36, 27)
Les âges sont 36 et 27 ans. Neuf ans auparavant, ils étaient 27 et 18, et 36 est le double de 18. Aujourd’hui, 36 + 27 = 63. Pour une somme actuelle S, k = S/7 et les âges sont (4S/7, 3S/7).
5. Version 2 : la somme future est connue
La même phrase de base est vraie. Lorsque la personne la plus jeune atteindra l’âge actuel de la plus âgée, la somme sera S. Trouver les âges actuels.
À cet instant futur, les âges sont (5k, 4k), donc k = S/9. Mais les âges demandés sont ceux d’aujourd’hui : (4k, 3k). Ne confondons pas les deux moments.
9k = S
k = S/9
(4k, 3k) = (4S/9, 3S/9)
Pour S = 90, on retrouve (40, 30). Pour S = 54, k = 6 donne (24, 18) ; la vérification future est 30 + 24 = 54. Pour S = 63, on obtient (28, 21) ; pour S = 27, (12, 9). Les données changent, pas la méthode.
6. Version 3 : l’âge de la personne la plus âgée est connu
«J’ai 24 ans et le double de l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as.» Quel âge a l’autre personne ?
L’âge connu correspond aux quatre parts :
4k = 24
k = 24/4 = 6
(4k, 3k) = (24, 18)
Les âges sont 24 et 18 ans. Six ans auparavant, ils étaient 18 et 12, et 24 = 2 × 12. Si A est l’âge de la personne la plus âgée, k = A/4 et la paire est (A, 3A/4). Avec A = 40, on obtient immédiatement (40, 30).
7. Version 4 : l’âge de la personne la plus jeune est connu
La personne la plus jeune a 18 ans. La plus âgée lui dit la même phrase de base. Quel âge a la personne qui parle ?
L’âge connu correspond cette fois aux trois parts. Cet exemple numérique applique la quatrième formule de la conversation :
3k = 18
k = 18/3 = 6
(4k, 3k) = (24, 18)
Les âges sont encore 24 et 18 ans, mais la donnée est différente. Si B est l’âge de la personne la plus jeune, k = B/3 et la paire est (4B/3, B). Diviser par quatre ici attribuerait la donnée à la mauvaise personne.
8. Version 5 : différence connue et problème inversé
Si la phrase de base est vraie au moment considéré et si la différence vaut D, le paramètre est déjà connu : k = D. Les âges sont (4D, 3D). Avec D = 4, on obtient (16, 12).
La variante proposée par Salvatore Mosaico inverse la question :
«Aujourd’hui, j’ai 69 ans et tu en as 65. Un jour, je t’ai dit : “J’ai le double de l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as.” Quels âges avions-nous ce jour-là ?»
Le modèle (4k, 3k) doit être valable le jour de la phrase, pas aujourd’hui. La différence d’âge, elle, est restée identique :
D = 69 − 65 = 4
k = D = 4
(4k, 3k) = (16, 12)
69 − 16 = 65 − 12 = 53
Ils avaient 16 et 12 ans, il y a 53 ans. Pour vérifier la phrase, reculons encore de quatre années à partir de ce jour : ils avaient 12 et 8 ans. La personne de seize ans pouvait donc dire qu’elle avait le double des 8 ans de l’autre à cet instant antérieur.
Pour des âges actuels A > B, posons D = A − B. Au moment recherché, les âges sont (4D, 3D) ; le temps écoulé vaut A − 4D = B − 3D. Une valeur positive indique le passé, zéro le présent et une valeur négative le futur : ce moment n’est pas nécessairement passé.
9. Un modèle, cinq formules rapides
| Donnée connue | Valeur de k | Âges au moment de la phrase |
|---|---|---|
| Somme actuelle S | S/7 | (4S/7, 3S/7) |
| Somme future S | S/9 | (4S/9, 3S/9) |
| Âge de l’aîné A | A/4 | (A, 3A/4) |
| Âge du cadet B | B/3 | (4B/3, B) |
| Différence D | D | (4D, 3D) |
Le rapport 4:3 n’est pas constant toute la vie : c’est la différence qui l’est. Le modèle décrit le moment où la phrase de base est vraie. Dix ans après (40, 30), les âges sont (50, 40), qui ne sont plus dans le rapport 4:3.
Le paramètre k peut être non entier si l’on accepte des âges fractionnaires. Pour deux âges entiers en années, k doit être entier : la somme actuelle est alors un multiple de 7 et la somme future considérée un multiple de 9. Une formule se lit toujours avec ses hypothèses.
10. L’apport de la collaboration avec l’IA
Dans sa première réponse, l’IA a présenté 40 et 30 et montré que 4:3 fonctionne. Vérifier une paire n’est pourtant pas déduire toutes les solutions. Le rappel par l’auteur de son ancien rapport 3/4 et de l’équation paramétrique a permis d’expliciter la structure générale.
L’étape suivante consistait à ne pas tout recommencer pour chaque variante : utiliser systématiquement (4k, 3k) et déterminer k directement à partir de la donnée. La variante 69–65 distingue particulièrement bien aujourd’hui du moment où la phrase était vraie. Nous l’attribuons à l’auteur comme proposition de la conversation, sans revendiquer une priorité historique non vérifiée.
Comprendre un modèle, c’est reconnaître une même structure sous des formulations différentes. L’IA aide à développer et vérifier les étapes ; choisir ce que l’on généralise et quelle question poser donne sa direction au travail.
Couverture photographique générée par IA : scène illustrative avec des personnes fictives, et non photographie des participants à la conversation.