Salvatore Mosaico · 2026
Índice
- 1. Dos historias, un mismo problema
- 2. ¿Clasificar por tema o por idea?
- 3. A — Empezar por el final
- 4. B — Buscar lo que no cambia
- 5. C — Hacer comparable la información
- 6. D — Aislar la diferencia
- 7. E — Hacer una suposición sencilla y corregirla
- 8. F — Quitar la parte común
- 9. G — Pasar por la unidad
- 10. H — Calcular lo que no buscamos
- 11. I — Entender cuántas veces contamos
- 12. L — Cambiar la forma de mirar
- 13. Las clases no son cajas cerradas
- 14. Tres problemas sin etiqueta
- 15. El papel de la IA: ayudar a reconocer, no solo a responder
- 16. Conclusión — Aprender a reconocer, no solo a ejecutar
Problemas diferentes pueden esconder la misma estructura. Aprender a reconocerla significa pasar de buscar una fórmula a construir un razonamiento.
1. Dos historias, un mismo problema
El docente escribe en la pizarra:
En un corral hay 20 animales, entre gallinas y conejos. En total se cuentan 56 patas. ¿Cuántos conejos hay?
Después, sin resolverlo, plantea una segunda pregunta:
Un cine vende 20 entradas: algunas cuestan 10 euros y otras 20 euros. La recaudación total es de 280 euros. ¿Cuántas entradas de 20 euros se vendieron?
Docente: ¿Se parecen estos dos problemas?
Estudiante: No mucho. En el primero hay animales; en el segundo, entradas.
Docente: Olvidemos por un momento los animales y el cine. En ambos conocemos el número total de objetos. Cada objeto aporta una cantidad pequeña o una grande. También conocemos la suma de las aportaciones. ¿Qué buscamos?
Estudiante: Cuántos objetos aportan la cantidad mayor.
Hemos encontrado algo más importante que una semejanza entre palabras: la misma estructura matemática.
En el corral imaginamos que los 20 animales son gallinas: 20 × 2 = 40 patas. Faltan 16. Sustituir una gallina por un conejo añade dos patas, por lo que (56 − 40) / 2 = 8 conejos.
En el cine imaginamos que todas las entradas cuestan 10 euros: 20 × 10 = 200 euros. Faltan 80 euros. Cada entrada de 20 euros en lugar de una de 10 añade 10 euros: (280 − 200) / 10 = 8 entradas.
El procedimiento no depende de que las dos respuestas sean 8. Depende de que cada sustitución corrija el total en una cantidad constante.
Este diálogo es una simulación didáctica, no la transcripción de una clase real.
2. ¿Clasificar por tema o por idea?
Estamos acostumbrados a clasificar los problemas por temas: aritmética, álgebra, geometría, probabilidad. Es útil: indica qué objetos matemáticos estudiamos. Pero no siempre sugiere cómo abordarlos.
Existe otra pregunta:
¿Qué idea podría hacer más sencillo este problema?
Un problema de edades y otro sobre dos depósitos pueden compartir una diferencia que no cambia. Una pregunta de probabilidad y otra de superficies pueden resolverse calculando primero la parte complementaria. Una compra y una balanza pueden requerir eliminar una cantidad común.
Podemos, por tanto, organizar los problemas por estrategias de resolución. Lo que sigue es una propuesta didáctica, no una clasificación oficial ni exhaustiva. Las letras sirven de orientación: no identifican compartimentos separados. Un mismo problema puede utilizar varias estrategias.
| Clase | Idea central | Pregunta que hacerse |
|---|---|---|
| A | Razonar hacia atrás | ¿Puedo empezar por el final? |
| B | Buscar un invariante | ¿Qué no cambia? |
| C | Uniformar | ¿Puedo hacer comparable la información? |
| D | Estudiar la diferencia | ¿Cuánto hay de más o de menos? |
| E | Hacer una suposición cómoda y corregirla | ¿Cuánto vale cada corrección? |
| F | Eliminar la parte común | ¿Qué puedo quitar de ambas situaciones? |
| G | Reducir a la unidad | ¿Cuánto corresponde a uno? |
| H | Calcular el complemento | ¿Es más fácil encontrar lo que no busco? |
| I | Utilizar el doble conteo | ¿Cuántas veces cuento cada elemento? |
| L | Cambiar de representación | ¿Un dibujo o un esquema haría visible la estructura? |
Exploremos estas ideas mediante diez pequeños talleres.
3. A — Empezar por el final
Pienso un número, lo multiplico por 3, sumo 5 y obtengo 26. ¿Cuál era el número?
Podemos plantear una ecuación, pero también recorrer la historia al revés. La última operación fue sumar 5. La deshacemos: 26 − 5 = 21. Antes se había multiplicado por 3. Deshacemos esa operación dividiendo: 21 / 3 = 7.
El número inicial era 7. Comprobamos avanzando de nuevo: 7 × 3 + 5 = 26.
La regla no consiste solo en hacer las operaciones inversas: hay que hacerlas en orden inverso. Esta estrategia es especialmente útil para transformaciones sucesivas, gastos, trasvases y reconstrucciones de cantidades iniciales.
Sin embargo, hay un límite importante: no todas las operaciones conservan información suficiente para retroceder de manera única. Si el cuadrado de un número es 9, ese número podría ser 3 o −3. También debemos conocer las condiciones del problema.
4. B — Buscar lo que no cambia
Un padre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años el padre tendrá el doble de la edad del hijo?
Las edades cambian. Su razón cambia. Pero la diferencia permanece: 40 − 10 = 30. Cada año ambos cumplen un año más, por lo que el padre seguirá teniendo 30 años más que el hijo.
Cuando el padre tenga el doble de la edad del hijo, podemos representar al hijo con una parte y al padre con dos partes. La diferencia será una parte, precisamente la edad del hijo. Esa parte debe valer 30 años.
El hijo deberá pasar de 10 a 30 años: 30 − 10 = 20. Dentro de 20 años tendrán 60 y 30 años, respectivamente.
No hemos seguido por separado dos cantidades cambiantes: hemos encontrado una relación estable. Un invariante puede ser una diferencia, una suma, un área, un resto o una paridad. Pero no basta con intuirlo: hay que explicar por qué las transformaciones permitidas lo conservan.
5. C — Hacer comparable la información
Mary, Nellie y Susie se reparten 770 castañas. Por cada 4 castañas que recibe Mary, Nellie recibe 3. Por cada 6 castañas que recibe Mary, Susie recibe 7. ¿Cómo se hace el reparto?
Mary aparece en ambas relaciones, pero con dos cantidades distintas: 4 y 6. Podemos igualarlas siguiendo un único reparto.
Mary y Nellie empiezan así: 4 para Mary, 3 para Nellie. Para que Mary pase de 4 a 6 añadimos 2, la mitad de 4. Nellie también debe recibir la mitad de su parte inicial: 3 / 2 = 1,5.
Obtenemos 6 para Mary, 4,5 para Nellie. Ahora podemos incorporar a Susie, porque ya conocemos su parte cuando Mary tiene 6: 6 para Mary, 4,5 para Nellie, 7 para Susie.
Estas son partes proporcionales, no castañas ya entregadas físicamente. Para eliminar la media unidad duplicamos todo: 12, 9, 14.
El 12 aparece al final, como consecuencia del razonamiento: no hemos tenido que buscarlo previamente mediante el mínimo común múltiplo.
Un grupo completo contiene 12 + 9 + 14 = 35 castañas. Con 770 castañas formamos 770 / 35 = 22 grupos. Por tanto:
Mary = 12 × 22 = 264
Nellie = 9 × 22 = 198
Susie = 14 × 22 = 308
Uniformar significa llevar la información a una base común para poder utilizarla conjuntamente.
6. D — Aislar la diferencia
Anna tiene 8 años más que Luca. Sus edades suman 32 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Imaginemos que quitamos a Anna solo los 8 años de más. La suma pasa a ser 32 − 8 = 24. Ahora tenemos dos edades iguales a la de Luca: 24 / 2 = 12.
Luca tiene 12 años y Anna 12 + 8 = 20 años.
De este razonamiento nace una fórmula general. Si dos cantidades tienen suma S y diferencia d, la menor es (S − d) / 2 y la mayor (S + d) / 2.
La fórmula no es algo que haya que memorizar sin motivo: resume una operación comprensible.
7. E — Hacer una suposición sencilla y corregirla
Volvamos al corral de gallinas y conejos. Decir «supongamos que todos son gallinas» no es un intento al azar. Sabemos que la suposición no describe la situación final, pero la elegimos porque proporciona una base sencilla.
La diferencia es 56 − 20 × 2 = 16. Cada sustitución añade 4 − 2 = 2 patas. El número de sustituciones es, por tanto, 16 / 2 = 8.
Podemos generalizar. Tenemos N objetos. Cada uno aporta a o b, con b > a. La aportación total es T. Si todos aportaran a, tendríamos Na. Cada cambio de a a b añade b − a. El número x de objetos del segundo tipo es:
x = (T − Na) / (b − a), b > a
Es un razonamiento por suposición y corrección, relacionado con la falsa posición. La condición decisiva es que cada corrección tenga el mismo efecto. No podemos aplicar automáticamente este mecanismo a una situación no lineal.
Si los objetos son indivisibles, el resultado también debe ser un entero entre 0 y N. Esta comprobación forma parte de la solución.
8. F — Quitar la parte común
Un bocadillo y una bebida cuestan 7 euros. El mismo bocadillo y tres bebidas cuestan 11 euros. ¿Cuánto cuesta una bebida?
El bocadillo aparece en ambas compras y tiene el mismo precio. La diferencia entre las compras son dos bebidas. La diferencia de precio es 11 − 7 = 4 euros. Por tanto, dos bebidas cuestan 4 euros y una cuesta 4 / 2 = 2 euros.
No es necesario conocer primero el precio del bocadillo. Llamamos P al precio del bocadillo y B al de la bebida:
P + B = 7
P + 3B = 11
(P + 3B) − (P + B) = 11 − 7
2B = 4
B = 2
No hemos hecho algo opuesto al álgebra: hemos comprendido de manera concreta el principio en el que se basa la eliminación algebraica.
Si la parte común todavía no es igual, podemos igualarla primero y eliminarla después. Las estrategias C y F se convierten en dos pasos del mismo recorrido.
9. G — Pasar por la unidad
Cinco kilogramos de manzanas cuestan 12 euros. ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos, al mismo precio por kilogramo?
Primero encontramos el precio de un kilogramo: 12 / 5 = 2,40 euros. Después reconstruimos el coste pedido: 2,40 × 8 = 19,20 euros.
5 kg → 1 kg → 8 kg
La reducción a la unidad hace explícito el significado de la proporcionalidad. Pero la hipótesis «al mismo precio por kilogramo» es esencial. Si hubiera un coste fijo, un descuento por cantidad o tarifas por tramos, habría que adaptar el razonamiento.
Antes de operar debemos comprobar qué relación une las cantidades.
10. H — Calcular lo que no buscamos
Lanzamos un dado equilibrado cuatro veces, con lanzamientos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?
«Al menos un 6» incluye varias posibilidades: uno, dos, tres o cuatro resultados iguales a 6. El suceso complementario es mucho más sencillo: no obtener ningún 6.
En cada lanzamiento, la probabilidad de no obtener 6 es 5/6. Por la independencia de los cuatro lanzamientos, la probabilidad de no obtener nunca 6 es (5/6)⁴.
Los sucesos «al menos un 6» y «ningún 6» no pueden ocurrir juntos y cubren todas las posibilidades. La probabilidad buscada es, por tanto:
1 − (5/6)⁴ = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 51,8%
El complemento no consiste solo en «hacer una resta». Consiste en elegir el suceso más fácil de calcular. Hay que formular bien la negación: lo contrario de «al menos uno» es «ninguno», no «no todos».
11. I — Entender cuántas veces contamos
En una fiesta hay 10 personas. Cada una estrecha la mano de todas las demás una sola vez. ¿Cuántos apretones de manos se producen?
Cada persona se encuentra con otras 9: 10 × 9 = 90. Pero hemos contado cada apretón dos veces, una desde la perspectiva de cada participante. Por tanto, 90 / 2 = 45.
Una formulación más precisa distingue los apretones de manos de las participaciones en ellos: las 10 personas producen 90 participaciones en total; cada apretón contiene exactamente 2 participaciones. Si S es el número de apretones, 2S = 90.
Para n personas obtenemos:
S = n(n − 1) / 2
La pregunta útil no es «¿debo dividir entre dos?», sino ¿cuántas veces ha contado mi procedimiento cada objeto? La multiplicidad no siempre es dos. Tampoco es siempre igual para todos los objetos; en ese caso hace falta otro razonamiento.
12. L — Cambiar la forma de mirar
¿Cuánto vale la suma de los primeros n enteros positivos impares?
Calcular algunos ejemplos sugiere una regla:
1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
Pero unos cuantos ejemplos no demuestran que la regla se cumpla siempre. Pasemos de la aritmética a la geometría.
Para transformar un cuadrado de lado n − 1 en uno de lado n, añadimos un borde en forma de L: una tira de n casillas y otra de n − 1. El número de casillas añadidas es n + (n − 1) = 2n − 1, precisamente el enésimo número impar.
Partiendo de la primera casilla y añadiendo estos bordes construimos, por tanto, un cuadrado de lado n:
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n²
El dibujo no sirve para adornar una explicación ya terminada: hace visible la razón por la que funciona la fórmula. Cambiar de representación puede significar convertir un texto en un esquema, un porcentaje en una fracción, una lista en una tabla o un encuentro entre personas en una conexión entre puntos.
13. Las clases no son cajas cerradas
Sería un error transformar esta propuesta en otro ejercicio de etiquetado: «¿Este problema es de clase C o F?». A menudo, la mejor respuesta es: de ambas.
Podemos igualar dos situaciones, eliminar la parte común y finalmente reducir a la unidad. En el problema de edades podemos usar un invariante y una representación por partes al mismo tiempo. Las estrategias son herramientas que colaboran, no categorías excluyentes.
El álgebra también conserva su función. Permite expresar relaciones de forma compacta, generalizarlas y abordar problemas en los que el razonamiento concreto resulta difícil de manejar.
El objetivo no es evitar las ecuaciones a toda costa. Es evitar escribir una ecuación sin haber entendido qué representa.
14. Tres problemas sin etiqueta
Antes de abrir las soluciones, intenta elegir una pregunta de la tabla inicial.
Problema 1 — El dinero restante
Gasto la mitad del dinero que tengo y después otros 6 euros. Me quedan 15 euros. ¿Cuánto tenía inicialmente?
Mostrar la solución razonada
Razonar hacia atrás. Antes de gastar los últimos 6 euros tenía 15 + 6 = 21 euros. Era la mitad del dinero inicial, así que tenía 42 euros. Comprobación: 42 − 21 − 6 = 15.
Problema 2 — Dos compras
Dos cuadernos y tres bolígrafos cuestan 14 euros. Cuatro cuadernos y tres bolígrafos cuestan 22 euros. ¿Cuánto cuestan un cuaderno y un bolígrafo?
Mostrar la solución razonada
Eliminar la parte común. Los tres bolígrafos son iguales en ambas compras. Dos cuadernos más cuestan 22 − 14 = 8 euros: un cuaderno cuesta 4 euros. En la primera compra quedan 14 − 8 = 6 euros para tres bolígrafos: un bolígrafo cuesta 2 euros. Comprobación: 2 × 4 + 3 × 2 = 14 y 4 × 4 + 3 × 2 = 22.
Problema 3 — Un salto imposible
Parto del número 0 y puedo sumar o restar 4 en cada movimiento. ¿Puedo llegar a 2026?
Mostrar la solución razonada
Buscar un invariante. Partiendo de 0 y sumando o restando 4 solo se alcanzan múltiplos de 4. El resto al dividir entre 4 permanece en cero. Como 2026 = 4 × 506 + 2, no se puede llegar a 2026.
No hace falta probar miles de secuencias de movimientos. Una propiedad común a todas ellas resuelve la cuestión.
15. El papel de la IA: ayudar a reconocer, no solo a responder
Un asistente de inteligencia artificial puede ofrecer rápidamente una solución. Pero también puede convertirse en una herramienta para comparar razonamientos. En lugar de pedir únicamente «resuelve», podemos preguntar:
- ¿Qué relación permite resolver este problema?
- Propón un problema con una historia diferente, pero con la misma estructura.
- Muestra primero el razonamiento concreto y después tradúcelo al álgebra.
- ¿Qué hipótesis hace válido este paso?
- Encuentra un caso en el que no se pueda aplicar el método.
La comprobación sigue siendo indispensable. Un texto convincente puede ocultar datos incoherentes, una hipótesis omitida o una generalización sin demostrar. Tampoco basta con asignar una clase: hay que explicar dónde interviene esa estrategia y por qué es válida.
La colaboración resulta más interesante cuando la IA ayuda a producir ejemplos y comparaciones, mientras quien enseña orienta la elección de preguntas, la progresión y la comprobación.
16. Conclusión — Aprender a reconocer, no solo a ejecutar
Después de resolver muchos problemas, un estudiante puede haber aprendido muchos procedimientos. O puede haber empezado a reconocer unas pocas ideas profundas que reaparecen en situaciones distintas. Esta segunda posibilidad es la que queremos cultivar.
Ante un nuevo enunciado, la primera pregunta no tiene por qué ser «¿Qué fórmula debo usar?». Puede ser: «¿Puedo empezar por el final? ¿Qué permanece constante? ¿Puedo igualar dos cantidades? ¿Qué puedo eliminar? ¿Es más sencillo calcular el complemento? ¿Estoy contando algo varias veces?»
Estas preguntas no garantizan una solución inmediata. Dan una dirección a la búsqueda.
Un problema resuelto nos proporciona una respuesta. Una estructura reconocida nos ayuda a abordar muchos más.