Desde regiones de Venn hasta familias de subconjuntos, imágenes de funciones y conjuntos infinitos: diez retos avanzados con soluciones ocultas. |A| es cardinalidad; A∖B, diferencia; AΔB=(A∖B)∪(B∖A), diferencia simétrica; 𝒫(A), conjunto de partes. C(n,k) cuenta elecciones de k elementos entre n. Las intersecciones dobles incluyen la triple. Las áreas de las figuras son esquemáticas, no proporcionales a las cardinalidades.
- Reconstruir ocho regiones
- ¿Qué intersecciones triples son posibles?
- Las distancias simétricas no lo cuentan todo
- Una diferencia simétrica anidada
- Un conjunto desconocido con restricciones
- El conjunto de partes no distribuye sobre la unión
- Cuatro conjuntos y un archivo imposible
- ¿Cuándo conserva la imagen la intersección?
- Una gran familia sin elemento común
- Infinitas veces no significa siempre desde cierto momento
1. Reconstruir ocho regiones
En un universo de 120 elementos: |A|=70, |B|=65, |C|=60, |A∩B|=40, |A∩C|=35, |B∩C|=30. Diez elementos están fuera de los tres. Encuentra las ocho regiones y las cantidades en exactamente uno y exactamente dos conjuntos.
Pista
Empieza por la unión y la intersección triple.
Solución con diagrama
1. La unión tiene 110 elementos. Inclusión-exclusión resta intersecciones dobles y añade la triple t:
|A∪B∪C|=120−10=110 110=70+65+60−40−35−30+t t=20 AB: 40−20=20; AC: 35−20=15; BC: 30−20=10
2. Las regiones dobles exclusivas son 20,15,10. Solo A vale 70−40−35+20=15; solo B y solo C también valen 15.
Comprobación. Exactamente uno: 45; dos: 45; tres: 20; ninguno: 10. Total 120.
2. ¿Qué intersecciones triples son posibles?
|U|=100, |A|=60, |B|=55, |C|=50. Las intersecciones AB, AC y BC tienen tamaños 35,30,25. Encuentra todos los enteros posibles t=|A∩B∩C| y demuestra que cada uno se puede realizar.
Pista
Toda región, también la exterior, debe tener cardinalidad no negativa.
Solución con diagrama
1. Solo A vale 60−35−30+t=t−5, como solo B y solo C. Cada región doble exclusiva es la intersección correspondiente menos t.
|A∪B∪C|=165−90+t=75+t A solo = B solo = C solo = t−5 AB solo=35−t; AC solo=30−t; BC solo=25−t U ∖ (A∪B∪C): 25−t 5 ≤ t ≤ 25, t ∈ ℤ
2. Las regiones simples exigen t≥5; BC exclusiva y el exterior exigen t≤25.
3. Para cada entero de 5 a 25, las ocho cantidades son no negativas y suman 100. Construye grupos disjuntos de esos tamaños y forma A,B,C reuniendo los apropiados. Así se realizan exactamente 5,…,25.
3. Las distancias simétricas no lo cuentan todo
En un universo de tamaño 60, |AΔB|=24, |AΔC|=30, |BΔC|=26, |A∩B∩C|=8 y |A|+|B|+|C|=92. Encuentra cuántos elementos pertenecen a exactamente uno, dos, tres o ningún conjunto. ¿Queda determinada cada región?
Pista
Un elemento presente en uno o dos conjuntos cuenta dos veces en las diferencias simétricas.
Solución con diagrama
1. Sean n₁,n₂,n₃ los recuentos exactos. Los exteriores y triples no contribuyen a ninguna diferencia simétrica; todos los demás contribuyen dos veces.
2(n₁+n₂)=24+30+26=80 n₃=8 n₁+2n₂+3·8=92 n₂=28; n₁=12 |A∪B∪C|=12+28+8=48
2. Exactamente uno: 12; dos: 28; tres: 8; ninguno: 12.
3. Las regiones no son únicas. Otra configuración distinta de la figura es: solo A 5, solo B 1, solo C 6; AB exclusiva 10, AC exclusiva 9, BC exclusiva 9; triple 8, exterior 12. Satisface los mismos datos.
4. Una diferencia simétrica anidada
Simplifica E=((A∪B)∖C) Δ ((A∖B)∪(C∖A)) sin diferencia simétrica, con como máximo una unión, una intersección triple y una diferencia. Demuestra la identidad por regiones.
Pista
Usa tres bits de pertenencia.
Solución con diagrama
1. En el orden 000,100,010,001,110,101,011,111, el primer operando vale 0,1,1,0,1,0,0,0; el segundo 0,1,0,1,0,1,1,0.
2. La disyunción exclusiva da 0,0,1,1,1,1,1,0: todo B∪C salvo la triple intersección.
E=((A∪B)∖C) Δ ((A∖B)∪(C∖A)) E=(B∪C)∖(A∩B∩C)
3. Las ocho posibilidades cubren todos los casos, incluso para conjuntos infinitos. Una región vacía no invalida la demostración.
5. Un conjunto desconocido con restricciones
U={1,…,12}, A={1,…,7}, B={1,…,10}, C={2,4,6,8,10,12}, D={2,6,8,10}. Encuentra todos los X⊆U con X∪A=B, X∩C=D y |X|=7. ¿Cuántos hay?
Pista
Separa elementos obligatorios, prohibidos y libres.
Solución con diagrama
1. La unión obliga a incluir 8,9,10 y prohíbe 11,12. Los de A siguen inicialmente libres.
2. La intersección obliga a 2,6, confirma 8,10 y prohíbe 4,12. Quedan libres 1,3,5,7 y ya hay cinco obligatorios.
B∖A={8,9,10}
D∩A={2,6}
A∖C={1,3,5,7}
X={2,6,8,9,10}∪Y
Y⊆{1,3,5,7}, |Y|=2
C(4,2)=63. Elige dos libres: 6 soluciones. Los Y posibles son {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}. Añadir cada uno al grupo obligatorio da todas las soluciones.
6. El conjunto de partes no distribuye sobre la unión
A,B son finitos, |A∩B|=2, |𝒫(A)|=2|𝒫(B)| y |𝒫(A)∪𝒫(B)|=44. Encuentra sus tamaños y cuántos subconjuntos de A∪B no están contenidos enteramente ni en A ni en B. Demuestra cuándo 𝒫(A∪B)=𝒫(A)∪𝒫(B).
Pista
La identidad con intersección sí vale; con unión no siempre.
Solución con diagrama
1. Sean a=|A| y b=|B|. Hay 2ᵃ y 2ᵇ subconjuntos. Su intersección es 𝒫(A∩B), con cuatro miembros. Aplicamos inclusión-exclusión:
a=|A|, b=|B| 2ᵃ=2·2ᵇ 2ᵃ+2ᵇ−2²=44 3·2ᵇ=48 ⇒ b=4, a=5 |A∪B|=5+4−2=7 2⁷−44=84
2. Los tamaños son 5 y 4. De los 128 subconjuntos de la unión, 44 están enteramente en alguno de los conjuntos; los restantes son 84.
3. La igualdad vale si A⊆B o B⊆A. Si no, elige a∈A∖B y b∈B∖A: {a,b} pertenece al conjunto de partes de la unión, pero no al de A ni al de B. Esto prueba la necesidad.
7. Cuatro conjuntos y un archivo imposible
Un archivo declara 40 elementos. Cuatro categorías tienen 20 cada una; cada una de las seis intersecciones dobles tiene 8, cada una de las cuatro triples tiene 3 y la cuádruple tiene 1. ¿Es posible? ¿Cuál es el universo mínimo que realiza los datos?
Pista
Usa dieciséis regiones, no cuatro círculos ordinarios.
Solución con diagrama
1. Inclusión-exclusión da una unión de 43: 40 es imposible.
2. Las regiones exclusivas valen: cuádruple 1; cada triple 3−1=2; cada doble 8−3−3+1=3; cada simple 20−24+9−1=4.
|A∪B∪C∪D|=4·20−6·8+4·3−1=43 n₄=1 n₃=4(3−1)=8 n₂=6(8−3−3+1)=18 n₁=4(20−3·8+3·3−1)=16
3. Cuatro grupos de 4, seis de 3, cuatro de 2 y uno de 1 suman 43 y realizan los datos. El exterior puede estar vacío. Demostramos que el mínimo se alcanza, no solo una cota inferior.
8. ¿Cuándo conserva la imagen la intersección?
U={1,…,8}, V={p,q,r,s}. Las fibras son {1,2,3} para p, {4,5} para q, {6} para r y {7,8} para s. Fija A={1,4,6,7}. ¿Cuántos B⊆U cumplen f(A∩B)=f(A)∩f(B)? Explica por qué no siempre hay igualdad.
Pista
Trabaja por separado en cada fibra.
Solución con diagrama
1. A toca cada fibra, por lo que f(A)=V. En cada fibra B debe estar vacío o contener algún elemento de A; si no, su imagen aparece a la derecha pero no a la izquierda.
2. Una fibra de m elementos con a en A permite una elección vacía, o un subconjunto no vacío de esos a elementos junto con uno cualquiera de los otros m−a.
N(m,a)=1+(2ᵃ−1)2ᵐ⁻ᵃ N(3,1)=5; N(2,1)=3; N(1,1)=2 5·3·2·3=90
3. Multiplicando las elecciones resultan 90. Contraejemplo: B={2} da {p} a la derecha y vacío a la izquierda. La inclusión de izquierda a derecha siempre vale, la igualdad no.
9. Una gran familia sin elemento común
Para U={1,2,3,4,5,6}, encuentra el máximo tamaño de una familia ℱ de subconjuntos distintos en la que cada par de miembros distintos se interseca, pero la intersección global está vacía. Demuestra la cota y construye un ejemplo que la alcance.
Pista
Empareja cada subconjunto con su complementario.
Solución con diagrama
1. Los 64 subconjuntos forman 32 parejas complementarias. Puede elegirse como máximo uno de cada pareja, porque son disjuntos. Así |ℱ|≤32.
2. Toma todos los subconjuntos de tamaño al menos cuatro y todas las ternas que contienen 1.
|𝒫(U)|=2⁶=64
|ℱ|≤64/2=32
ℱ={S⊆U: |S|≥4} ∪ {S⊆U: |S|=3, 1∈S}
|ℱ|=C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)+C(5,2)
=15+6+1+10=323. Dos conjuntos grandes se intersecan. Uno grande y una terna también: sus tamaños suman al menos siete en un universo de seis. Dos ternas elegidas comparten 1.
4. Cada elemento falta en algún subconjunto de cuatro elementos que pertenece a la familia. La intersección global es vacía. El máximo es 32.
10. Infinitas veces no significa siempre desde cierto momento
Para n≥1 define Aₙ=[0,2−1/n]∪{3} si n es par, y Aₙ=[−1+1/n,1]∪{4} si es impar. Encuentra los puntos que pertenecen para todo n suficientemente grande (lim inf) y para infinitos n (lim sup). Examina −1,0,1,2,3,4.
Pista
Separa índices pares e impares.
Solución con diagrama
1. Todo [0,1] pertenece siempre. Los puntos de (−1,0) aparecen para todos los impares suficientemente grandes, pero nunca para pares; los de (1,2) hacen lo contrario.
2. −1 y 2 nunca aparecen. 3 aparece solo en pares y 4 solo en impares. Los demás puntos fuera de (−1,2)∪{3,4} están siempre excluidos.
lim inf Aₙ = ⋃ₘ₌₁∞ ⋂ₙ≥ₘ Aₙ = [0,1]
lim sup Aₙ = ⋂ₘ₌₁∞ ⋃ₙ≥ₘ Aₙ = (−1,2)∪{3,4}3. Límite inferior: [0,1]; superior: (−1,2)∪{3,4}. Cambian los cuantificadores: «siempre después de algún umbral» frente a «alguna vez más allá de todo umbral». No hay un único límite de pertenencia porque ambos conjuntos difieren.
