Des régions de Venn aux familles de parties, images de fonctions et ensembles infinis : dix défis avancés avec solutions masquées. |A| est le cardinal, A∖B la différence, AΔB=(A∖B)∪(B∖A) la différence symétrique, 𝒫(A) l’ensemble des parties. C(n,k) compte les choix de k éléments parmi n. Les intersections doubles comprennent l’intersection triple. Les aires des figures sont schématiques, non proportionnelles aux cardinalités.
- Reconstruire huit régions
- Quelles intersections triples sont possibles ?
- Les distances symétriques ne disent pas tout
- Une différence symétrique imbriquée
- Un ensemble inconnu sous contraintes
- Les parties ne distribuent pas sur l’union
- Quatre ensembles et une archive impossible
- Quand l’image conserve-t-elle l’intersection ?
- Une grande famille sans élément universel
- Une infinité de fois n’est pas toujours à partir d’un rang
1. Reconstruire huit régions
Dans un univers de 120 éléments : |A|=70, |B|=65, |C|=60, |A∩B|=40, |A∩C|=35, |B∩C|=30. Dix éléments sont hors des trois ensembles. Trouvez les huit régions et les effectifs appartenant à exactement un ou deux ensembles.
Indice
Commencez par l’union et l’intersection triple.
Solution avec diagramme
1. L’union contient 110 éléments. L’inclusion-exclusion soustrait les intersections doubles puis ajoute la triple t :
|A∪B∪C|=120−10=110 110=70+65+60−40−35−30+t t=20 AB: 40−20=20; AC: 35−20=15; BC: 30−20=10
2. Les régions doubles exclusives valent 20,15,10. A seul : 70−40−35+20=15 ; B seul et C seul valent aussi 15.
Vérification. Exactement un : 45 ; exactement deux : 45 ; trois : 20 ; aucun : 10. Total 120.
2. Quelles intersections triples sont possibles ?
|U|=100, |A|=60, |B|=55, |C|=50. Les intersections AB, AC, BC valent 35,30,25. Trouvez tous les entiers possibles t=|A∩B∩C| et démontrez que chacun est réalisable.
Indice
Chaque région, même extérieure, doit avoir un cardinal positif ou nul.
Solution avec diagramme
1. A seul vaut 60−35−30+t=t−5 ; de même pour B seul et C seul. Les régions doubles exclusives valent leur intersection moins t.
|A∪B∪C|=165−90+t=75+t A seul = B seul = C seul = t−5 AB seul=35−t; AC seul=30−t; BC seul=25−t U ∖ (A∪B∪C): 25−t 5 ≤ t ≤ 25, t ∈ ℤ
2. Les régions simples imposent t≥5 ; BC exclusif et l’extérieur imposent t≤25.
3. Pour chaque entier de 5 à 25, les huit nombres sont positifs ou nuls et leur somme vaut 100. Construisez des groupes disjoints de ces tailles, puis réunissez ceux correspondant à A,B,C. Tous les entiers 5,…,25 sont donc réalisables.
3. Les distances symétriques ne disent pas tout
Dans un univers de taille 60, |AΔB|=24, |AΔC|=30, |BΔC|=26, |A∩B∩C|=8 et |A|+|B|+|C|=92. Trouvez les effectifs appartenant à exactement un, deux, trois ou aucun ensemble. Chaque région est-elle déterminée ?
Indice
Chaque élément présent dans un ou deux ensembles compte deux fois dans les différences symétriques.
Solution avec diagramme
1. Notons n₁,n₂,n₃ les effectifs exacts. Les éléments extérieurs et triples ne contribuent pas aux différences symétriques ; tous les autres contribuent deux fois.
2(n₁+n₂)=24+30+26=80 n₃=8 n₁+2n₂+3·8=92 n₂=28; n₁=12 |A∪B∪C|=12+28+8=48
2. Exactement un : 12 ; deux : 28 ; trois : 8 ; aucun : 12.
3. Les régions ne sont pas uniques. Une autre configuration que la figure est : A seul 5, B seul 1, C seul 6 ; AB exclusif 10, AC exclusif 9, BC exclusif 9 ; triple 8 et extérieur 12. Elle satisfait les mêmes données.
4. Une différence symétrique imbriquée
Simplifiez E=((A∪B)∖C) Δ ((A∖B)∪(C∖A)) sans différence symétrique, avec au plus une union, une intersection triple et une différence. Prouvez l’identité dans chaque région.
Indice
Utilisez trois bits d’appartenance.
Solution avec diagramme
1. Dans l’ordre 000,100,010,001,110,101,011,111, le premier opérande vaut 0,1,1,0,1,0,0,0 ; le second 0,1,0,1,0,1,1,0.
2. Le ou exclusif donne 0,0,1,1,1,1,1,0 : tout B∪C sauf l’intersection triple.
E=((A∪B)∖C) Δ ((A∖B)∪(C∖A)) E=(B∪C)∖(A∩B∩C)
3. Les huit possibilités épuisent tous les cas, même pour des ensembles infinis. Certaines régions peuvent être vides sans modifier la preuve.
5. Un ensemble inconnu sous contraintes
U={1,…,12}, A={1,…,7}, B={1,…,10}, C={2,4,6,8,10,12}, D={2,6,8,10}. Trouvez tous les X⊆U tels que X∪A=B, X∩C=D et |X|=7. Combien y en a-t-il ?
Indice
Séparez les éléments obligatoires, interdits et libres.
Solution avec diagramme
1. L’union impose 8,9,10 et interdit 11,12. Les éléments de A sont encore libres.
2. L’intersection impose 2,6, confirme 8,10 et interdit 4,12. Restent libres 1,3,5,7, avec cinq éléments déjà obligatoires.
B∖A={8,9,10}
D∩A={2,6}
A∖C={1,3,5,7}
X={2,6,8,9,10}∪Y
Y⊆{1,3,5,7}, |Y|=2
C(4,2)=63. Choisissez deux éléments libres : 6 solutions. Les Y possibles sont {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}. Ajouter chacun au groupe obligatoire décrit toutes les solutions.
6. Les parties ne distribuent pas sur l’union
A,B sont finis, |A∩B|=2, |𝒫(A)|=2|𝒫(B)| et |𝒫(A)∪𝒫(B)|=44. Trouvez leurs cardinaux et le nombre de parties de A∪B contenues ni entièrement dans A ni entièrement dans B. Quand a-t-on 𝒫(A∪B)=𝒫(A)∪𝒫(B) ?
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L’identité sur l’intersection est vraie, celle sur l’union ne l’est pas toujours.
Solution avec diagramme
1. Posons a=|A| et b=|B|. Les ensembles de parties ont 2ᵃ et 2ᵇ éléments. Leur intersection est 𝒫(A∩B), de cardinal quatre. Appliquons l’inclusion-exclusion :
a=|A|, b=|B| 2ᵃ=2·2ᵇ 2ᵃ+2ᵇ−2²=44 3·2ᵇ=48 ⇒ b=4, a=5 |A∪B|=5+4−2=7 2⁷−44=84
2. Les cardinaux sont 5 et 4. Sur 128 parties de l’union, 44 sont contenues dans au moins un des ensembles ; les autres sont 84.
3. L’égalité vaut si A⊆B ou B⊆A. Sinon, prenez a∈A∖B et b∈B∖A : {a,b} est une partie de l’union, mais ni de A ni de B. Cela prouve aussi la nécessité.
7. Quatre ensembles et une archive impossible
Une archive annonce 40 éléments. Quatre catégories ont chacune 20 éléments ; chacune des six intersections doubles en a 8, chacune des quatre triples en a 3, et la quadruple en a 1. Est-ce possible ? Quel univers minimal permet ces données ?
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Utilisez seize régions, pas quatre cercles ordinaires.
Solution avec diagramme
1. L’inclusion-exclusion donne 43 éléments dans l’union : 40 est impossible.
2. Les régions exclusives valent : quadruple 1 ; chaque triple 3−1=2 ; chaque double 8−3−3+1=3 ; chaque simple 20−24+9−1=4.
|A∪B∪C∪D|=4·20−6·8+4·3−1=43 n₄=1 n₃=4(3−1)=8 n₂=6(8−3−3+1)=18 n₁=4(20−3·8+3·3−1)=16
3. Quatre groupes de 4, six de 3, quatre de 2 et un de 1 totalisent 43 et réalisent les données. L’extérieur peut être vide. C’est donc un minimum atteint, pas seulement une borne.
8. Quand l’image conserve-t-elle l’intersection ?
U={1,…,8}, V={p,q,r,s}. Les fibres sont {1,2,3} pour p, {4,5} pour q, {6} pour r, {7,8} pour s. Fixez A={1,4,6,7}. Combien de B⊆U vérifient f(A∩B)=f(A)∩f(B) ? Pourquoi l’égalité n’est-elle pas automatique ?
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Traitez chaque fibre séparément.
Solution avec diagramme
1. A rencontre chaque fibre, donc f(A)=V. Dans chaque fibre, B doit être vide ou contenir au moins un élément de A, sinon l’image figure seulement à droite.
2. Une fibre de m éléments dont a dans A permet un choix vide, ou une partie non vide des a éléments de A et une partie quelconque des m−a autres.
N(m,a)=1+(2ᵃ−1)2ᵐ⁻ᵃ N(3,1)=5; N(2,1)=3; N(1,1)=2 5·3·2·3=90
3. Multiplier les choix donne 90. Contre-exemple : B={2} donne {p} à droite et l’ensemble vide à gauche. L’inclusion de gauche à droite est toujours vraie, pas l’égalité.
9. Une grande famille sans élément universel
Pour U={1,2,3,4,5,6}, trouvez le nombre maximal de parties distinctes dans une famille ℱ dont deux membres distincts se rencontrent toujours, mais dont l’intersection globale est vide. Démontrez le maximum et construisez un exemple.
Indice
Associez chaque partie à son complémentaire.
Solution avec diagramme
1. Les 64 parties forment 32 paires complémentaires. Au plus un membre de chaque paire peut être choisi : les deux sont disjoints. Donc |ℱ|≤32.
2. Prenez toutes les parties de taille au moins quatre et toutes les parties de taille trois contenant 1.
|𝒫(U)|=2⁶=64
|ℱ|≤64/2=32
ℱ={S⊆U: |S|≥4} ∪ {S⊆U: |S|=3, 1∈S}
|ℱ|=C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)+C(5,2)
=15+6+1+10=323. Deux grandes parties se rencontrent ; une grande partie et une terne aussi, car leurs tailles totalisent au moins sept dans un univers de six. Deux ternes choisies partagent 1.
4. Chaque élément est absent d’une partie de taille quatre appartenant à la famille. L’intersection globale est vide. Le maximum est 32.
10. Une infinité de fois n’est pas toujours à partir d’un rang
Pour n≥1, Aₙ=[0,2−1/n]∪{3} si n est pair, et Aₙ=[−1+1/n,1]∪{4} sinon. Trouvez les points appartenant à tous les Aₙ à partir d’un certain rang (lim inf), et ceux appartenant à une infinité de Aₙ (lim sup). Examinez aussi −1,0,1,2,3,4.
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Séparez les indices pairs et impairs.
Solution avec diagramme
1. [0,1] appartient à tous les ensembles. Les points de (−1,0) apparaissent pour tous les indices impairs assez grands, jamais pour les pairs ; ceux de (1,2) font l’inverse.
2. −1 et 2 ne paraissent jamais. 3 apparaît seulement aux indices pairs, 4 aux impairs. Les autres points hors de (−1,2)∪{3,4} sont toujours absents.
lim inf Aₙ = ⋃ₘ₌₁∞ ⋂ₙ≥ₘ Aₙ = [0,1]
lim sup Aₙ = ⋂ₘ₌₁∞ ⋃ₙ≥ₘ Aₙ = (−1,2)∪{3,4}3. Limite inférieure : [0,1] ; supérieure : (−1,2)∪{3,4}. Les quantificateurs diffèrent : « toujours après un seuil » contre « au moins une fois après tout seuil ». Les limites diffèrent, donc il n’y a pas de limite unique d’appartenance.
