El mismo problema, matemáticas diferentes

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Un mismo problema puede expresarse con objetos, dibujos, tablas, ecuaciones o fórmulas paramétricas. No son soluciones enfrentadas, sino lenguajes apropiados para edades y objetivos distintos. Este artículo es una ampliación complementaria del recorrido que va del lenguaje natural al álgebra; aquí la atención se centra en el diseño didáctico y en cómo una solución general puede sugerir una explicación elemental.

Las matemáticas avanzadas pueden permanecer entre bastidores: son una herramienta del docente para comprobar los datos, descubrir una estructura y elegir un ejemplo eficaz, no algo que deba imponerse al niño antes de que lo necesite.

En cada una de las ocho situaciones distinguiremos cuatro momentos: el problema, un enfoque concreto para primaria, una formalización para secundaria y una visión general para bachillerato o para el docente. La comprobación final no es un detalle: siempre devuelve la respuesta a la situación inicial.

1. Un problema, varias representaciones

«Más sencillo» no significa menos riguroso. En primaria puede conservarse toda la estructura matemática sustituyendo las letras por segmentos, fichas, tanteos ordenados o preguntas como «¿qué permanece igual?». En el último curso de primaria o al comienzo de secundaria no es necesario imponer el álgebra formal: la incógnita llegará cuando pueda dar un nombre breve a una relación que ya se comprende. En bachillerato, los parámetros muestran qué datos producen una solución posible y qué propiedades valen para una familia completa de problemas.

La función de los tres niveles
Nivel	Pregunta orientadora	Herramientas habituales
Primaria	¿Qué puedo ver, construir o comparar?	Dibujos, materiales, tablas, recuentos, invariantes.
Secundaria	¿Cómo traduzco la relación a un cálculo comprobable?	Razones, incógnitas, ecuaciones, gráficos.
Bachillerato o docente	¿Qué sucede cuando cambian los datos?	Funciones, parámetros, condiciones de existencia, demostraciones.

2. Pollos y conejos

En un corral hay 35 animales, todos pollos o conejos, y se cuentan 94 patas en total. ¿Cuántos conejos y cuántos pollos hay?

Primaria: suponer que todos son pollos

Si los 35 animales fueran pollos, tendrían 35 × 2 = 70 patas. El total observado tiene 24 patas más. Sustituir un pollo por un conejo añade exactamente dos patas, así que hay 24 : 2 = 12 conejos. Los 35 − 12 = 23 animales restantes son pollos. La transformación puede representarse con 35 fichas de dos patas y añadiendo un par de patas a doce de ellas.

Secundaria: un sistema

Llamamos c al número de conejos y p al de pollos:

c + p = 35
4c + 2p = 94

2(c + p) = 70
(4c + 2p) − (2c + 2p) = 94 − 70
2c = 24
c = 12, p = 23

Bachillerato y docente: el modelo paramétrico

Con H animales y L patas, las fórmulas generales son:

conejos = (L − 2H) / 2
pollos  = (4H − L) / 2

El producto 2 patas/animal × H animales = 2H patas también admite una lectura dimensional: 2 no es un número abstracto, sino que lleva la unidad «patas por animal», que se simplifica con «animales». Una solución formada por números enteros no negativos exige 2H ≤ L ≤ 4H y que L sea par. El docente puede construir datos válidos eligiendo primero las dos cantidades o comprobar de inmediato si un enunciado es coherente. La fórmula de los conejos ya contiene la idea elemental: restar las patas que tendrían todos los animales si fueran pollos y dividir el exceso entre dos.

Comprobación: 12 + 23 = 35 y 12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94. La respuesta correcta es, por tanto, 12 conejos y 23 pollos.

3. El barril lleno, a medias y vacío

Un barril lleno pesa 80 kg; el mismo barril lleno hasta la mitad pesa 50 kg. ¿Cuánto pesa el barril vacío?

Primaria: quitar la misma media cantidad

Al pasar del barril lleno al que está a la mitad se han quitado 80 − 50 = 30 kg: esa es la masa de la mitad del contenido. El barril a medias todavía contiene otros 30 kg de producto. Al quitarlos de los 50 kg queda solo el barril: 50 − 30 = 20 kg. Una balanza dibujada y dos bloques iguales para las dos mitades del contenido hacen visible el paso.

Secundaria: distinguir recipiente y contenido

Sea v la masa del barril vacío y c la de todo su contenido:

v + c = 80
v + c/2 = 50

c/2 = 80 − 50 = 30
v = 50 − 30 = 20

Bachillerato y docente: tratar los datos como parámetros

Sea P la masa del barril lleno y M la del barril a medias. Entonces:

mitad del contenido = P − M
barril vacío        = M − (P − M) = 2M − P
contenido completo  = 2(P − M)

Las restas son dimensionalmente correctas porque P y M son masas. Un caso físicamente razonable requiere P/2 ≤ M < P. La fórmula 2M − P sugiere directamente la solución sin ecuación: quitar del barril a medias la misma masa que ya se retiró al pasar de lleno a medio lleno.

Comprobación: el barril vacío pesa 20 kg y el contenido completo 60 kg; lleno pesa 20 + 60 = 80 kg y a medias 20 + 30 = 50 kg.

4. El acertijo de las edades

Ana tiene 6 años más que Bruno y le dice: «Hoy tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes hoy». ¿Qué edad tiene cada uno?

Primaria: retroceder la diferencia de edad

Ana es seis años mayor. Cuando Ana tenía la edad actual de Bruno fue, por tanto, hace seis años; en ese momento Bruno también tenía seis años menos que hoy. El enunciado dice que la edad actual de Ana es el doble de la edad que Bruno tenía entonces. Con segmentos de seis años se ve que la edad pasada de Bruno contiene dos segmentos, su edad actual tres y la edad actual de Ana cuatro. Por tanto, tienen 18 y 24 años.

Secundaria: traducir la línea temporal

Sea x la edad actual de Bruno. Ana tiene x + 6 años. Hace seis años Bruno tenía x − 6:

x + 6 = 2(x − 6)
x + 6 = 2x − 12
x = 18

Bruno = 18, Ana = 24

Bachillerato y docente: usar la diferencia como parámetro

Sea d la diferencia positiva entre la edad mayor y la menor, y sea y la edad menor. Cuando la persona mayor tenía y años, la menor tenía y − d. La frase del acertijo produce:

y + d = 2(y − d)
y = 3d
edad mayor = y + d = 4d

edad menor / edad mayor = 3/4

La relación no determina edades únicas mientras no se conozca d; determina la razón 3 : 4. El docente puede elegir una diferencia adecuada y obtener inmediatamente un ejemplo coherente. Con d = 6, las edades son 3d = 18 y 4d = 24.

Comprobación: hace seis años Ana tenía 18 años, la edad actual de Bruno, mientras que Bruno tenía 12. Hoy Ana tiene 24, el doble de 12.

5. El rectángulo de perímetro fijo

Con una cuerda de 40 cm se construye un rectángulo. ¿Qué dimensiones hacen máxima su área?

Primaria: construir y comparar

El perímetro mide 40 cm, así que dos lados consecutivos suman 20 cm. En papel cuadriculado se construyen rectángulos de lados enteros y se ordenan sus áreas:

lados:  1 y 19   2 y 18   3 y 17   ...   9 y 11   10 y 10
área:      19       36       51     ...      99       100

Al acercarse las medidas de los lados, el área aumenta. El cuadrado de lado 10 cm es el mejor candidato. Un lazo cerrado o una tira articulada permite ver que el perímetro permanece fijo mientras cambia el espacio encerrado.

Secundaria: lados equidistantes de 10

Escribimos las longitudes como 10 − d y 10 + d. Su suma sigue siendo 20:

A = (10 − d)(10 + d)
A = 100 − d²

Cualquier valor no nulo de d resta algo a 100, de modo que el máximo se alcanza cuando d = 0.

Bachillerato y docente: una familia de parábolas

Para un perímetro genérico P, un lado es x y el otro P/2 − x:

A(x) = x(P/2 − x)
     = P²/16 − (x − P/4)²

El área es máxima cuando el término que se resta vale cero, es decir, cuando x = P/4. El mismo resultado se obtiene mediante el vértice de la parábola o la derivada. El parámetro P muestra que no se trata de una coincidencia provocada por el número 40.

Comprobación: cuatro lados de 10 cm dan un perímetro de 40 cm y un área de 10 × 10 = 100 cm².

6. Una mezcla de dos concentraciones

¿Cuántos litros de una bebida al 40% y cuántos de una bebida al 5% se necesitan para obtener 21 litros de bebida al 25%? Se supone que los volúmenes son aditivos.

Primaria: compensar con partes iguales

El 40% está 15 puntos por encima del 25%, mientras que el 5% está 20 puntos por debajo. Un litro de la primera bebida aporta un exceso de 15 puntos y uno de la segunda un defecto de 20. Para compensarlos, las cantidades deben estar en la razón inversa 20 : 15 = 4 : 3. Las siete partes suman 21 litros, de modo que cada parte vale 3 litros: 4 × 3 = 12 litros al 40% y 3 × 3 = 9 litros al 5%. Cuadrículas de cien casillas o agua coloreada pueden hacer visible la media ponderada.

Secundaria: conservar la cantidad de concentrado

0,40x + 0,05(21 − x) = 0,25 × 21
0,35x + 1,05 = 5,25
x = 12

La segunda cantidad es 21 − 12 = 9 litros.

Bachillerato y docente: la media ponderada

Dadas dos concentraciones c₁ > c > c₂ y un volumen total V, la cantidad de la primera mezcla es:

x = V(c − c₂) / (c₁ − c₂)
V − x = V(c₁ − c) / (c₁ − c₂)

El modelo también identifica los casos imposibles: sin adiciones ni reacciones, la concentración final debe estar entre las dos concentraciones iniciales. Para crear datos manejables, el docente puede partir de la razón deseada y retroceder hasta el volumen total.

Comprobación: 12 × 0,40 + 9 × 0,05 = 4,80 + 0,45 = 5,25 litros equivalentes de concentrado, es decir, 21 × 0,25.

7. Los apretones de manos

En una reunión, cada pareja de personas intercambia exactamente un apretón de manos. En total se cuentan 45. ¿Cuántas personas asisten?

Primaria: hacer crecer la figura

Cuando llega una persona nueva, saluda a todas las que ya están presentes. Partiendo de una persona, el total crece sumando sucesivamente 1, 2, 3 y así sucesivamente:

personas:   1  2  3  4   5   6   7   8   9  10
apretones:  0  1  3  6  10  15  21  28  36  45

Se llega a 45 con 10 personas. Puntos unidos por segmentos o tarjetas con nombres ayudan a no contar dos veces la misma pareja.

Secundaria: contar y dividir entre dos

Con n personas, cada una puede saludar a otras n − 1. Sin embargo, el producto n(n − 1) cuenta dos veces cada pareja:

n(n − 1) / 2 = 45
n(n − 1) = 90
10 × 9 = 90
n = 10

Bachillerato y docente: números triangulares

H = n(n − 1) / 2
n = (1 + √(1 + 8H)) / 2

Un total H es admisible solo si 1 + 8H es un cuadrado perfecto. Esta condición evita proponer por accidente un número de apretones incompatible con un número entero de personas y relaciona el problema con los grafos completos y los coeficientes binomiales.

Comprobación: 10 × 9 / 2 = 45.

8. Dos grifos y un depósito

Un grifo llena un depósito en 6 horas y otro lo llena en 4 horas. ¿Cuánto tardan si funcionan juntos?

Primaria: dividir el depósito en doce partes

Elegimos 12 partes porque 12 es divisible entre 6 y entre 4. En una hora el primer grifo llena 2 partes y el segundo 3. Juntos llenan 5 partes por hora, así que para 12 partes hacen falta 12/5 = 2,4 horas, es decir, 2 horas y 24 minutos. El dibujo de un depósito dividido en doce franjas evita el error frecuente de sumar los tiempos o calcular su media.

Secundaria: sumar fracciones del trabajo

t/6 + t/4 = 1
2t/12 + 3t/12 = 1
5t = 12
t = 12/5 horas

Bachillerato y docente: sumar caudales

Si dos grifos tardan por separado a y b horas, su tiempo conjunto es:

1/T = 1/a + 1/b
T = ab / (a + b)

Con más grifos se suman todos los caudales. Un desagüe se representa mediante un caudal negativo, siempre que el caudal total siga siendo positivo. Elegir tiempos con un mínimo común múltiplo pequeño hace más accesible la solución concreta.

Comprobación: en 2,4 horas el primer grifo llena 2,4/6 = 0,4 del depósito y el segundo 2,4/4 = 0,6; juntos llenan exactamente un depósito.

9. La cesta de huevos y los restos

Al agrupar unos huevos de 2 en 2 sobra 1; de 3 en 3 sobran 2; de 4 en 4 sobran 3; de 5 en 5 sobran 4; de 6 en 6 sobran 5. Al agruparlos de 7 en 7 no sobra ninguno. ¿Cuál es el menor número posible de huevos?

Primaria: una búsqueda ordenada

En cada una de las cinco primeras agrupaciones, un huevo adicional completaría todos los grupos. Por tanto, el número buscado más uno debe ser divisible entre 2, 3, 4, 5 y 6. Los candidatos son una unidad menos que los múltiplos comunes de esos números: 59, 119, 179 y así sucesivamente. El primero divisible entre 7 es 119.

Secundaria: utilizar el mínimo común múltiplo

Como mcm(2, 3, 4, 5, 6) = 60, podemos escribir:

N + 1 = 60k
N = 60k − 1

k = 1  →  N = 59, no divisible entre 7
k = 2  →  N = 119, divisible entre 7

Bachillerato y docente: congruencias

60k − 1 ≡ 0 (mod 7)
4k ≡ 1 (mod 7)
k ≡ 2 (mod 7)

N = 119 + 420t, para todo entero t no negativo

La solución es única módulo 420. Para crear variantes del mismo tipo, el docente puede escoger un nuevo divisor coprimo con el mínimo común múltiplo anterior; el teorema chino del resto garantiza entonces una clase de soluciones.

Comprobación: al dividir 119 entre 2, 3, 4, 5 y 6 se obtienen respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5; además, 119 = 7 × 17.

10. Conclusión: el álgebra como lente, no como barrera

En los ocho ejemplos, la solución avanzada no borra la intuitiva. A menudo la explica: la resta L − 2H sugiere suponer que todos los animales son pollos; la fórmula 2M − P indica que hay que quitar dos veces la misma mitad del contenido; el cuadrado de la fórmula del área muestra que conviene igualar los lados; y el mínimo común múltiplo convierte muchos tanteos en una búsqueda ordenada. Durante la preparación, el docente puede recorrer el camino general y ofrecer a la clase solo el tramo adecuado a su nivel.

No se trata de anticipar símbolos difíciles, sino de ofrecer hoy una experiencia concreta que mañana pueda reconocerse dentro de una fórmula.

Lista práctica de comprobación para docentes

Resuelve el modelo general: identifica parámetros, restricciones y condiciones de existencia.
Comprueba los datos: elige resultados enteros, unidades coherentes y situaciones realistas.
Busca el invariante: ¿qué permanece igual mientras cambia la situación?
Elige una representación: objetos, dibujo, tabla, línea temporal o tanteos ordenados.
Deja espacio para las estrategias: compara distintos métodos antes de formalizarlos.
Introduce los símbolos cuando sean útiles: la ecuación debe nombrar una relación ya comprendida.
Comprueba en el contexto: sustituye siempre el resultado en los datos del problema.
Generaliza: pregunta al final qué cambiaría al modificar uno de los datos.

A cura di Salvatore Mosaico.