Un même problème, différentes mathématiques

Articles /meme-probleme-mathematiques-differentes-intuition-parametres

21 min

Un même problème peut être exprimé avec des objets, des dessins, des tableaux, des équations ou des formules paramétriques. Ces solutions ne s’opposent pas : ce sont des langages adaptés à des âges et à des objectifs différents. Cet article constitue un approfondissement complémentaire du parcours qui va du langage naturel à l’algèbre ; ici, nous nous intéressons à la préparation pédagogique et à la manière dont une solution générale peut suggérer une explication élémentaire.

Les mathématiques avancées peuvent rester dans les coulisses : elles permettent à l’enseignant de contrôler les données, de découvrir une structure et de choisir un exemple efficace, sans être imposées à l’enfant avant qu’il en ait besoin.

Pour chacune des huit situations, nous distinguons quatre moments : le problème, une approche concrète pour l’école primaire, une formalisation pour le collège et un regard général pour le lycée ou l’enseignant. La vérification finale n’est pas un détail : elle replace toujours la réponse dans la situation de départ.

1. Un problème, plusieurs représentations

« Plus simple » ne signifie pas moins rigoureux. À l’école primaire, toute la structure mathématique peut être conservée en remplaçant les lettres par des bandes, des jetons, des essais organisés ou des questions comme « qu’est-ce qui ne change pas ? ». En fin d’école primaire ou au début du collège, il n’est pas nécessaire d’imposer l’algèbre formelle : l’inconnue arrivera lorsqu’elle pourra donner un nom bref à une relation déjà comprise. Au lycée, les paramètres montrent quelles données produisent une solution possible et quelles propriétés valent pour toute une famille de problèmes.

Le rôle des trois niveaux
Niveau	Question directrice	Outils habituels
École primaire	Que puis-je voir, construire ou comparer ?	Dessins, matériel, tableaux, dénombrements, invariants.
Collège	Comment traduire la relation en un calcul vérifiable ?	Rapports, inconnues, équations, graphiques.
Lycée ou enseignant	Que se passe-t-il lorsque les données changent ?	Fonctions, paramètres, conditions d’existence, démonstrations.

2. Poules et lapins

Dans une cour, il y a 35 animaux, tous des poules ou des lapins, et 94 pattes au total. Combien y a-t-il de lapins et de poules ?

École primaire : supposer que tous sont des poules

Si les 35 animaux étaient tous des poules, ils auraient 35 × 2 = 70 pattes. Le total observé en a 24 de plus. Remplacer une poule par un lapin ajoute exactement deux pattes : il y a donc 24 : 2 = 12 lapins. Les 35 − 12 = 23 autres animaux sont des poules. On peut représenter cette transformation par 35 jetons à deux pattes, puis ajouter une paire de pattes à douze jetons.

Collège : un système

Notons l le nombre de lapins et p celui des poules :

l + p = 35
4l + 2p = 94

2(l + p) = 70
(4l + 2p) − (2l + 2p) = 94 − 70
2l = 24
l = 12, p = 23

Lycée et enseignant : le modèle paramétrique

Avec H animaux et L pattes, les formules générales sont :

lapins = (L − 2H) / 2
poules = (4H − L) / 2

Le produit 2 pattes/animal × H animaux = 2H pattes offre aussi une lecture dimensionnelle : 2 n’est pas un nombre abstrait, il porte l’unité « pattes par animal », qui se simplifie avec « animaux ». Une solution en nombres entiers positifs ou nuls exige 2H ≤ L ≤ 4H et un L pair. L’enseignant peut donc construire des données valides en choisissant d’abord les deux populations, ou vérifier immédiatement la cohérence d’un énoncé. La formule des lapins contient déjà l’idée élémentaire : retirer les pattes que tous les animaux auraient s’ils étaient des poules, puis diviser l’excédent par deux.

Vérification : 12 + 23 = 35 et 12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94. La réponse correcte est donc 12 lapins et 23 poules.

3. Le tonneau plein, à moitié plein et vide

Un tonneau plein pèse 80 kg ; le même tonneau à moitié plein pèse 50 kg. Combien pèse le tonneau vide ?

École primaire : retirer la même demi-quantité

En passant du tonneau plein au tonneau à moitié plein, on a retiré 80 − 50 = 30 kg : c’est la masse de la moitié du contenu. Le tonneau à moitié plein contient encore 30 kg de produit. En les retirant des 50 kg, il ne reste que le tonneau : 50 − 30 = 20 kg. Une balance dessinée et deux blocs identiques pour les deux moitiés du contenu rendent l’étape visible.

Collège : distinguer le récipient du contenu

Notons v la masse du tonneau vide et c celle de tout son contenu :

v + c = 80
v + c/2 = 50

c/2 = 80 − 50 = 30
v = 50 − 30 = 20

Lycée et enseignant : traiter les données comme des paramètres

Notons P la masse du tonneau plein et M celle du tonneau à moitié plein. Alors :

moitié du contenu = P − M
tonneau vide      = M − (P − M) = 2M − P
contenu complet   = 2(P − M)

Les soustractions sont dimensionnellement correctes, car P et M sont toutes deux des masses. Un cas physiquement raisonnable exige P/2 ≤ M < P. La formule 2M − P suggère directement la solution sans équation : retirer du tonneau à moitié plein la même masse que celle retirée pour passer du tonneau plein au tonneau à moitié plein.

Vérification : le tonneau vide pèse 20 kg et le contenu complet 60 kg ; plein, il pèse 20 + 60 = 80 kg et à moitié plein 20 + 30 = 50 kg.

4. L’énigme des âges

Anna a 6 ans de plus que Bruno et lui dit : « Aujourd’hui, j’ai le double de l’âge que tu avais lorsque j’avais l’âge que tu as aujourd’hui. » Quel âge ont-ils ?

École primaire : reculer de la différence d’âge

Anna a six ans de plus. Lorsqu’Anna avait l’âge actuel de Bruno, c’était donc il y a six ans ; à ce moment-là, Bruno avait lui aussi six ans de moins qu’aujourd’hui. La phrase indique que l’âge actuel d’Anna est le double de l’âge que Bruno avait alors. Avec des bandes de six ans, on voit que l’âge passé de Bruno contient deux bandes, son âge actuel trois, et l’âge actuel d’Anna quatre. Ils ont donc 18 et 24 ans.

Collège : traduire la ligne du temps

Notons x l’âge actuel de Bruno. Anna a x + 6 ans. Il y a six ans, Bruno avait x − 6 ans :

x + 6 = 2(x − 6)
x + 6 = 2x − 12
x = 18

Bruno = 18, Anna = 24

Lycée et enseignant : prendre la différence comme paramètre

Soit d la différence positive entre l’âge du plus âgé et celui du plus jeune, et soit y l’âge du plus jeune. Lorsque la personne la plus âgée avait y ans, la plus jeune en avait y − d. La phrase de l’énigme donne :

y + d = 2(y − d)
y = 3d
âge du plus âgé = y + d = 4d

âge du plus jeune / âge du plus âgé = 3/4

La relation ne fixe pas des âges uniques tant que d est inconnu ; elle fixe le rapport 3 : 4. L’enseignant peut choisir une différence adaptée et obtenir immédiatement un exemple cohérent. Avec d = 6, les âges sont 3d = 18 et 4d = 24.

Vérification : il y a six ans, Anna avait 18 ans, l’âge actuel de Bruno, et Bruno en avait 12. Aujourd’hui, Anna a 24 ans, le double de 12.

5. Le rectangle de périmètre fixé

Avec une ficelle de 40 cm, on construit un rectangle. Quelles dimensions rendent son aire maximale ?

École primaire : construire et comparer

Le périmètre mesure 40 cm, donc deux côtés consécutifs ont une somme de 20 cm. Sur papier quadrillé, on construit des rectangles dont les côtés sont entiers et on classe leurs aires :

côtés :  1 et 19   2 et 18   3 et 17   ...   9 et 11   10 et 10
aire :      19        36        51      ...      99        100

Lorsque les longueurs des côtés se rapprochent, l’aire augmente. Le carré de côté 10 cm est le meilleur candidat. Une boucle de ficelle ou une bande articulée montre que le périmètre ne change pas tandis que l’espace enfermé varie.

Collège : des côtés équidistants de 10

Écrivons les côtés 10 − d et 10 + d. Leur somme reste égale à 20 :

A = (10 − d)(10 + d)
A = 100 − d²

Toute valeur non nulle de d retranche quelque chose à 100 ; le maximum est donc atteint pour d = 0.

Lycée et enseignant : une famille de paraboles

Pour un périmètre quelconque P, un côté vaut x et l’autre P/2 − x :

A(x) = x(P/2 − x)
     = P²/16 − (x − P/4)²

L’aire est maximale lorsque le terme retranché est nul, donc lorsque x = P/4. Le même résultat s’obtient avec le sommet de la parabole ou la dérivée. Le paramètre P montre qu’il ne s’agit pas d’une coïncidence propre au nombre 40.

Vérification : quatre côtés de 10 cm donnent un périmètre de 40 cm et une aire de 10 × 10 = 100 cm².

6. Un mélange de deux concentrations

Combien de litres d’une boisson à 40 % et combien d’une boisson à 5 % faut-il pour obtenir 21 litres d’une boisson à 25 % ? On suppose que les volumes s’additionnent.

École primaire : compenser avec des parts égales

Quarante pour cent se trouve 15 points au-dessus de 25 %, tandis que 5 % se trouve 20 points en dessous. Un litre de la première boisson apporte un excès de 15 points et un litre de la seconde un déficit de 20. Pour les compenser, les quantités doivent être dans le rapport inverse 20 : 15 = 4 : 3. Les sept parts totalisent 21 litres, donc chaque part vaut 3 litres : 4 × 3 = 12 litres à 40 % et 3 × 3 = 9 litres à 5 %. Des grilles de cent cases ou de l’eau colorée rendent visible la moyenne pondérée.

Collège : conserver la quantité de concentré

0,40x + 0,05(21 − x) = 0,25 × 21
0,35x + 1,05 = 5,25
x = 12

La seconde quantité vaut 21 − 12 = 9 litres.

Lycée et enseignant : la moyenne pondérée

Pour deux concentrations c₁ > c > c₂ et un volume total V, la quantité du premier mélange est :

x = V(c − c₂) / (c₁ − c₂)
V − x = V(c₁ − c) / (c₁ − c₂)

Le modèle indique également les cas impossibles : sans ajout ni réaction, la concentration finale doit être comprise entre les deux concentrations initiales. Pour construire des données simples, l’enseignant peut partir du rapport souhaité et remonter au volume total.

Vérification : 12 × 0,40 + 9 × 0,05 = 4,80 + 0,45 = 5,25 litres équivalents de concentré, soit 21 × 0,25.

7. Les poignées de main

Lors d’une réunion, chaque paire de personnes échange exactement une poignée de main. On en compte 45 au total. Combien de personnes participent ?

École primaire : faire grandir la figure

Lorsqu’une nouvelle personne arrive, elle salue toutes celles qui sont déjà présentes. En partant d’une personne, le total augmente donc en ajoutant successivement 1, 2, 3, et ainsi de suite :

personnes :  1  2  3  4   5   6   7   8   9  10
poignées :   0  1  3  6  10  15  21  28  36  45

On atteint 45 avec 10 personnes. Des points reliés par des segments ou des cartes portant les prénoms aident à ne pas compter deux fois la même paire.

Collège : compter puis diviser par deux

Avec n personnes, chacune peut en saluer n − 1. Le produit n(n − 1) compte cependant chaque paire deux fois :

n(n − 1) / 2 = 45
n(n − 1) = 90
10 × 9 = 90
n = 10

Lycée et enseignant : les nombres triangulaires

H = n(n − 1) / 2
n = (1 + √(1 + 8H)) / 2

Un total H est admissible seulement si 1 + 8H est un carré parfait. Cette condition évite de proposer involontairement un nombre de poignées incompatible avec un nombre entier de personnes et relie le problème aux graphes complets et aux coefficients binomiaux.

Vérification : 10 × 9 / 2 = 45.

8. Deux robinets et une cuve

Un robinet remplit une cuve en 6 heures et un autre en 4 heures. Combien de temps leur faut-il lorsqu’ils fonctionnent ensemble ?

École primaire : partager la cuve en douze parties

Choisissons 12 parties, car 12 est divisible par 6 et par 4. En une heure, le premier robinet remplit 2 parties et le second 3. Ensemble, ils remplissent 5 parties par heure ; 12 parties demandent donc 12/5 = 2,4 heures, soit 2 heures 24 minutes. Le dessin d’une cuve partagée en douze bandes évite l’erreur fréquente qui consiste à additionner les durées ou à en faire la moyenne.

Collège : additionner les fractions du travail

t/6 + t/4 = 1
2t/12 + 3t/12 = 1
5t = 12
t = 12/5 heures

Lycée et enseignant : additionner les débits

Si deux robinets mettent séparément a et b heures, leur durée commune est :

1/T = 1/a + 1/b
T = ab / (a + b)

Avec davantage de robinets, on additionne tous les débits. Une évacuation se représente par un débit négatif, à condition que le débit total reste positif. Choisir des durées dont le plus petit commun multiple est petit rend la solution concrète plus accessible.

Vérification : en 2,4 heures, le premier remplit 2,4/6 = 0,4 de la cuve et le second 2,4/4 = 0,6 ; ensemble, ils remplissent exactement une cuve.

9. Le panier d’œufs et les restes

En groupant des œufs par 2, il en reste 1 ; par 3, il en reste 2 ; par 4, il en reste 3 ; par 5, il en reste 4 ; par 6, il en reste 5. En les groupant par 7, il n’en reste aucun. Quel est le plus petit nombre possible d’œufs ?

École primaire : une recherche organisée

Dans chacun des cinq premiers groupements, un œuf supplémentaire compléterait tous les groupes. Le nombre cherché augmenté de un doit donc être divisible par 2, 3, 4, 5 et 6. Les candidats sont inférieurs de un aux multiples communs de ces nombres : 59, 119, 179, et ainsi de suite. Le premier divisible par 7 est 119.

Collège : utiliser le plus petit commun multiple

Puisque ppcm(2, 3, 4, 5, 6) = 60, nous pouvons écrire :

N + 1 = 60k
N = 60k − 1

k = 1  →  N = 59, non divisible par 7
k = 2  →  N = 119, divisible par 7

Lycée et enseignant : les congruences

60k − 1 ≡ 0 (mod 7)
4k ≡ 1 (mod 7)
k ≡ 2 (mod 7)

N = 119 + 420t, pour tout entier t positif ou nul

La solution est unique modulo 420. Pour créer des variantes du même type, l’enseignant peut choisir un nouveau diviseur premier avec le plus petit commun multiple précédent ; le théorème chinois des restes garantit alors une classe de solutions.

Vérification : les divisions de 119 par 2, 3, 4, 5 et 6 donnent respectivement les restes 1, 2, 3, 4 et 5 ; de plus, 119 = 7 × 17.

10. Conclusion : l’algèbre comme lentille, non comme obstacle

Dans les huit exemples, la solution avancée n’efface pas la solution intuitive. Elle l’explique souvent : la soustraction L − 2H suggère de supposer que tous les animaux sont des poules ; la formule 2M − P demande de retirer deux fois la même moitié du contenu ; le carré dans la formule de l’aire indique que des côtés égaux sont préférables ; le plus petit commun multiple transforme de nombreux essais en une recherche organisée. Pendant sa préparation, l’enseignant peut suivre le chemin général et ne proposer à la classe que la partie adaptée à son niveau.

Il ne s’agit pas d’anticiper des symboles difficiles, mais d’offrir aujourd’hui une expérience concrète qui pourra demain être reconnue dans une formule.

Checklist pratique pour l’enseignant

Résoudre le modèle général : repérer les paramètres, les contraintes et les conditions d’existence.
Contrôler les données : choisir des résultats entiers, des unités cohérentes et des situations réalistes.
Chercher l’invariant : qu’est-ce qui reste identique lorsque la situation change ?
Choisir une représentation : objets, dessin, tableau, ligne du temps ou essais organisés.
Laisser place aux stratégies : comparer plusieurs méthodes avant de les formaliser.
Introduire les symboles lorsqu’ils sont utiles : l’équation doit nommer une relation déjà comprise.
Vérifier dans le contexte : toujours replacer le résultat dans les données du problème.
Généraliser : demander enfin ce qui changerait si une donnée était modifiée.

A cura di Salvatore Mosaico.