Partimos de Problem Solving Through Recreational Mathematics, de Bonnie Averbach y Orin Chein, especialmente de la página 118 de la edición mostrada aquí. Los autores relacionan el problema de las jarras con las ecuaciones diofánticas dando un significado concreto a los coeficientes: llenados menos vaciados al exterior. Retomamos este método, lo aplicamos a jarras de 5 y 3 litros para obtener 4 y lo formalizamos como un procedimiento ejecutable. La visualización interactiva y la extensión con ciclos son desarrollos didácticos de esta página, no citas del libro.
Abrir el laboratorio de jarras, un movimiento cada vez.
1. Primero las reglas: ¿qué significa medir 4 litros?
Tenemos una fuente, un desagüe y dos jarras sin marcas. Para el método de recuento del libro permitimos: llenar una jarra vacía, vaciar una jarra llena en el desagüe o trasvasar hasta vaciar el origen o llenar el destino. No interrumpimos un trasvase a ojo. El laboratorio utiliza exactamente estas reglas.
El objetivo es dejar la cantidad pedida en una sola jarra, con la otra vacía. Decir solo «4 litros en la jarra grande» podría dejar agua en la pequeña: es otro problema. Llenar o vaciar jarras parcialmente llenas, permitido en otras versiones, no puede contarse simplemente como aportaciones de una capacidad entera.
2. El problema del libro: 3 y 5 para obtener 1
El libro expresa este ejemplo en galones. Aquí repetimos el mismo esquema numérico en litros: no es una conversión de unidades, sino un problema con capacidades proporcionales y el mismo procedimiento.
En este primer ejemplo, A contiene 3 litros y B contiene 5. Escribimos 3x + 5y = 1. El libro propone (x,y) = (2,-1): tomar dos jarras de 3 y devolver una de 5. Los trasvases hacen posible el orden de las operaciones.
| Paso | Operación | Estado (A, B) | x | y | Balance total |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Inicio: ambas vacías | (0,0) | 0 | 0 | 3 × (0) + 5 × (0) = 0 |
| 1 | Llena A desde la fuente: 3 L | (3,0) | 1 | 0 | 3 × (1) + 5 × (0) = 3 |
| 2 | Trasvasa de A a B: 3 L | (0,3) | 1 | 0 | 3 × (1) + 5 × (0) = 3 |
| 3 | Llena A desde la fuente: 3 L | (3,3) | 2 | 0 | 3 × (2) + 5 × (0) = 6 |
| 4 | Trasvasa de A a B: 2 L | (1,5) | 2 | 0 | 3 × (2) + 5 × (0) = 6 |
| 5 | Vacía B en el desagüe: 5 L | (1,0) | 2 | -1 | 3 × (2) + 5 × (-1) = 1 |
Aquí x solo aumenta al tomar 3 litros de la fuente; y solo disminuye al descargar 5 litros. Verter A en B no es vaciar A en el desagüe: no cambia ni x ni y. Al final, 3 × 2 + 5 × (-1) = 1.
3. Estado y coeficientes: dos registros diferentes
Desde ahora usamos A = 5 litros y B = 3 litros. El estado (u,v) indica los contenidos reales de A y B. En cambio, x = llenados de A - vaciados de A en el desagüe e y = llenados de B - vaciados de B en el desagüe. Siempre partimos de ambas jarras vacías.
En cada paso se cumple 5x + 3y = u + v: agua tomada menos agua devuelta igual a agua restante. Un trasvase modifica u y v, pero no x ni y. Los coeficientes negativos no significan agua negativa: cuentan más vaciados que llenados de esa jarra.
Para obtener (4,0), el balance final debe ser 5x + 3y = 4. La ecuación por sí sola no especifica el orden de los movimientos ni en qué jarra está el agua.
4. De la ecuación a la familia de soluciones
5 = 1 × 3 + 2 y 3 = 1 × 2 + 1, luego MCD(5,3) = 1. Sustituyendo hacia atrás: 1 = 2 × 3 - 5. Multiplicamos por 4: 4 = 8 × 3 - 4 × 5, con solución particular (-4,8).
Todas las soluciones enteras son x = -4 + 3k e y = 8 - 5k, con k ∈ ℤ. Para k = 1 obtenemos (-1,3); para k = 2, (2,-2). Ahora traducimos ambas sin tratar los coeficientes como una lista de movimientos ya ordenada.
Profundizar en el método general
El método general de ecuaciones diofánticas, con teoría y ejemplo · Laboratorio general de ax + by = c.
5. Tres llenados de la pequeña, un vaciado de la grande
La solución (x,y) = (-1,3) expresa 4 = -5 + 3 × 3. La jarra B de 3 litros suministra los trasvases; A, de 5 litros, recibe el agua. Vaciamos A cuando está llena y llenamos B desde la fuente cuando está vacía.
| Paso | Operación | Estado (A, B) | x | y | Balance total |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Inicio: ambas vacías | (0,0) | 0 | 0 | 5 × (0) + 3 × (0) = 0 |
| 1 | Llena B desde la fuente: 3 L | (0,3) | 0 | 1 | 5 × (0) + 3 × (1) = 3 |
| 2 | Trasvasa de B a A: 3 L | (3,0) | 0 | 1 | 5 × (0) + 3 × (1) = 3 |
| 3 | Llena B desde la fuente: 3 L | (3,3) | 0 | 2 | 5 × (0) + 3 × (2) = 6 |
| 4 | Trasvasa de B a A: 2 L | (5,1) | 0 | 2 | 5 × (0) + 3 × (2) = 6 |
| 5 | Vacía A en el desagüe: 5 L | (0,1) | -1 | 2 | 5 × (-1) + 3 × (2) = 1 |
| 6 | Trasvasa de B a A: 1 L | (1,0) | -1 | 2 | 5 × (-1) + 3 × (2) = 1 |
| 7 | Llena B desde la fuente: 3 L | (1,3) | -1 | 3 | 5 × (-1) + 3 × (3) = 4 |
| 8 | Trasvasa de B a A: 3 L | (4,0) | -1 | 3 | 5 × (-1) + 3 × (3) = 4 |
Son 8 movimientos: tres llenados de B, un vaciado de A y cuatro trasvases. En (1,3) ya tenemos 4 litros en total, pero repartidos: hace falta el último trasvase para obtener (4,0).
6. Dos llenados de la grande, dos vaciados de la pequeña
La solución (x,y) = (2,-2) expresa 4 = 2 × 5 - 2 × 3. Esta vez llenamos A y vertemos hacia B, que vaciamos cuando está llena.
| Paso | Operación | Estado (A, B) | x | y | Balance total |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Inicio: ambas vacías | (0,0) | 0 | 0 | 5 × (0) + 3 × (0) = 0 |
| 1 | Llena A desde la fuente: 5 L | (5,0) | 1 | 0 | 5 × (1) + 3 × (0) = 5 |
| 2 | Trasvasa de A a B: 3 L | (2,3) | 1 | 0 | 5 × (1) + 3 × (0) = 5 |
| 3 | Vacía B en el desagüe: 3 L | (2,0) | 1 | -1 | 5 × (1) + 3 × (-1) = 2 |
| 4 | Trasvasa de A a B: 2 L | (0,2) | 1 | -1 | 5 × (1) + 3 × (-1) = 2 |
| 5 | Llena A desde la fuente: 5 L | (5,2) | 2 | -1 | 5 × (2) + 3 × (-1) = 7 |
| 6 | Trasvasa de A a B: 1 L | (4,3) | 2 | -1 | 5 × (2) + 3 × (-1) = 7 |
| 7 | Vacía B en el desagüe: 3 L | (4,0) | 2 | -2 | 5 × (2) + 3 × (-2) = 4 |
Este recorrido necesita 7 movimientos. En el paso 6, el estado es (4,3): la grande contiene la cantidad pedida, pero el balance sigue siendo 5 × 2 + 3 × (-1) = 7. Solo después de vaciar B llegamos a (4,0) y a la solución (2,-2).
7. Un procedimiento sistemático, no una serie de intentos
Formalizamos la interpretación del libro mediante un algoritmo operativo. Elige una dirección, por ejemplo A → B, y empieza en (0,0):
- Si una jarra contiene el objetivo y la otra está vacía, termina.
- Si una contiene el objetivo y la otra está llena, vacía la llena y termina.
- En otro caso, si B está llena, vacíala.
- Si A está vacía, llénala desde la fuente.
- En los demás casos, trasvasa
min(u, b - v)litros de A a B y repite.
La dirección B → A intercambia los papeles. Cada movimiento viene determinado por el estado, no por una intuición. Primero comprobamos el MCD y la capacidad: si el objetivo es admisible, el procedimiento lo alcanza. Los restos sucesivos recorren los múltiplos del MCD; las capacidades divididas por el MCD son coprimas.
El laboratorio muestra las dos direcciones y sus recuentos efectivos. Son recorridos constructivos: no atribuimos al libro nuestra interfaz ni una búsqueda automática del mínimo.
8. Las otras soluciones enteras: añadir ciclos de balance cero
La familia es infinita, pero los estados de las jarras son finitos: las soluciones más alejadas pueden incluir repeticiones. Un ciclo de (0,0) a (0,0), llenando B y vaciando A, toma cinco veces 3 litros y devuelve tres veces 5 litros. Su contribución es (Δx,Δy) = (-3,5) y 5 × (-3) + 3 × 5 = 0.
Hacer este ciclo y después el recorrido de (-1,3) da (-4,8): la misma agua final, más operaciones. El ciclo opuesto aporta (3,-5). En general, los incrementos son (b/g,-a/g) o su opuesto, con g = MCD(a,b).
Elige k en el laboratorio: construye un recorrido con esos coeficientes exactos añadiendo el número necesario de ciclos cerrados antes del recorrido final. La reproducción se limita a 2.000 movimientos por legibilidad; un límite de visualización no significa imposibilidad matemática.
9. Cuándo se puede y cuándo no
Para capacidades enteras positivas a y b y objetivo c, aislar c litros es posible exactamente cuando MCD(a,b) ∣ c y 0 ≤ c ≤ max(a,b), con fuente y desagüe. La divisibilidad se refiere a la ecuación; el límite, al recipiente final. Si c = 0, basta con no hacer nada.
4x + 6y = 1: imposible, porque el MCD es 2 y no divide 1.- Con 4 y 6, obtener 2 es posible:
(0,0) → (0,6) → (4,2) → (0,2). - Con 5 y 3, la ecuación para 8 tiene soluciones enteras, pero ninguna jarra contiene 8 litros por sí sola.
- Con 6 y 10, obtener 8:
(0,0) → (0,10) → (6,4) → (0,4) → (4,0) → (4,10) → (6,8) → (0,8). Balance:2 × 10 - 2 × 6 = 8. - Con 2 y 7, obtener 1:
(0,0) → (0,7) → (2,5) → (0,5) → (2,3) → (0,3) → (2,1) → (0,1). - Con 6 y 9, obtener 4 es imposible: el MCD es 3.
En cada secuencia, las coordenadas siguen el orden de las capacidades indicadas. En el laboratorio, A y B permanecen fijas incluso cuando A es la jarra pequeña.
10. Una solución correcta no tiene por qué ser la más corta
Para 5 y 3, el recorrido de 7 movimientos es más corto que el de 8. No basta con minimizar |x| + |y|: vale 4 para ambas parejas, pero cambia el número de trasvases. Si la otra jarra puede quedarse llena, bastan 6 movimientos: es otro objetivo.
Para certificar el mínimo puede usarse una búsqueda en anchura (BFS) en el grafo de estados, contando cada llenado, vaciado o trasvase como un movimiento. Esta comprobación algorítmica es distinta del método de recuento. El laboratorio indica las longitudes de los recorridos mostrados sin calificarlos automáticamente como óptimos.
11. La variante cerrada 8–5–3 es otro modelo
Si el recipiente de 8 empieza lleno y no hay fuente ni desagüe, solo quedan los trasvases. Para dividir los 8 litros en dos partes de 4, con estados ordenados como (8,5,3), un recorrido es:
(8,0,0) → (3,5,0) → (3,2,3) → (6,2,0)
→ (6,0,2) → (1,5,2) → (1,4,3) → (4,4,0)El total siempre es 8: la interpretación de extracciones y descargas del modelo abierto no puede trasladarse sin cambios. El nuevo laboratorio se dedica a dos jarras con fuente y desagüe.
12. Cómo leer las dos barras del laboratorio
Las dos barras comparten la misma escala en litros: la jarra de 5 resulta más alta que la de 3. El borde representa la capacidad; el agua coloreada, el contenido actual. Debajo aparecen el estado, x e y, el agua tomada y la descargada. El balance se comprueba en cada movimiento.
Pulsa Siguiente para una operación, Anterior para revisarla o inicia la reproducción automática a un movimiento por segundo. Cambia la dirección, elige k o vuelve al inicio. La tabla recoge todo el recorrido y distingue los ciclos del tramo final.
La idea esencial es sencilla: la ecuación dice cuánto; el procedimiento construye cómo; los estados comprueban que cada movimiento sea legal.