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50 problemi difficili: equazioni, logica e pensiero laterale

Cinquanta problemi avanzati da affrontare con equazioni, ragionamento diretto o pensiero laterale, con soluzioni inizialmente nascoste.

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90 min

Questa raccolta propone cinquanta problemi difficili e mescola tre approcci: modellare con un’equazione, ragionare direttamente sui dati e cambiare prospettiva con il pensiero laterale. Non tutti i problemi richiedono calcoli: scegliere il metodo adatto fa parte della soluzione.

Come usare la raccolta. Leggi con precisione, annota ciò che è davvero dichiarato e prova una strategia prima di aprire la soluzione. Qui pensiero laterale non significa indovinare un trucco nascosto: significa riesaminare consapevolmente le assunzioni, distinguendo quelle esplicitate dal testo da quelle aggiunte da noi.

Tre modi di risolvere

Equazione: traduci le relazioni in simboli e verifica il risultato nel contesto. Ragionamento: usa invarianti, conteggi, proporzioni, casi o lavoro a ritroso. Pensiero laterale: cerca l’assunzione non necessaria che blocca la lettura più semplice. L’etichetta dentro ogni soluzione indica il metodo principale, non l’unico possibile.

I 50 problemi

  1. La cornice quadrata

    Una piazza quadrata contiene al centro un'aiuola quadrata. I lati corrispondenti sono paralleli e il passaggio fra i due quadrati è largo uniformemente 3 m. L'area del solo passaggio è 204 m2. Quanto misurano i lati dei due quadrati?

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    Metodo principale: Equazione

    Sia x il lato esterno; quello interno misura x − 6, perché il passaggio occupa 3 m su entrambi i lati. L'area della cornice dà x2 − (x − 6)2 = 204. Sviluppando: 12x − 36 = 204, quindi x = 20. Il lato interno è 20 − 6 = 14 m. Verifica: 202 − 142 = 400 − 196 = 204.

    Risposta. Lato esterno 20 m; lato interno 14 m

    Un altro percorso

    Tagliando la cornice lungo le diagonali si ottengono quattro trapezi congruenti, ciascuno di area 204/4 = 51 m2 e altezza 3 m. La media delle due basi vale quindi 51/3 = 17 m. Le basi differiscono di 6 m, perciò sono 3 m sotto e sopra la media: 14 m e 20 m.

  2. I gradini della scala mobile

    Una scala mobile sale a velocità costante. Ada sale camminando a 1 gradino al secondo rispetto alla scala e conta 30 gradini prima di arrivare in cima. Bruno, sulla stessa scala e nelle stesse condizioni, cammina a 2 gradini al secondo e ne conta 45. Quanti gradini visibili avrebbe la scala se fosse ferma e a quale velocità si muove? Si assumano velocità costanti e nessun gradino saltato.

    Mostra la soluzione del problema 2

    Metodo principale: Equazione

    Sia v la velocità della scala in gradini al secondo e N il numero di gradini visibili da ferma. Ada impiega 30 s, quindi N = 30(1 + v). Bruno impiega 45/2 = 22,5 s, quindi N = 22,5(2 + v). Uguagliando: 30 + 30v = 45 + 22,5v, da cui v = 2. Pertanto N = 30 · 3 = 90. Anche Bruno percorre 22,5 · 4 = 90 gradini rispetto al suolo.

    Risposta. 90 gradini; velocità della scala 2 gradini al secondo

  3. I due esperimenti con i gettoni

    Due sacchetti hanno la stessa composizione iniziale: ciascuno contiene r gettoni rossi e b gettoni blu, tutti indistinguibili salvo il colore. Nel primo si aggiungono 6 rossi e la probabilità di estrarre un rosso diventa 2/3. Nel secondo, invece, si tolgono 4 blu e la probabilità di estrarre un rosso diventa 3/4. Quanti gettoni di ciascun colore c'erano inizialmente in ogni sacchetto?

    Mostra la soluzione del problema 3

    Metodo principale: Equazione

    Siano r e b i numeri iniziali. Dal primo esperimento, (r + 6)/(r + b + 6) = 2/3, cioè r + 6 = 2b. Dal secondo, r/(r + b − 4) = 3/4, cioè r = 3b − 12. Sostituendo: 3b − 12 + 6 = 2b, quindi b = 6 e r = 6. Verifica: dopo l'aggiunta si hanno 12 rossi su 18; dopo la rimozione, 6 rossi su 8.

    Risposta. 6 rossi e 6 blu

  4. I tre archivi digitali

    Tre archivi A, B e C occupano complessivamente 405 GB. A e B insieme occupano 30 GB più del doppio di C. Dopo aver spostato 15 GB da A a B, la dimensione di B diventa i 3/4 di quella di A. Quali erano le tre dimensioni iniziali?

    Mostra la soluzione del problema 4

    Metodo principale: Equazione

    Da A + B + C = 405 e A + B = 2C + 30 segue 3C + 30 = 405, dunque C = 125 e A + B = 280. Dopo il trasferimento, B + 15 = 3(A − 15)/4, cioè 3A − 4B = 105. Ponendo B = 280 − A si ottiene 7A = 1225, quindi A = 175 e B = 105. Verifica: dopo lo spostamento A vale 160 GB e B 120 GB, ossia i suoi tre quarti.

    Risposta. A = 175 GB, B = 105 GB, C = 125 GB

  5. L'eco del drone

    In una simulazione un drone vola in linea retta verso una parete a 20 m/s. Quando si trova a distanza sconosciuta emette un impulso sonoro; l'eco torna al drone esattamente 1 s dopo. La velocità del suono è 340 m/s. A quale distanza dalla parete è stato emesso l'impulso? Si trascurino vento e tempo di riflessione.

    Mostra la soluzione del problema 5

    Metodo principale: Equazione

    Sia d la distanza iniziale. In 1 s il suono percorre complessivamente 340 m. Il tratto di andata fino alla parete misura d; quando l'eco raggiunge il drone, questo si è avvicinato di 20 m, quindi il tratto di ritorno misura d − 20. Pertanto d + (d − 20) = 340, da cui 2d = 360 e d = 180 m. Verifica temporale: il suono raggiunge la parete in 180/340 s e copre il ritorno incontrando il drone entro il secondo complessivo.

    Risposta. 180 m

    Un altro percorso

    Durante il secondo trascorso il drone avanza di 20 m. Il percorso sonoro di 340 m è quindi formato da due volte la distanza iniziale meno quei 20 m: aggiungendoli a 340 e dividendo per due si ottengono 180 m.

  6. Le due candele virtuali

    In una simulazione due candele hanno la stessa lunghezza iniziale e bruciano a velocità costante. La prima si consumerebbe in 4 ore, la seconda in 6 ore. Accese nello stesso istante, dopo quanto tempo la parte rimasta della seconda è il doppio di quella rimasta della prima?

    Mostra la soluzione del problema 6

    Metodo principale: Equazione

    Se la lunghezza iniziale è L, dopo t ore restano L(1 − t/4) e L(1 − t/6). La condizione è 1 − t/6 = 2(1 − t/4). Si ottiene 1 − t/6 = 2 − t/2, quindi t/3 = 1 e t = 3 ore. In quel momento resta L/4 della prima e L/2 della seconda: il rapporto è 2.

    Risposta. Dopo 3 ore

    Un altro percorso

    Dopo 3 ore la prima ha consumato tre quarti della lunghezza e ne conserva un quarto; la seconda ne ha consumata metà e ne conserva metà. Una metà è il doppio di un quarto.

  7. Le ruote sullo stesso percorso

    Due ruote percorrono senza slittare la stessa distanza. La circonferenza della ruota grande supera di 4 m quella della piccola. La ruota grande compie 15 giri in meno e, insieme, le due ruote compiono 75 giri. Trova le circonferenze e la distanza percorsa.

    Mostra la soluzione del problema 7

    Metodo principale: Equazione

    Sia n il numero di giri della ruota grande; la piccola ne compie n + 15. Da n + n + 15 = 75 segue n = 30, quindi la piccola compie 45 giri. Se c è la sua circonferenza, l'uguaglianza delle distanze dà 30(c + 4) = 45c. Dunque 120 = 15c e c = 8 m; la grande misura 12 m. La distanza è 45 · 8 = 360 m, anche 30 · 12.

    Risposta. Circonferenze 8 m e 12 m; distanza 360 m

  8. I due mosaici quadrati

    Con 313 tessere uguali si costruiscono due mosaici quadrati, usando tutte le tessere. I numeri di tessere sui lati dei due quadrati sono interi consecutivi. Quante tessere misura il lato di ciascun mosaico?

    Mostra la soluzione del problema 8

    Metodo principale: Equazione

    Sia n il lato del mosaico minore; l'altro ha lato n + 1. Le aree danno n2 + (n + 1)2 = 313, cioè 2n2 + 2n − 312 = 0. Dividendo per 2: n2 + n − 156 = 0 = (n − 12)(n + 13). La misura positiva è n = 12; l'altro lato è 13. Verifica: 122 + 132 = 144 + 169 = 313.

    Risposta. 12 tessere e 13 tessere

    Un altro percorso

    La metà di 313 è circa 156,5, quindi i quadrati cercati devono avere lati vicini a √156,5, cioè fra 12 e 13. Provando i due interi consecutivi si ottiene subito 144 + 169 = 313.

  9. Le cifre per numerare il libro

    Le pagine di un libro sono numerate da 1 in poi, senza zeri iniziali. Per stampare tutti i numeri di pagina vengono usate esattamente 642 cifre. Qual è il numero dell'ultima pagina?

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    Metodo principale: Ragionamento

    Le pagine da 1 a 9 usano 9 cifre. Da 10 a 99 ci sono 90 numeri di due cifre, quindi altre 180 cifre. Restano 642 − 9 − 180 = 453 cifre. Da 100 in poi ogni pagina ne usa 3, perciò sono numerate altre 453/3 = 151 pagine: da 100 fino a 99 + 151 = 250. Il conteggio inverso dà 9 + 180 + 151 · 3 = 642.

    Risposta. Pagina 250

  10. Le iscrizioni sui quattro cassetti

    Un documento si trova in uno solo dei cassetti A, B, C e D. Le iscrizioni dicono: A: «Il documento non è in B»; B: «È in A oppure in C»; C: «Non è in A»; D: «È in D». Si sa che esattamente due iscrizioni sono vere. In quale cassetto si trova il documento?

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    Metodo principale: Ragionamento

    Si controllano le quattro possibilità. Se il documento è in A, le frasi di A e B sono vere, quelle di C e D false: esattamente due. Se è in B, è vera soltanto C. Se è in C, sono vere A, B e C. Se è in D, sono vere A, C e D. Solo il primo caso rispetta il numero dichiarato di verità; gli indizi bastano quindi a determinare A in modo unico.

    Risposta. Nel cassetto A

  11. L'ordine dei sei libri

    Sei libri A, B, C, D, E e F sono disposti in fila da sinistra a destra. C è terzo; A è immediatamente accanto a C; D è a sinistra di A; B è a un'estremità; F è immediatamente accanto a B; E è a destra di C ma non a un'estremità. Qual è l'unico ordine possibile?

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    Metodo principale: Ragionamento

    A potrebbe essere secondo o quarto. Se fosse quarto, E dovrebbe essere quinto. Se B fosse primo, F sarebbe secondo e non resterebbe alcun posto a sinistra di A per D; se B fosse sesto, F occuperebbe il quinto posto già necessario a E. Quindi A è secondo e D, che deve stargli a sinistra, è primo. B non può più essere primo: è sesto e F quinto. L'unico posto rimasto per E è il quarto. L'ordine è dunque D, A, C, E, F, B.

    Risposta. D – A – C – E – F – B

  12. Le strette di mano impossibili

    A un incontro partecipano 15 persone. L'organizzatore afferma che ciascuna persona ha stretto la mano esattamente a 5 persone diverse, una sola volta per coppia. L'affermazione può essere vera?

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    Metodo principale: Ragionamento

    No. Contando per persona si ottengono 15 · 5 = 75 estremità di strette di mano. Ma ogni stretta coinvolge due persone e viene quindi contata due volte: il totale deve essere pari. Poiché 75 è dispari, una simile configurazione non può esistere. L'argomento usa soltanto le assunzioni dichiarate: coppie distinte e nessuna stretta ripetuta.

    Risposta. No, è impossibile per parità

  13. Il giro dei cinque ponti

    Quattro zone A, B, C e D sono collegate da cinque ponti: AB, AC, AD, BC e CD. Un'ispettrice vuole attraversare ogni ponte esattamente una volta, senza altri collegamenti. Da quale zona deve partire, dove deve finire e qual è un percorso possibile?

    Mostra la soluzione del problema 13

    Metodo principale: Ragionamento

    I gradi delle zone, cioè i numeri di ponti incidenti, sono: A = 3, B = 2, C = 3, D = 2. In un percorso che usa ogni arco una volta, ogni visita interna consuma i ponti a coppie, uno per entrare e uno per uscire. Le sole zone di grado dispari devono quindi essere gli estremi: A e C, in qualunque ordine. Un percorso che verifica l'esistenza è A–B–C–D–A–C; usa nell'ordine AB, BC, CD, DA e AC, ciascuno una sola volta.

    Risposta. Partenza e arrivo devono essere A e C; per esempio A–B–C–D–A–C

  14. Il mese con tre giorni ripetuti

    In un certo mese compaiono cinque lunedì, cinque martedì e cinque mercoledì. Quanti giorni ha il mese e in quale giorno della settimana cade il primo?

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    Metodo principale: Ragionamento

    Quattro settimane complete contengono 28 giorni e quattro occorrenze di ciascun giorno. Per avere tre giorni della settimana con una quinta occorrenza servono tre giorni aggiuntivi: il mese ha 31 giorni. I tre giorni extra sono consecutivi e coincidono con il primo, il secondo e il terzo giorno del mese. Poiché sono lunedì, martedì e mercoledì, il mese deve iniziare di lunedì. Un mese di 30 o 29 giorni potrebbe dare una quinta occorrenza soltanto a due giorni o a uno.

    Risposta. 31 giorni; inizia di lunedì

  15. La vittoria mancante nel torneo

    Otto squadre disputano un girone all'italiana: ogni coppia gioca una volta e non esistono pareggi. Sul tabellone sono leggibili le vittorie di sette squadre: 6, 5, 5, 4, 3, 2 e 1. Il dato dell'ottava è cancellato. Quante vittorie aveva?

    Mostra la soluzione del problema 15

    Metodo principale: Ragionamento

    Con 8 squadre si giocano 8 · 7 / 2 = 28 partite. Poiché non ci sono pareggi, ogni partita produce esattamente una vittoria: la somma dei punteggi è 28. I sette dati visibili sommano 6 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 26. All'ottava squadra spettano quindi 28 − 26 = 2 vittorie. Il risultato è nell'intervallo possibile da 0 a 7 ed è determinato senza conoscere i singoli incontri.

    Risposta. 2 vittorie

  16. Il grande cubo dipinto

    Un cubo formato da 4 × 4 × 4 cubetti viene dipinto su tutte le sei facce esterne e poi separato nei 64 cubetti. Quanti cubetti hanno esattamente 3, 2, 1 oppure 0 facce dipinte?

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    Metodo principale: Ragionamento

    I cubetti con 3 facce dipinte sono gli 8 vertici. Quelli con 2 stanno sugli spigoli ma non ai vertici: ogni spigolo ne ha 4 − 2 = 2, quindi 12 · 2 = 24. Quelli con una sola faccia sono interni a una faccia: su ciascuna ce ne sono (4 − 2)2 = 4, quindi 6 · 4 = 24. Quelli non dipinti formano il nucleo (4 − 2)3 = 8. Controllo: 8 + 24 + 24 + 8 = 64.

    Risposta. 8 con 3 facce, 24 con 2, 24 con 1, 8 con 0

  17. Il codice diagnostico

    Un codice ha tre cifre distinte. Ogni indizio indica numeri esatti: 389: una cifra corretta e al posto giusto; 361: una corretta ma al posto sbagliato; 953: due corrette, entrambe al posto sbagliato; 248: nessuna corretta; 285: una corretta ma al posto sbagliato. Qual è il codice?

    Mostra la soluzione del problema 17

    Metodo principale: Ragionamento

    Da 248, 2, 4 e 8 sono assenti. In 285 l'unica cifra possibile è 5, presente ma non terza. In 389 resta 3 in prima posizione oppure 9 in terza. Il 5 è una delle due cifre spostate di 953. Se fosse presente 3, 389 lo fisserebbe al primo posto, ma in 361 sarebbe corretto e al posto giusto, contraddicendo l'indizio. Quindi 3 è assente e 9 è terzo. In 953, 5 non può essere secondo; insieme al divieto del terzo posto, deve essere primo. In 361 resta allora la sola cifra 1, spostata dal terzo al secondo posto. Il codice è 519, che verifica tutti e cinque gli indizi.

    Risposta. 519

  18. Le due tracce temporali irregolari

    In un simulatore ci sono due tracce virtuali. Se una traccia viene cancellata da una sola estremità, scompare interamente in 60 minuti, ma la velocità locale di cancellazione non è uniforme e le due tracce possono essere diverse. Il lavoro locale richiesto da ogni tratto non dipende dal verso; fronti simultanei agiscono indipendentemente. È possibile avviare un fronte da ciascuna estremità in qualunque istante. Senza orologio, come si misurano esattamente 45 minuti?

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    Metodo principale: Pensiero laterale

    All'istante iniziale si avvia la prima traccia da entrambe le estremità e la seconda da una sola. I due fronti della prima consumano insieme i suoi 60 minuti di «lavoro locale», quindi si incontrano dopo 30 minuti anche se la distribuzione della velocità è irregolare. In quel momento si avvia anche l'altra estremità della seconda traccia. Su di essa resta lavoro equivalente a 30 minuti con un solo fronte; due fronti lo completano in 15 minuti. Sono trascorsi 30 + 15 = 45 minuti. L'idea laterale è non confondere «non uniforme» con «impossibile da dimezzare»: si assume, come dichiarato dal simulatore, che il tempo locale sia indipendente dal verso e che i fronti lavorino simultaneamente.

    Risposta. Avviare entrambe le estremità della prima e una della seconda; quando la prima termina, avviare la seconda estremità della seconda

  19. I tre interruttori fuori dalla stanza

    Tre interruttori A, B e C sono fuori da una stanza chiusa; uno solo alimenta una lampada spia a incandescenza nella stanza. Puoi azionare gli interruttori quanto vuoi, poi entrare una sola volta. Dall'esterno non passa luce. Una volta dentro puoi vedere se la lampada è accesa e, senza toccarla, distinguere in sicurezza se è calda o fredda. Come identifichi l'interruttore giusto?

    Mostra la soluzione del problema 19

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Accendi A per alcuni minuti, poi spegnilo. Accendi B ed entra subito. Se la lampada è accesa, il comando è B. Se è spenta ma ancora calda, è A. Se è spenta e fredda, è C. I tre esiti sono distinti e coprono tutte le possibilità. Il passaggio laterale consiste nell'usare due informazioni, luce presente e calore residuo, invece di trattare la lampada come un dispositivo con la sola risposta acceso/spento. Le condizioni del testo rendono lecita e sicura l'osservazione termica.

    Risposta. A acceso e poi spento, B acceso: luce = B, buio caldo = A, buio freddo = C

  20. Dieci gettoni su cinque rette

    Disponi dieci gettoni puntiformi in modo che esistano esattamente cinque rette scelte, ognuna passante per quattro gettoni. Un gettone può appartenere a più rette e i gettoni non possono coincidere. Quale figura fornisce la disposizione?

    Mostra la soluzione del problema 20

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Disegna un pentagramma regolare e colloca un gettone su ciascuna delle cinque punte esterne e su ciascuna delle cinque intersezioni interne: in totale dieci. Le cinque rette scelte sono quelle che contengono i cinque tratti lunghi della stella. Su ognuna si trovano due punte esterne e due intersezioni interne, quindi quattro gettoni. Il controllo delle incidenze conferma il risultato: 5 · 4 = 20 appartenenze e ciascuno dei dieci gettoni appartiene a due rette. L'idea laterale è permettere che lo stesso gettone venga contato su due rette, condizione esplicitamente ammessa.

    Risposta. Le cinque punte e le cinque intersezioni di un pentagramma

  21. Sei bastoncini, quattro triangoli

    Hai sei bastoncini rigidi della stessa lunghezza. Senza spezzarli né sovrapporli, usali tutti una volta per formare quattro triangoli equilateri congruenti. I bastoncini possono unirsi alle estremità e la costruzione non è obbligata a essere piana. Quale solido costruisci?

    Mostra la soluzione del problema 21

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Costruisci un tetraedro regolare. Ha quattro vertici e sei spigoli: ogni spigolo usa un bastoncino. Le sue quattro facce sono triangoli equilateri congruenti, quindi le richieste sono soddisfatte esattamente. La difficoltà nasce dall'assunzione abituale, ma non richiesta, di lavorare sul piano; in due dimensioni sei segmenti distinti non possono essere i dodici lati contati faccia per faccia, mentre nello spazio ogni spigolo è condiviso da due facce.

    Risposta. Un tetraedro regolare

  22. Il ghiaccio galleggiante

    In un recipiente cilindrico con pareti verticali galleggia un blocco di ghiaccio puro in acqua dolce. Si segna il livello dell'acqua. Il ghiaccio fonde completamente: non ci sono corpi intrappolati, evaporazione, traboccamenti o variazioni di volume dovute alla temperatura. Il livello sale, scende o rimane uguale?

    Mostra la soluzione del problema 22

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Rimane uguale. Mentre galleggia, il ghiaccio sposta una massa d'acqua esattamente uguale alla propria massa, per il principio di Archimede. Quando fonde, produce proprio quella stessa massa d'acqua. Il volume dell'acqua fusa è quindi uguale al volume che prima era spostato, non al volume totale del blocco emerso e sommerso. La forma cilindrica traduce l'uguaglianza dei volumi in uguaglianza dei livelli. Il passaggio laterale è confrontare masse e volume spostato, non il volume visibile del ghiaccio.

    Risposta. Il livello rimane uguale

  23. Il nastro con una sola faccia

    Hai una striscia rettangolare di carta e un pezzo di nastro adesivo. Unendo soltanto i due lati corti, costruisci un anello che abbia una sola faccia continua e un solo bordo continuo. Come orienti le estremità prima di unirle?

    Mostra la soluzione del problema 23

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Prima di unire i lati corti, ruota un'estremità di mezzo giro, cioè di 180°, e poi incollala all'altra. Si ottiene un nastro di Möbius. Per verificare la singola faccia, traccia una linea lungo il centro senza staccare la matita: torna al punto iniziale dopo aver attraversato ciò che nel foglio piano sembravano entrambe le facce. Per verificare il singolo bordo, seguilo con un dito: percorre entrambi i vecchi lati lunghi prima di tornare all'inizio. Il passaggio laterale consiste nel cambiare l'orientamento prima della chiusura, anziché formare il consueto cilindro.

    Risposta. Dare mezzo giro a un'estremità e costruire un nastro di Möbius

  24. I sei bicchieri in fila

    Sei bicchieri identici sono in fila. I primi tre sono pieni d'acqua e gli ultimi tre vuoti: pieno, pieno, pieno, vuoto, vuoto, vuoto. Maneggiando un solo bicchiere una sola volta, e potendo versarne il contenuto, ottieni l'alternanza pieno, vuoto, pieno, vuoto, pieno, vuoto. Quale bicchiere prendi e cosa fai?

    Mostra la soluzione del problema 24

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Prendi il secondo bicchiere, versa tutta la sua acqua nel quinto e rimetti il secondo al suo posto. Il secondo diventa vuoto e il quinto pieno; gli altri non cambiano. La fila finale è quindi pieno, vuoto, pieno, vuoto, pieno, vuoto. L'idea laterale è distinguere il bicchiere, unico oggetto che viene maneggiato, dal suo contenuto, che può essere trasferito in un bicchiere mai sollevato.

    Risposta. Versare il secondo bicchiere nel quinto e rimettere il secondo al suo posto

  25. Otto parti con tre tagli

    In una simulazione un blocco cilindrico omogeneo deve essere diviso in otto pezzi congruenti mediante esattamente tre tagli piani completi. Il blocco non può essere spostato, impilato o ricomposto fra i tagli, ma i piani possono avere qualunque orientamento. Come disponi i tre tagli?

    Mostra la soluzione del problema 25

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Fai un taglio orizzontale a metà altezza, ottenendo due cilindri uguali sovrapposti. Poi esegui due tagli verticali lungo due piani diametrali perpendicolari. Ciascun piano attraversa contemporaneamente entrambi gli strati e divide ogni disco in quattro quarti uguali. Il risultato è formato da 2 · 4 = 8 quarti di cilindro congruenti. Il passaggio laterale è non assumere che tutti i tagli debbano essere verticali: il taglio nella terza dimensione raddoppia le quattro porzioni create in pianta.

    Risposta. Un piano orizzontale mediano e due piani verticali diametrali perpendicolari

  26. I kit e le casse

    Un laboratorio dispone di un certo numero di casse e deve imballare alcuni kit. Se mette 6 kit in ogni cassa, restano 13 kit fuori. Se invece ne mette 8 in ogni cassa, riempie completamente le casse usate, lascia 5 casse vuote e restano 3 kit fuori. Quante casse e quanti kit ci sono?

    Mostra la soluzione del problema 26

    Metodo principale: Equazione

    Sia c il numero delle casse. Le due descrizioni danno lo stesso numero di kit: 6c + 13 = 8(c − 5) + 3. Quindi 6c + 13 = 8c − 37, da cui 2c = 50 e c = 25. I kit sono 6 · 25 + 13 = 163.

    Verifica: con 6 kit per cassa se ne imballano 150 e ne restano 13; con 8 kit si riempiono 20 casse, 5 restano vuote e avanzano 3 kit: 20 · 8 + 3 = 163.

    Risposta. Ci sono 25 casse e 163 kit.

    Un altro percorso

    Passando da 6 kit in 25 casse a 8 kit in sole 20 casse, la capacità imballata cresce da 150 a 160. Questo aumento di 10 corrisponde alla diminuzione degli avanzi, da 13 a 3. Provando a esprimere la differenza in funzione delle casse, 2c − 40 = 10, si ottiene subito c = 25.

  27. Le tre cassette etichettate male

    Tre cassette chiuse contengono rispettivamente solo mele, solo pere e una miscela di mele e pere. Le etichette Mele, Pere e Miste sono tutte sbagliate. Puoi estrarre un solo frutto da una sola cassetta, senza guardarvi dentro. Come puoi determinare con certezza il contenuto di tutte e tre?

    Mostra la soluzione del problema 27

    Metodo principale: Ragionamento

    Si estrae un frutto dalla cassetta etichettata Miste. Poiché ogni etichetta è sbagliata, questa cassetta non è mista: il frutto estratto ne rivela quindi tutto il contenuto. Se esce una mela, quella cassetta contiene solo mele. La cassetta etichettata Pere non può contenere pere e non può contenere solo mele, già assegnate: deve essere mista. La cassetta etichettata Mele contiene allora solo pere. Se esce una pera, il ragionamento è simmetrico.

    Verifica: in entrambi i casi ogni contenuto viene assegnato una sola volta e nessuna etichetta coincide con il contenuto reale.

    Risposta. Bisogna estrarre dalla cassetta etichettata Miste; il frutto osservato determina poi univocamente tutte le cassette.

  28. Il documento e i due lucchetti

    Ada deve inviare a Bruno un documento in una cassetta robusta attraverso un corriere non fidato. Ada e Bruno possiedono ciascuno un lucchetto e la relativa chiave, ma non hanno mai scambiato chiavi. La cassetta permette di applicare contemporaneamente entrambi i lucchetti. Come possono consegnare il documento senza inviare alcuna chiave e facendo in modo che la cassetta sia sempre protetta durante i viaggi?

    Mostra la soluzione del problema 28

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Ada chiude la cassetta con il proprio lucchetto e la invia a Bruno. Bruno, senza aprirla, aggiunge il suo lucchetto e la rimanda ad Ada. Ada rimuove soltanto il proprio lucchetto e rispedisce la cassetta, ancora chiusa da quello di Bruno. Bruno rimuove infine il suo lucchetto e apre la cassetta.

    Perché funziona: durante ogni tragitto è presente almeno un lucchetto la cui chiave non viaggia con la cassetta. Si assume che il corriere non possa forzare né sostituire cassetta e lucchetti.

    Risposta. Usano il protocollo in tre viaggi: lucchetto di Ada, poi entrambi, infine solo quello di Bruno.

  29. I tre pedaggi di rame

    Un viaggiatore supera tre porte. A ogni porta consegna metà delle monete che possiede in quel momento e poi altre 2 monete. Dopo il terzo pagamento gli restano 18 monete. Con quante monete era partito?

    Mostra la soluzione del problema 29

    Metodo principale: Equazione

    Sia x il numero iniziale. Dopo i tre pagamenti resta (((x/2 − 2)/2 − 2)/2 − 2). L’equazione è quindi (((x/2 − 2)/2 − 2)/2 − 2) = 18. Semplificando, x/8 − 7/2 = 18, dunque x/8 = 43/2 e x = 172.

    Verifica: da 172 paga 86 + 2 e resta con 84; paga 42 + 2 e resta con 40; paga 20 + 2 e resta con 18.

    Risposta. Era partito con 172 monete.

    Un altro percorso

    Si lavora a ritroso. Prima dell’ultima porta doveva avere 2 · (18 + 2) = 40 monete; prima della seconda 2 · (40 + 2) = 84; prima della prima 2 · (84 + 2) = 172.

  30. I cappelli dei tre ricercatori

    Da una scorta di 3 cappelli blu e 2 verdi se ne mette uno in testa a ciascuno di tre ricercatori in fila. Anna vede i cappelli di Bruno e Carla; Bruno vede quello di Carla; Carla non vede nessun cappello. Tutti conoscono la scorta e sentono le risposte precedenti. Anna dice di non sapere il proprio colore. Bruno dice a sua volta di non saperlo. Carla allora afferma di conoscere il proprio colore. Di che colore è?

    Mostra la soluzione del problema 30

    Metodo principale: Ragionamento

    Se Bruno e Carla avessero entrambi un cappello verde, Anna vedrebbe esauriti i due verdi e saprebbe di avere un cappello blu. Il suo dubbio esclude quindi la coppia verde-verde. Bruno conosce questa informazione. Se vedesse verde su Carla, saprebbe che il proprio cappello non può essere verde e concluderebbe di averlo blu. Poiché anche Bruno resta incerto, Carla non può avere il verde: ha il cappello blu.

    Verifica: con Carla in blu, il dubbio di Anna e quello di Bruno sono entrambi possibili; con Carla in verde, Bruno avrebbe invece una deduzione certa.

    Risposta. Carla porta un cappello blu.

  31. Le monete al buio

    Su un tavolo ci sono 100 monete: esattamente 20 mostrano testa e 80 croce. Sei bendato e al tatto non puoi distinguere le facce. Puoi spostare e capovolgere le monete. Come puoi dividerle in due gruppi che mostrino esattamente lo stesso numero di teste, senza dover rendere uguali le dimensioni dei gruppi?

    Mostra la soluzione del problema 31

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Si scelgono 20 monete qualsiasi per il primo gruppo e si lasciano le altre 80 nel secondo. Poi si capovolgono tutte le 20 monete del primo gruppo. Se fra le 20 scelte c’erano h teste, nel gruppo grande restano 20 − h teste. Dopo il capovolgimento, le h teste del gruppo piccolo diventano croci e le sue 20 − h croci diventano teste. Entrambi i gruppi mostrano quindi 20 − h teste.

    Verifica: l’argomento vale per qualunque scelta delle 20 monete, anche nei casi estremi h = 0 e h = 20.

    Risposta. Si separano 20 monete qualsiasi e si capovolgono tutte: i due gruppi avranno lo stesso numero di teste.

  32. I ripiani del vivaio

    In un vivaio ci sono 17 ripiani di vasi. Ogni ripiano contiene 4 vasi in più del precedente e in totale ci sono 850 vasi. Quanti vasi hanno il primo e l’ultimo ripiano?

    Mostra la soluzione del problema 32

    Metodo principale: Equazione

    Sia x il numero di vasi sul primo ripiano. L’ultimo ne ha x + 16 · 4 = x + 64. La somma di una progressione aritmetica è numero di termini per media degli estremi: 17(x + x + 64)/2 = 850. Quindi 17(x + 32) = 850, x + 32 = 50 e x = 18. L’ultimo ripiano ha 18 + 64 = 82 vasi.

    Verifica: la media fra 18 e 82 è 50; 50 · 17 = 850.

    Risposta. Il primo ripiano ha 18 vasi e l’ultimo 82.

    Un altro percorso

    Il ripiano centrale deve contenere la media, cioè 850 : 17 = 50 vasi. Fra il primo e il nono ripiano ci sono 8 aumenti da 4, quindi il primo ne ha 50 − 32 = 18; per simmetria l’ultimo ne ha 50 + 32 = 82.

  33. Il ponte e la lampada

    Quattro tecnici devono attraversare di notte un ponte che regge al massimo due persone. Hanno una sola lampada, che deve sempre accompagnare chi attraversa. I loro tempi individuali sono 1, 2, 7 e 11 minuti; una coppia procede al ritmo del più lento. Qual è il tempo minimo perché arrivino tutti dall’altra parte?

    Mostra la soluzione del problema 33

    Metodo principale: Ragionamento

    La sequenza ottima è: attraversano 1 e 2 in 2 minuti; torna 1 in 1; attraversano 7 e 11 in 11; torna 2 in 2; attraversano di nuovo 1 e 2 in 2. Totale: 2 + 1 + 11 + 2 + 2 = 18 minuti.

    Minimalità: se i tecnici da 7 e 11 attraversano insieme e in quel momento nessun veloce è già sull’altra riva, dopo il passaggio da 11 minuti uno dei due lenti deve riportare la lampada, impiegando almeno 7 minuti, e serve ancora almeno un passaggio: il totale è almeno 11 + 7 + 1 = 19. Nell’unico sottocaso potenzialmente ottimo si preposiziona un veloce sull’altra riva; al di fuori del passaggio lento, i movimenti necessari dei due veloci costano almeno 1 + 3 · 2 = 7, quindi il totale è almeno 11 + 7 = 18. Se invece i due lenti attraversano separatamente, occorrono almeno tre attraversamenti in avanti e due ritorni: i due passaggi lenti costano almeno 7 + 11 e le altre tre mosse almeno 1 minuto ciascuna, per un totale di almeno 7 + 11 + 3 = 21. La costruzione da 18 minuti raggiunge dunque il limite minimo.

    Risposta. Il minimo è 18 minuti.

  34. I quattro dischetti indistinguibili

    In un rompicapo astratto ci sono due dischetti di tipo A e due di tipo B, identici nell’aspetto e al tatto, che vengono mescolati al buio. Ogni dischetto è uniforme e divisibile con precisione lungo una tacca centrale. Come si possono formare due porzioni, ciascuna equivalente a un dischetto A intero e a uno B intero, senza riconoscere i tipi?

    Mostra la soluzione del problema 34

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Si dividono tutti e quattro i dischetti in due metà uguali. Nella prima porzione si mette una metà di ciascuno dei quattro dischetti; la seconda riceve le quattro metà rimaste. Nella prima ci sono due metà provenienti dai due dischetti A, equivalenti a un A intero, e due provenienti dai B, equivalenti a un B intero. Lo stesso vale per la seconda porzione.

    Assunzione: il rompicapo è puramente astratto; ogni dischetto è uniforme e si divide esattamente a metà.

    Risposta. Si dimezzano tutti i dischetti e si mette una metà di ciascuno in ogni porzione.

  35. Quaderni e penne senza prezzi

    In una cartoleria 7 quaderni e 5 penne costano 43,40 €, mentre 4 quaderni e 9 penne costano 42,00 €. Quanto costa ciascun articolo?

    Mostra la soluzione del problema 35

    Metodo principale: Equazione

    Siano q il prezzo di un quaderno e p quello di una penna. Il sistema è 7q + 5p = 43,40 e 4q + 9p = 42,00. Moltiplicando la prima equazione per 4 e la seconda per 7 si ottengono 28q + 20p = 173,60 e 28q + 63p = 294,00. Sottraendo, 43p = 120,40, quindi p = 2,80. Dalla prima equazione, 7q = 43,40 − 14,00 = 29,40, dunque q = 4,20.

    Verifica: 7 · 4,20 + 5 · 2,80 = 43,40 e 4 · 4,20 + 9 · 2,80 = 42,00.

    Risposta. Un quaderno costa 4,20 € e una penna 2,80 €.

  36. La fusione dei sei numeri

    Su una lavagna sono scritti i numeri 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A ogni mossa si scelgono due numeri a e b, li si cancella e si scrive al loro posto a + b + ab. Dopo cinque mosse resta un solo numero. Qual è, indipendentemente dalle coppie scelte?

    Mostra la soluzione del problema 36

    Metodo principale: Ragionamento

    Per il nuovo numero c vale c + 1 = a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1). Quindi il prodotto di tutti i valori ottenuti aggiungendo 1 ai numeri presenti non cambia: due fattori a + 1 e b + 1 vengono sostituiti dal loro prodotto. All’inizio tale prodotto è 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040. Se alla fine resta r, deve essere r + 1 = 5040, dunque r = 5039.

    Verifica: la dimostrazione non dipende né dall’ordine né dalle coppie scelte.

    Risposta. Resta sempre 5.039.

  37. Il lingotto e i sette pernottamenti

    Un viaggiatore possiede un lingotto segnato in 7 segmenti di uguale valore. Deve pagare una locanda alla fine di ogni giornata, per 7 giorni, in modo che il locandiere possieda ogni sera esattamente il valore dei giorni trascorsi. Prima di arrivare può fare soltanto due tagli rettilinei lungo le tacche; il locandiere può dare resto usando i pezzi ricevuti. Come deve tagliare e pagare?

    Mostra la soluzione del problema 37

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Con due tagli separa pezzi da 1, 2 e 4 segmenti. I pagamenti netti sono: giorno 1, dà 1; giorno 2, riprende 1 e dà 2; giorno 3, dà 1; giorno 4, riprende 1 e 2 e dà 4; giorno 5, dà 1; giorno 6, riprende 1 e dà 2; giorno 7, dà 1. Il locandiere possiede così, sera per sera, valori 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

    Idea laterale: non è necessario consegnare un nuovo pezzo senza riceverne indietro; il resto rende utilizzabile la rappresentazione binaria 1 + 2 + 4.

    Risposta. Taglia il lingotto in pezzi da 1, 2 e 4 segmenti e usa il resto per formare ogni valore da 1 a 7.

  38. Il triangolo dal lato mancante

    Un pannello ha la forma di un triangolo rettangolo. L’ipotenusa misura 13 m e un cateto è lungo 7 m più dell’altro. Quanto misurano i due cateti?

    Mostra la soluzione del problema 38

    Metodo principale: Equazione

    Sia x la misura del cateto corto; l’altro misura x + 7. Per il teorema di Pitagora, x2 + (x + 7)2 = 132. Sviluppando: 2x2 + 14x + 49 = 169, quindi x2 + 7x − 60 = 0. Si fattorizza in (x + 12)(x − 5) = 0. Le soluzioni algebriche sono −12 e 5, ma una lunghezza deve essere positiva: x = 5. L’altro cateto misura 12 m.

    Verifica: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 e 12 − 5 = 7.

    Risposta. I cateti misurano 5 m e 12 m.

    Un altro percorso

    Si può riconoscere la terna pitagorica 5, 12, 13: i cateti differiscono proprio di 7, quindi soddisfano entrambe le condizioni.

  39. Il numero dai resti consecutivi

    Trova il più piccolo intero positivo che dà resto 1 se diviso per 2, resto 2 se diviso per 3, resto 3 se diviso per 4, resto 4 se diviso per 5 ed è divisibile per 7.

    Mostra la soluzione del problema 39

    Metodo principale: Ragionamento

    Le prime quattro condizioni dicono tutte che aggiungendo 1 al numero si ottiene un multiplo di 2, 3, 4 e 5. Il loro minimo comune multiplo è 60, quindi il numero ha forma 60k − 1. Deve inoltre essere divisibile per 7. Poiché 60 ≡ 4 modulo 7, serve 4k − 1 ≡ 0, cioè 4k ≡ 1. Il più piccolo k positivo che funziona è 2, perché 4 · 2 = 8 ≡ 1. Il numero è quindi 60 · 2 − 1 = 119.

    Verifica: 119 dà rispettivamente resti 1, 2, 3 e 4 e vale 7 · 17.

    Risposta. Il numero è 119.

    Un altro percorso

    Si elencano i numeri di una unità inferiori ai multipli di 60: 59, 119, 179, … Il primo divisibile per 7 è 119.

  40. I nove punti e il quadrato immaginario

    Nove punti sono disposti nei nodi di una griglia 3 × 3. Senza sollevare la penna, traccia soltanto quattro segmenti rettilinei consecutivi che attraversino tutti i punti. Non è necessario terminare nel punto di partenza.

    Mostra la soluzione del problema 40

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Si assegnano coordinate da (0,0), in basso a sinistra, a (2,2), in alto a destra. Si tracciano nell’ordine i segmenti: da (0,0) a (2,2); poi fino a (−1,2); poi fino a (2,−1); infine verticalmente fino a (2,2). Il primo passa per il centro; il secondo attraversa la fila superiore; il terzo attraversa (0,1) e (1,0); l’ultimo attraversa i due punti mancanti della colonna destra.

    Idea laterale: i punti suggeriscono un quadrato, ma nessuna regola vieta di prolungare i segmenti oltre il suo bordo immaginario.

    Risposta. La soluzione usa quattro segmenti che si estendono oltre il quadrato suggerito dai nove punti.

  41. Il poligono ricco di diagonali

    Un poligono convesso ha un numero di diagonali pari a cinque volte il numero dei suoi lati. Quanti lati ha?

    Mostra la soluzione del problema 41

    Metodo principale: Equazione

    Da ciascuno degli n vertici si possono tracciare diagonali verso n − 3 vertici, escludendo il vertice stesso e i due adiacenti. Ogni diagonale viene così contata due volte, quindi il totale è n(n − 3)/2. L’equazione richiesta è n(n − 3)/2 = 5n. Poiché un poligono ha n > 0, si divide per n: (n − 3)/2 = 5, da cui n − 3 = 10 e n = 13.

    Verifica: un tredicagono ha 13 · 10 / 2 = 65 diagonali e 5 · 13 = 65.

    Risposta. Il poligono ha 13 lati.

    Un altro percorso

    Il rapporto diagonali/lati vale (n − 3)/2. Imporlo uguale a 5 dà direttamente n = 13.

  42. L’ultima rottura della tavoletta

    Una tavoletta rettangolare è divisa in una griglia di 6 × 8 quadratini. Due giocatori si alternano: a ogni mossa scelgono un solo pezzo rettangolare già ottenuto e lo spezzano lungo una linea completa della griglia in due rettangoli. Non si possono sovrapporre pezzi né romperne più di uno con la stessa mossa. Vince chi esegue l’ultima rottura possibile. Chi vince con gioco perfetto?

    Mostra la soluzione del problema 42

    Metodo principale: Ragionamento

    Vince il primo giocatore. All’inizio c’è un solo pezzo; alla fine, quando non è più possibile spezzare, ci sono i 6 · 8 = 48 quadratini unitari. Ogni mossa sostituisce un pezzo con due e aumenta quindi il numero totale dei pezzi esattamente di 1. Per passare da 1 a 48 pezzi servono sempre 48 − 1 = 47 mosse, qualunque siano le linee scelte. Poiché 47 è dispari, la mossa finale spetta al primo giocatore.

    Verifica: non esiste una strategia che cambi la durata; finché un pezzo contiene più di un quadratino, possiede almeno una linea di rottura.

    Risposta. Vince il primo giocatore, perché ogni partita dura esattamente 47 mosse.

  43. La collana da quattro catene

    Ci sono quattro spezzoni separati di catena, ciascuno formato da tre anelli chiusi. Si vuole ottenere un’unica collana semplice e chiusa di 12 anelli, nella quale ogni anello è concatenato esattamente con due vicini. Aprire e poi richiudere un anello costa un’operazione. Qual è il numero minimo di anelli da aprire e come si procede?

    Mostra la soluzione del problema 43

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Si sceglie uno spezzone e si aprono tutti i suoi tre anelli, separandoli. Si dispongono gli altri tre spezzoni intatti in cerchio e si usa ciascun anello aperto per collegare le estremità di due spezzoni consecutivi; poi lo si richiude. Si ottiene una collana di 12 anelli aprendo soltanto 3 anelli.

    Minimalità: con 0 aperture i quattro spezzoni restano separati. Supponiamo allora che siano stati aperti k anelli, con 1 ≤ k ≤ 2. Se si rimuovono questi k anelli dalla collana finale, che è un ciclo, restano al massimo k cammini connessi. D’altra parte, ciascuno dei quattro spezzoni iniziali conserva almeno un anello mai aperto, perché per svuotarne uno servirebbero 3 aperture. Anelli mai aperti appartenenti a spezzoni originari diversi non possono essere stati concatenati direttamente; rimossi gli anelli aperti, devono quindi restare almeno 4 componenti non vuote. È una contraddizione. Servono almeno 3 aperture e la costruzione mostra che bastano. Il cambio di prospettiva consiste nel sacrificare un intero spezzone come connettori.

    Risposta. Il minimo è 3: si aprono tutti gli anelli di uno spezzone e si usano per collegare gli altri tre.

  44. I sei blocchi ricorsivi

    Un archivio sperimentale contiene 6 blocchi di dati ordinati. Il secondo blocco è più grande del primo di 3 MB e, dal terzo in poi, ogni blocco ha dimensione uguale alla somma dei due precedenti. I sei blocchi occupano complessivamente 436 MB. Qual è la dimensione di ciascun blocco?

    Mostra la soluzione del problema 44

    Metodo principale: Equazione

    Sia x la dimensione del primo blocco. Le sei dimensioni sono, nell’ordine, x, x + 3, 2x + 3, 3x + 6, 5x + 9 e 8x + 15. La loro somma dà l’equazione 20x + 36 = 436. Quindi 20x = 400 e x = 20. Le dimensioni sono pertanto 20, 23, 43, 66, 109 e 175 MB.

    Verifica: ogni termine dal terzo è somma dei due precedenti e 20 + 23 + 43 + 66 + 109 + 175 = 436.

    Risposta. I blocchi misurano 20, 23, 43, 66, 109 e 175 MB.

    Un altro percorso

    Si può scrivere ogni blocco come coefficiente del primo più una costante. Entrambe le successioni di coefficienti, 1, 1, 2, 3, 5, 8, e delle costanti, 0, 3, 3, 6, 9, 15, seguono la stessa regola ricorsiva; le loro somme sono 20 e 36.

  45. Le due sonde e i cento livelli

    Un edificio di prova ha 100 livelli. Esiste una soglia ignota: una sonda lasciata cadere da un livello non superiore alla soglia resta integra e può essere riusata; da un livello superiore si rompe. Con due sonde identiche, qual è il minimo numero di lanci necessario nel caso peggiore per determinare esattamente il livello sicuro più alto, ammettendo anche che nessun livello sia sicuro?

    Mostra la soluzione del problema 45

    Metodo principale: Ragionamento

    Servono 14 lanci nel caso peggiore. Con la prima sonda si provano intervalli decrescenti: livello 14, poi 27 aggiungendo 13, poi 39 aggiungendo 12, quindi 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99 e infine 100 se necessario. Se la prima sonda si rompe al k-esimo lancio, restano abbastanza lanci, con la seconda sonda, per controllare uno a uno i livelli dall’ultimo sicuro in su: l’ampiezza del nuovo intervallo diminuisce proprio di uno a ogni prova.

    Minimalità: con d lanci e due sonde si possono coprire al massimo d + (d − 1) + … + 1 = d(d + 1)/2 livelli. Con 13 lanci se ne coprono solo 91, mentre con 14 se ne coprono 105. Quindi 14 è sia sufficiente sia necessario.

    Risposta. Il minimo garantito è 14 lanci.

  46. I due custodi e una sola domanda

    Due porte conducono rispettivamente all’uscita e a una stanza chiusa. Accanto alle porte ci sono due custodi: uno dice sempre la verità e l’altro mente sempre, ma non sai chi sia chi. Entrambi conoscono le porte e sanno quale dei due mente. Puoi rivolgere una sola domanda a uno solo dei custodi. Quale domanda garantisce di scegliere l’uscita?

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    Metodo principale: Pensiero laterale

    Si indica uno dei due custodi e si chiede: Quale porta mi indicherebbe l’altro custode come uscita? Poi si sceglie la porta opposta a quella indicata. Il custode sincero riferirebbe fedelmente la risposta falsa del bugiardo; il bugiardo mentirebbe sulla risposta vera del sincero. In entrambi i casi viene indicata la porta sbagliata, quindi l’opposta è l’uscita.

    Assunzioni: entrambi conoscono le porte, comprendono la domanda e rispettano sempre il proprio comportamento dichiarato.

    Risposta. Chiedi quale porta indicherebbe l’altro custode e scegli l’opposta.

  47. L’autonomia dei cinque pneumatici

    Un rover usa esattamente quattro pneumatici alla volta e ne porta un quinto di scorta. Ognuno dei cinque pneumatici nuovi può percorrere al massimo 40 km prima di raggiungere il limite di usura. Il consumo è uniforme e i pneumatici possono essere scambiati lungo il percorso. Qual è la massima distanza che il rover può percorrere senza che alcun pneumatico superi il proprio limite? Mostra anche che la distanza è realizzabile.

    Mostra la soluzione del problema 47

    Metodo principale: Equazione

    I cinque pneumatici offrono complessivamente 5 · 40 = 200 pneumatico-km di usura. Ogni chilometro del rover consuma 4 pneumatico-km, quindi per una distanza d serve 4d ≤ 200 e d ≤ 50 km.

    Il limite è realizzabile dividendo il viaggio in cinque tappe da 10 km. In ogni tappa si lascia a riposo un pneumatico diverso. Ciascun pneumatico viene così usato in quattro tappe, cioè per 4 · 10 = 40 km. Dopo 50 km tutti hanno raggiunto, ma non superato, il limite.

    Risposta. La distanza massima è 50 km.

    Un altro percorso

    In media, su cinque pneumatici, ogni chilometro ne lascia uno a riposo e ne usa quattro. Distribuendo equamente i riposi, ciascuno lavora per quattro quinti del tragitto: (4/5)d = 40, quindi d = 50.

  48. Sei ricercatori e un terzetto inevitabile

    A un incontro partecipano 6 ricercatori. Per ogni coppia è noto soltanto se i due hanno già collaborato oppure non hanno mai collaborato. Dimostra che esistono necessariamente 3 ricercatori che hanno collaborato a coppie fra loro, oppure 3 ricercatori nessuna coppia dei quali ha mai collaborato.

    Mostra la soluzione del problema 48

    Metodo principale: Ragionamento

    Si sceglie un ricercatore, Ada, e si considerano le sue 5 relazioni. Per il principio dei cassetti, almeno 3 sono dello stesso tipo: Ada ha già collaborato con almeno tre persone, oppure non ha mai collaborato con almeno tre.

    Nel primo caso, chiamiamo le tre persone Bruno, Carla e Diego. Se almeno una coppia fra loro ha collaborato, quella coppia insieme ad Ada forma un terzetto di collaboratori reciproci. Se nessuna coppia fra loro ha collaborato, Bruno, Carla e Diego formano un terzetto di non collaboratori reciproci. Nel secondo caso il ragionamento si scambia: se fra le tre persone c’è una coppia che non ha collaborato, con Ada forma un terzetto di non collaboratori; altrimenti le tre hanno tutte collaborato fra loro. In ogni caso uno dei due terzetti esiste.

    Risposta. Un terzetto tutto collaboratore o tutto non collaboratore esiste sempre.

    Un altro percorso

    In termini di grafi, si colorano di due colori gli archi del grafo completo su 6 vertici. L’argomento dimostra che esiste sempre un triangolo monocromatico: è il caso classico R(3,3) = 6.

  49. L’euro che non manca

    Tre colleghi pagano 36 € per un pranzo, 12 € ciascuno. Il conto corretto è 31 €, quindi il cameriere riporta 5 €. Ognuno riprende 1 € e i 2 € restanti vengono lasciati come mancia. Ciascuno ha speso in netto 11 €, per un totale di 33 €; aggiungendo i 2 € di mancia si ottengono 35 €. Dove sarebbe finito l’euro mancante?

    Mostra la soluzione del problema 49

    Metodo principale: Pensiero laterale

    Non manca alcun euro: l’addizione finale combina quantità che non devono essere sommate. I 33 € spesi in netto comprendono già 31 € di conto e 2 € di mancia: 33 = 31 + 2. Per ricostruire i 36 € iniziali bisogna aggiungere ai 33 € i 3 € restituiti ai colleghi, non la mancia: 33 + 3 = 36.

    Idea laterale: il testo spinge a sommare la mancia a una cifra che la include già; bisogna invece confrontare le stesse voci contabili.

    Risposta. Non manca nulla: 31 € di conto + 2 € di mancia + 3 € restituiti = 36 €.

  50. Le tre porte e il cambio di scelta

    Dietro una di tre porte c’è un premio; dietro le altre due non c’è nulla. Scegli una porta. Il conduttore conosce la posizione del premio, apre sempre una delle due porte non scelte che sa essere vuota e ti offre sempre di passare all’unica altra porta chiusa. Se può scegliere fra due porte vuote, decide casualmente. Conviene cambiare, restare o è indifferente?

    Mostra la soluzione del problema 50

    Metodo principale: Ragionamento

    Conviene cambiare. La scelta iniziale contiene il premio con probabilità 1/3 e non lo contiene con probabilità 2/3. Se la scelta iniziale è corretta, cambiare fa perdere. Se è sbagliata, il conduttore è costretto ad aprire l’altra porta vuota e l’unica porta chiusa disponibile contiene il premio: cambiare fa vincere. Quindi restare vince con probabilità 1/3, mentre cambiare vince con probabilità 2/3.

    Verifica: considerando separatamente le tre possibili posizioni equiprobabili del premio, in due casi la prima scelta è sbagliata e il cambio conduce al premio.

    Risposta. Conviene cambiare: si vince con probabilità 2/3 invece di 1/3.

    Un altro percorso

    Immagina 100 porte: ne scegli una, poi il conduttore apre 98 porte vuote lasciando chiuse la tua e un’altra. La tua conserva probabilità 1/100; l’altra concentra la probabilità 99/100 delle porte inizialmente non scelte. Il caso con tre porte segue lo stesso principio.