Salvatore Mosaico · 2026
Índice
- 1. La IA responde. ¿Ya ha terminado el problema?
- 2. La fórmula contiene otro camino
- 3. Un ejemplo que sugiere una nueva pregunta
- 4. Dividir por dos primero, duplicar después
- 5. Cambiamos de problema, conservamos el método
- 6. «¿Porcentaje de qué?» No siempre es la pregunta adecuada
- 7. El valor inicial no hace falta para hallar la variación relativa
- 8. ¿Y si invertimos el orden?
- 9. Dos variaciones opuestas: hay que completar la respuesta
- 10. Del ejemplo a la fórmula
- 11. Una intuición didáctica que se remonta a 2009
- 12. La misma estructura, dos problemas diferentes
- Conclusión: ¿quién plantea la siguiente pregunta?
Una lección simulada sobre el valor de la siguiente pregunta.
Una mañana veo un vídeo en Facebook: dos soluciones paralelas del mismo problema, una atribuida al matemático y otra al ingeniero.
El problema es sencillo: un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 25 y un cateto 15. ¿Cuánto mide el otro cateto?
No me interesa decidir quién gana esta competición imaginaria entre profesiones. Me intriga el procedimiento alternativo: quiero entenderlo, explorarlo y ver adónde conduce. Así que comienzo una conversación con la inteligencia artificial.
La siguiente lección reelabora ese recorrido mediante un diálogo entre docente, estudiantes e IA. Es una simulación didáctica, no una transcripción literal, pero conserva la sucesión de los pasos decisivos.
1. La IA responde. ¿Ya ha terminado el problema?
Docente: Tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa 25 y un cateto 15. Pidamos a la IA que calcule el otro cateto.
IA: Aplicamos el teorema de Pitágoras:
b = √(25² − 15²)
= √(625 − 225) = √400 = 20
Estudiante: Respuesta correcta. Hemos terminado.
Docente: Hemos encontrado el resultado. No significa necesariamente que hayamos terminado de pensar. Preguntemos: «¿Sin Pitágoras?».
IA: Podemos reconocer la terna 3, 4, 5. Multiplicando todos los lados por 5 obtenemos 15, 20, 25. El otro cateto es, por tanto, 20.
Estudiante: Esta vez no hemos calculado los cuadrados.
Docente: Cierto. Pero aún no es el procedimiento que quería explorar. Sugiramos: «Raíz de suma por diferencia».
2. La fórmula contiene otro camino
IA: Una diferencia de dos cuadrados se puede factorizar:
c² − a² = (c + a)(c − a)
Por tanto:
b = √[(c + a)(c − a)]
En nuestro caso:
b = √[(25 + 15)(25 − 15)]
= √(40 · 10) = 20
Estudiante: ¿Hemos encontrado una fórmula distinta de Pitágoras?
Docente: Una forma distinta, no un principio distinto. La relación geométrica sigue siendo la de Pitágoras. Hemos transformado el cálculo mediante una identidad algebraica.
Podemos enunciar una regla operativa:
Un cateto es la raíz cuadrada del producto de la suma y la diferencia de la hipotenusa y el otro cateto.
Llamarla, con fines didácticos, método de la suma y la diferencia ayuda a reconocerla. No significa haber descubierto un nuevo teorema.
Estudiante: Entonces el nombre sirve para recordar un procedimiento.
Docente: Exactamente. Pero aún debemos preguntarnos cuándo resulta realmente conveniente.
3. Un ejemplo que sugiere una nueva pregunta
En la conversación también se recuerdan las fórmulas para generar ternas pitagóricas:
a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²
con enteros m > n > 0. Eligiendo m = 8 y n = 7:
a = 64 − 49 = 15
b = 2 · 8 · 7 = 112
c = 64 + 49 = 113
Tenemos así un nuevo caso que explorar: hipotenusa 113 y cateto 15.
Docente: Muéstranos un cálculo más sencillo, sin calculadora.
IA:
b = √[(113 + 15)(113 − 15)]
= √(128 · 98)
Observamos que:
128 = 64 · 2 = 8² · 2
98 = 49 · 2 = 7² · 2
Por tanto:
√(128 · 98)
= √[(8² · 2)(7² · 2)]
= √(8² · 7² · 4)
= 8 · 7 · 2 = 112
Estudiante: La IA ha encontrado una manera cómoda de calcular esa raíz.
Docente: Sí. Ahora observemos su respuesta: en ambos factores aparece el mismo 2. ¿Podemos transformar esta observación en una regla?
Aquí se produce un paso importante: una elaboración de la IA sugiere a la persona una nueva pregunta.
No hay solamente una máquina que responde y un ser humano que lee. Hay un resultado intermedio que se examina y se convierte en una oportunidad para avanzar.
4. Dividir por dos primero, duplicar después
Docente: Si la suma y la diferencia son pares, ¿podríamos dividir ambas por dos y después sacar el factor 2 de la raíz?
IA: Sí. Sean S = c + a y D = c − a. Entonces:
b = √(S · D)
= √[(2 · S/2)(2 · D/2)]
= √[4 · (S/2) · (D/2)]
Por tanto:
b = 2√[((c + a)/2) · ((c − a)/2)]
Estudiante: En el caso anterior se convierte en:
b = 2√(64 · 49) = 2 · 8 · 7 = 112
Docente: Exactamente. Podemos llamarlo método de la semisuma y la semidiferencia:
Se calculan la semisuma y la semidiferencia, se multiplican, se extrae la raíz cuadrada y se duplica el resultado.
Probemos con hipotenusa 65 y cateto 33:
(65 + 33)/2 = 49
(65 − 33)/2 = 16
b = 2√(49 · 16) = 2 · 7 · 4 = 56
Estudiante: ¿Solo funciona cuando la hipotenusa y el cateto tienen la misma paridad?
Docente: Atención: la fórmula es válida para todas las longitudes c > a > 0. Si los dos números son enteros de la misma paridad, la semisuma y la semidiferencia son enteras: esto puede facilitar el cálculo.
No debemos confundir la validez de una transformación con su conveniencia. Por ejemplo, con hipotenusa 17 y cateto 8 basta:
b = √[(17 + 8)(17 − 8)]
= √(25 · 9) = 15
Dividir por dos no ofrece una ventaja evidente. Primero observamos los números y después elegimos el procedimiento.
5. Cambiamos de problema, conservamos el método
Docente: Veamos otro ejemplo. Un bien aumenta de precio un 10% y después disminuye un 15%. ¿Cuál es la variación porcentual total?
IA: Supongamos que el valor inicial es 100 euros. Tras el aumento vale 110 euros; después de la disminución:
110 · 0,85 = 93,50
La variación total es, por tanto, −6,5%.
Estudiante: Esta respuesta también es correcta.
Docente: Desde luego. Elegir 100 es útil para ilustrar el problema. Pero ¿es necesario elegir un precio inicial para resolverlo?
Antes de continuar debemos aclarar qué significa el símbolo de porcentaje.
6. «¿Porcentaje de qué?» No siempre es la pregunta adecuada
Docente: ¿Cuánto vale 5%?
Estudiante: ¿El 5% de qué?
Docente: No he preguntado por el 5% de una cantidad. He preguntado cuánto vale el número 5%.
El símbolo de porcentaje indica una división por cien:
5% = 5/100 = 0,05
No hace falta conocer un precio, una población o una longitud para comprender esta igualdad.
Estudiante: Entonces, ¿cuándo necesitamos saber «de qué»?
Docente: Cuando debemos aplicar ese número a una cantidad. Por ejemplo, el 5% de 200 se calcula así:
(5/100) · 200 = 10
Son dos preguntas diferentes:
- ¿Cuánto vale 5%? Vale 0,05.
- ¿Cuánto vale el 5% de una cantidad? Hay que conocer la cantidad.
El malentendido surge cuando se exige una base incluso para atribuir significado al número porcentual.
No es cierto que un porcentaje, por sí solo, no signifique nada. Representa un número. La base entra en juego cuando ese número se utiliza para calcular una parte o una variación concreta.
Por tanto:
100% = 1
100% + 10% = 110% = 1,10
100% − 15% = 85% = 0,85
De aquí proceden los factores que utilizamos en los cálculos.
7. El valor inicial no hace falta para hallar la variación relativa
Docente: Un aumento del 10% multiplica el valor por 110%. Una disminución del 15% multiplica el nuevo valor por 85%. El factor total es:
110% · 85% = 1,10 · 0,85
= 0,935 = 93,5%
Estudiante: Entonces, ¿la variación es 93,5%?
Docente: No. Ese es el cociente entre el valor final y el inicial. Para hallar la variación debemos restar el valor inicial relativo, es decir, 1 = 100%:
93,5% − 100% = −6,5%
En una sola expresión:
(100% + 10%)(100% − 15%) − 100%
= −6,5%
No hemos tenido que asignar un precio al bien. Si el valor inicial es V > 0, en efecto:
V_f = V · 1,10 · 0,85
La variación relativa es:
(V_f − V)/V
= (V · 1,10 · 0,85 − V)/V
= 1,10 · 0,85 − 1
El valor inicial se simplifica. Por eso elegir 100 es una comodidad expositiva, no una necesidad matemática.
8. ¿Y si invertimos el orden?
Docente: Observemos la fórmula: ¿qué sucede si primero disminuimos un 15% y después aumentamos un 10%?
Estudiante: Intercambiamos los factores:
0,85 · 1,10 = 1,10 · 0,85
El resultado no cambia.
Docente: Hemos deducido otra propiedad sin repetir el problema. Los valores intermedios cambian, pero el resultado final es idéntico porque la multiplicación es conmutativa.
Esto se cumple para variaciones puramente multiplicativas, aplicadas cada vez al valor actual, sin redondeos intermedios ni otras operaciones añadidas.
Una fórmula no sirve solamente para calcular: hace visibles propiedades que un ejemplo aislado puede dejar en segundo plano.
9. Dos variaciones opuestas: hay que completar la respuesta
Docente: Ahora el bien aumenta un 30% y después disminuye un 30%.
IA: Partiendo de 100 se llega primero a 130 y después a 91. La variación es −9%. También podemos escribir:
(1 + 0,30)(1 − 0,30)
= 1 − 0,30² = 0,91
Docente: Detengámonos. El resultado numérico −9% es correcto. Pero al desarrollar la fórmula hemos llegado a 0,91, que es el factor final. Para expresar directamente la variación todavía falta un paso.
Estudiante: ¡Restar 1!
(1 + 0,30)(1 − 0,30) − 1
= 1 − 0,09 − 1
= −0,09 = −9%
Docente: Exactamente. No estamos corrigiendo el resultado del ejemplo: estamos pidiendo que la formalización distinga claramente entre factor final y variación.
Ahora podemos plantear la siguiente pregunta: ¿qué sucede con un porcentaje cualquiera?
10. Del ejemplo a la fórmula
Sean a y b los números que expresan dos variaciones porcentuales con signo: positivos para aumentos, negativos para disminuciones.
El factor total es:
(1 + a/100)(1 + b/100)
Restando 1:
(1 + a/100)(1 + b/100) − 1
= a/100 + b/100 + ab/10000
Reescribiendo el resultado en notación porcentual obtenemos la variación total:
(a + b + ab/100)%
Estudiante: En el primer ejemplo:
(10 − 15 + 10 · (−15)/100)%
= (10 − 15 − 1,5)% = −6,5%
Docente: Ahora tomemos dos variaciones opuestas: a = x y b = −x.
(x − x + x · (−x)/100)%
= (−x²/100)%
Esta es la regla que buscábamos:
Dos variaciones sucesivas +x% y −x%, en cualquier orden, producen una variación total igual a (−x²/100)%.
Para un precio positivo consideramos normalmente 0 ≤ x ≤ 100. Si x > 0, la variación es negativa; si x = 0, es nula.
Por ejemplo:
| Variaciones sucesivas | Variación total |
|---|---|
| +10%, −10% | −1% |
| +20%, −20% | −4% |
| +30%, −30% | −9% |
| +50%, −50% | −25% |
Ya no necesitamos inventar cada vez un precio inicial y repetir todos los cálculos.
11. Una intuición didáctica que se remonta a 2009
Ya en 2009 había abordado este problema con la misma intención.
Lo encontraba en distintos contextos, a menudo presentado como una pregunta difícil o engañosa. En las soluciones que veía se repetía el procedimiento: «Supongamos que el valor inicial es 100».
El procedimiento era correcto, pero me parecía incompleto como punto de llegada didáctico. ¿Por qué detenerse en un ejemplo cuando era posible formalizar una regla para toda una familia de problemas?
No se trataba de reivindicar un nuevo teorema. Se trataba de explorar una solución: generalizarla, reconocer un caso particular y hacer explícita una consecuencia útil.
Hoy el diálogo con la IA permite retomar esa forma de trabajar, compararla con otros ejemplos y convertirla en un recorrido legible.
12. La misma estructura, dos problemas diferentes
Docente: ¿Qué conecta el triángulo con las variaciones porcentuales?
Estudiante: En ambos aparece la suma por diferencia:
(A + B)(A − B) = A² − B²
En el triángulo:
(c + a)(c − a) = c² − a²
En los porcentajes opuestos:
(1 + x/100)(1 − x/100)
= 1 − x²/10000
Docente: Exactamente. Los contextos son diferentes, pero la estructura algebraica es la misma.
La exploración nos permite reconocerla, darle una formulación operativa y reutilizarla. El nombre de la regla puede ayudarnos a recordarla; la demostración permite comprenderla y aplicarla correctamente.
Conclusión: ¿quién plantea la siguiente pregunta?
La primera respuesta de la IA era correcta:
√(25² − 15²) = 20
Si el diálogo se hubiera detenido ahí, habríamos resuelto un ejercicio.
Al continuar, sin embargo, encontramos una factorización, exploramos ejemplos favorables, formulamos una regla con semisuma y semidiferencia y reconocimos la misma identidad en las variaciones porcentuales.
El recorrido no fue obra de una sola parte. Una pregunta humana orientó a la IA; una descomposición propuesta por la IA sugirió un nuevo refinamiento; la experiencia didáctica introdujo otro problema y pidió una formalización más clara.
La competencia no consiste solamente en obtener una respuesta, sino en saber decidir qué hacer con ella.
Verificarla. Transformarla. Generalizarla. Preguntar por sus condiciones de validez. Advertir que un resultado intermedio todavía no responde exactamente a la pregunta planteada.
La IA puede ayudar a calcular, explicar y organizar. Pero en este recorrido la experiencia, la curiosidad y la orientación didáctica no son detalles accesorios: convierten una secuencia de respuestas en una lección.
Una respuesta puede cerrar un ejercicio. Una nueva pregunta puede abrir un recorrido matemático.