Salvatore Mosaico · 2026
Sommaire
- 1. L’IA répond. Le problème est-il déjà terminé ?
- 2. La formule contient un autre chemin
- 3. Un exemple qui suggère une nouvelle question
- 4. Diviser par deux, puis doubler
- 5. Changeons de problème, gardons la démarche
- 6. « Pourcentage de quoi ? » Pas toujours la bonne question
- 7. La valeur initiale est inutile pour trouver la variation relative
- 8. Et si nous inversons l’ordre ?
- 9. Deux variations opposées : il faut compléter la réponse
- 10. De l’exemple à la formule
- 11. Une intuition pédagogique remontant à 2009
- 12. La même structure, deux problèmes différents
- Conclusion : qui pose la question suivante ?
Une leçon simulée sur la valeur de la question suivante.
Un matin, je vois une vidéo sur Facebook : deux solutions parallèles au même problème, l’une attribuée au mathématicien, l’autre à l’ingénieur.
Le problème est simple : un triangle rectangle a une hypoténuse de 25 et un côté de l’angle droit de 15. Quelle est la longueur de l’autre côté ?
Peu m’importe qui gagne cette compétition imaginaire entre professions. Le procédé alternatif m’intrigue : je voudrais le comprendre, l’explorer et voir où il mène. Je commence donc une conversation avec l’intelligence artificielle.
La leçon suivante reprend ce parcours sous la forme d’un dialogue entre enseignant, élèves et IA. Il s’agit d’une simulation pédagogique, non d’une transcription littérale, mais elle conserve l’ordre des étapes décisives.
1. L’IA répond. Le problème est-il déjà terminé ?
Enseignant : Nous avons un triangle rectangle d’hypoténuse 25 et un côté de l’angle droit de 15. Demandons à l’IA de calculer l’autre côté.
IA : Appliquons le théorème de Pythagore :
b = √(25² − 15²)
= √(625 − 225) = √400 = 20
Élève : Réponse correcte. Nous avons terminé.
Enseignant : Nous avons trouvé le résultat. Cela ne signifie pas forcément que nous avons fini de réfléchir. Demandons : « Sans Pythagore ? »
IA : On peut reconnaître le triplet 3, 4, 5. En multipliant tous les côtés par 5, on obtient 15, 20, 25. L’autre côté mesure donc 20.
Élève : Cette fois, nous n’avons pas calculé les carrés.
Enseignant : C’est vrai. Mais ce n’est pas encore le procédé que je voulais explorer. Suggérons : « Racine de somme fois différence ».
2. La formule contient un autre chemin
IA : Une différence de deux carrés se factorise :
c² − a² = (c + a)(c − a)
Donc :
b = √[(c + a)(c − a)]
Dans notre cas :
b = √[(25 + 15)(25 − 15)]
= √(40 · 10) = 20
Élève : Avons-nous trouvé une formule différente de Pythagore ?
Enseignant : Une forme différente, pas un principe différent. La relation géométrique reste celle de Pythagore. Nous avons transformé le calcul grâce à une identité algébrique.
Nous pouvons énoncer une règle opératoire :
Un côté de l’angle droit est la racine carrée du produit de la somme et de la différence entre l’hypoténuse et l’autre côté de l’angle droit.
L’appeler, à des fins pédagogiques, méthode de la somme et de la différence aide à la reconnaître. Cela ne signifie pas avoir découvert un nouveau théorème.
Élève : Le nom sert donc à retenir un procédé.
Enseignant : Exactement. Mais il faut encore se demander quand ce procédé est réellement avantageux.
3. Un exemple qui suggère une nouvelle question
La conversation rappelle aussi les formules permettant de générer des triplets pythagoriciens :
a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²
avec des entiers m > n > 0. En choisissant m = 8 et n = 7 :
a = 64 − 49 = 15
b = 2 · 8 · 7 = 112
c = 64 + 49 = 113
Nous avons ainsi un nouveau cas à explorer : hypoténuse 113 et côté connu 15.
Enseignant : Montre-nous un calcul facilité, sans calculatrice.
IA :
b = √[(113 + 15)(113 − 15)]
= √(128 · 98)
Observons que :
128 = 64 · 2 = 8² · 2
98 = 49 · 2 = 7² · 2
Donc :
√(128 · 98)
= √[(8² · 2)(7² · 2)]
= √(8² · 7² · 4)
= 8 · 7 · 2 = 112
Élève : L’IA a trouvé une façon commode de calculer cette racine.
Enseignant : Oui. Observons maintenant sa réponse : le même 2 apparaît dans les deux facteurs. Pouvons-nous transformer cette observation en règle ?
Une étape importante se produit ici : un calcul de l’IA suggère à la personne une nouvelle question.
Il n’y a pas seulement une machine qui répond et un humain qui lit. Un résultat intermédiaire est examiné et devient une occasion d’avancer.
4. Diviser par deux, puis doubler
Enseignant : Si la somme et la différence sont paires, pouvons-nous les diviser toutes les deux par deux, puis sortir le facteur 2 de la racine ?
IA : Oui. Posons S = c + a et D = c − a. Alors :
b = √(S · D)
= √[(2 · S/2)(2 · D/2)]
= √[4 · (S/2) · (D/2)]
Donc :
b = 2√[((c + a)/2) · ((c − a)/2)]
Élève : Dans le cas précédent, cela devient :
b = 2√(64 · 49) = 2 · 8 · 7 = 112
Enseignant : Exactement. Nous pouvons l’appeler méthode de la demi-somme et de la demi-différence :
On calcule la demi-somme et la demi-différence, on les multiplie, on prend la racine carrée, puis on double le résultat.
Essayons avec une hypoténuse de 65 et un côté connu de 33 :
(65 + 33)/2 = 49
(65 − 33)/2 = 16
b = 2√(49 · 16) = 2 · 7 · 4 = 56
Élève : Cela fonctionne uniquement lorsque l’hypoténuse et le côté connu ont la même parité ?
Enseignant : Attention : la formule est valable pour toutes les longueurs c > a > 0. Si les deux nombres sont des entiers de même parité, la demi-somme et la demi-différence sont entières : cela peut faciliter le calcul.
Ne confondons pas validité et commodité d’une transformation. Par exemple, avec une hypoténuse de 17 et un côté connu de 8, il suffit de calculer :
b = √[(17 + 8)(17 − 8)]
= √(25 · 9) = 15
Diviser par deux n’offre pas d’avantage évident. Observons d’abord les nombres, puis choisissons le procédé.
5. Changeons de problème, gardons la démarche
Enseignant : Prenons un autre exemple. Le prix d’un bien augmente de 10 %, puis diminue de 15 %. Quelle est la variation globale en pourcentage ?
IA : Supposons une valeur initiale de 100 euros. Après la hausse, elle vaut 110 euros ; après la baisse :
110 · 0,85 = 93,50
La variation globale est donc de −6,5 %.
Élève : Cette réponse est également correcte.
Enseignant : Certainement. Choisir 100 aide à illustrer le problème. Mais faut-il choisir un prix initial pour le résoudre ?
Avant de poursuivre, clarifions le sens du symbole pourcentage.
6. « Pourcentage de quoi ? » Pas toujours la bonne question
Enseignant : Que vaut 5 % ?
Élève : Cinq pour cent de quoi ?
Enseignant : Je n’ai pas demandé 5 % d’une quantité. J’ai demandé ce que vaut le nombre 5 %.
Le symbole pourcentage indique une division par cent :
5% = 5/100 = 0,05
Il n’est pas nécessaire de connaître un prix, une population ou une longueur pour comprendre cette égalité.
Élève : Quand faut-il alors savoir « de quoi » ?
Enseignant : Lorsque nous devons appliquer ce nombre à une quantité. Par exemple, 5 % de 200 se calcule ainsi :
(5/100) · 200 = 10
Ce sont deux questions différentes :
- Que vaut 5 % ? Cela vaut 0,05.
- Que valent 5 % d’une quantité ? Il faut connaître la quantité.
Le malentendu apparaît lorsqu’on exige une base même pour donner un sens au nombre exprimé en pourcentage.
Il est faux qu’un pourcentage, à lui seul, ne signifie rien. Il représente un nombre. La base intervient lorsque ce nombre sert à calculer une partie ou une variation concrète.
Par conséquent :
100% = 1
100% + 10% = 110% = 1,10
100% − 15% = 85% = 0,85
Voilà d’où viennent les facteurs utilisés dans nos calculs.
7. La valeur initiale est inutile pour trouver la variation relative
Enseignant : Une hausse de 10 % multiplie la valeur par 110 %. Une baisse de 15 % multiplie la nouvelle valeur par 85 %. Le facteur global est :
110% · 85% = 1,10 · 0,85
= 0,935 = 93,5%
Élève : La variation est donc de 93,5 % ?
Enseignant : Non. Il s’agit du rapport entre valeur finale et valeur initiale. Pour trouver la variation, il faut soustraire la valeur initiale relative, c’est-à-dire 1 = 100 % :
93,5% − 100% = −6,5%
En une seule expression :
(100% + 10%)(100% − 15%) − 100%
= −6,5%
Nous n’avons pas eu besoin d’attribuer un prix au bien. Si la valeur initiale est V > 0, en effet :
V_f = V · 1,10 · 0,85
La variation relative est :
(V_f − V)/V
= (V · 1,10 · 0,85 − V)/V
= 1,10 · 0,85 − 1
La valeur initiale se simplifie. Choisir 100 est donc une commodité de présentation, pas une nécessité mathématique.
8. Et si nous inversons l’ordre ?
Enseignant : Observons la formule : que se passe-t-il si nous diminuons d’abord de 15 %, puis augmentons de 10 % ?
Élève : Nous échangeons les facteurs :
0,85 · 1,10 = 1,10 · 0,85
Le résultat ne change pas.
Enseignant : Nous avons obtenu une autre propriété sans refaire le problème. Les valeurs intermédiaires changent, mais le résultat final reste identique, car la multiplication est commutative.
Cela vaut pour des variations purement multiplicatives, appliquées chaque fois à la valeur courante, sans arrondis intermédiaires ni opérations supplémentaires.
Une formule ne sert pas seulement à calculer : elle rend visibles des propriétés qu’un exemple isolé peut laisser au second plan.
9. Deux variations opposées : il faut compléter la réponse
Enseignant : Maintenant, le prix augmente de 30 %, puis diminue de 30 %.
IA : En partant de 100, on arrive à 130, puis à 91. La variation est de −9 %. Nous pouvons aussi écrire :
(1 + 0,30)(1 − 0,30)
= 1 − 0,30² = 0,91
Enseignant : Arrêtons-nous. Le résultat numérique −9 % est correct. Mais le développement de la formule nous a conduits à 0,91, le facteur final. Pour exprimer directement la variation, il manque une étape.
Élève : Soustraire 1 !
(1 + 0,30)(1 − 0,30) − 1
= 1 − 0,09 − 1
= −0,09 = −9%
Enseignant : Exactement. Nous ne corrigeons pas le résultat de l’exemple : nous demandons que la formalisation distingue clairement facteur final et variation.
Nous pouvons maintenant poser la question suivante : que se passe-t-il avec un pourcentage quelconque ?
10. De l’exemple à la formule
Notons a et b les nombres exprimant deux variations en pourcentage avec leur signe : positifs pour les hausses, négatifs pour les baisses.
Le facteur global est :
(1 + a/100)(1 + b/100)
En soustrayant 1 :
(1 + a/100)(1 + b/100) − 1
= a/100 + b/100 + ab/10000
En réécrivant le résultat en notation pourcentage, on obtient la variation totale :
(a + b + ab/100)%
Élève : Dans le premier exemple :
(10 − 15 + 10 · (−15)/100)%
= (10 − 15 − 1,5)% = −6,5%
Enseignant : Prenons maintenant deux variations opposées : a = x et b = −x.
(x − x + x · (−x)/100)%
= (−x²/100)%
Voici la règle recherchée :
Deux variations successives +x % et −x %, quel que soit leur ordre, produisent une variation globale égale à (−x²/100) %.
Pour un prix positif, nous considérons normalement 0 ≤ x ≤ 100. Si x > 0, la variation est négative ; si x = 0, elle est nulle.
Par exemple :
| Variations successives | Variation globale |
|---|---|
| +10%, −10% | −1% |
| +20%, −20% | −4% |
| +30%, −30% | −9% |
| +50%, −50% | −25% |
Il n’est plus nécessaire d’inventer chaque fois un prix initial et de reprendre tous les calculs.
11. Une intuition pédagogique remontant à 2009
J’avais déjà abordé ce problème avec la même intention en 2009.
Je le rencontrais dans différents contextes, souvent présenté comme une question difficile ou piégeuse. Dans les solutions que je voyais revenait le procédé : « Supposons que la valeur initiale soit 100 ».
Ce procédé était correct, mais me semblait incomplet comme aboutissement pédagogique. Pourquoi s’arrêter à un exemple lorsqu’on pouvait formaliser une règle pour toute une famille de problèmes ?
Il ne s’agissait pas de revendiquer un nouveau théorème, mais d’explorer une solution : la généraliser, en reconnaître un cas particulier et expliciter une conséquence utile.
Aujourd’hui, le dialogue avec l’IA permet de reprendre cette façon de travailler, de la confronter à d’autres exemples et d’en faire un parcours lisible.
12. La même structure, deux problèmes différents
Enseignant : Qu’est-ce qui relie le triangle aux variations en pourcentage ?
Élève : Dans les deux cas apparaît une somme multipliée par une différence :
(A + B)(A − B) = A² − B²
Dans le triangle :
(c + a)(c − a) = c² − a²
Dans les variations en pourcentage opposées :
(1 + x/100)(1 − x/100)
= 1 − x²/10000
Enseignant : Exactement. Les contextes sont différents, mais la structure algébrique est la même.
L’exploration permet de la reconnaître, d’en donner une formulation opératoire et de la réutiliser. Le nom peut aider à retenir la règle ; la démonstration permet de la comprendre et de l’appliquer correctement.
Conclusion : qui pose la question suivante ?
La première réponse de l’IA était correcte :
√(25² − 15²) = 20
Si le dialogue s’était arrêté là, nous aurions résolu un exercice.
En poursuivant, nous avons découvert une factorisation, exploré des exemples favorables, formulé une règle avec demi-somme et demi-différence et reconnu la même identité dans les variations en pourcentage.
Le parcours ne vient pas d’un seul côté. Une question humaine a orienté l’IA ; une décomposition proposée par l’IA a suggéré un nouvel affinement ; l’expérience pédagogique a introduit un autre problème et exigé une formalisation plus claire.
La compétence ne consiste pas seulement à obtenir une réponse, mais à savoir décider qu’en faire.
La vérifier. La transformer. La généraliser. En demander les conditions de validité. Remarquer qu’un résultat intermédiaire ne répond pas encore exactement à la question posée.
L’IA peut aider à calculer, expliquer et organiser. Mais dans ce parcours, l’expérience, la curiosité et l’orientation pédagogique ne sont pas accessoires : elles transforment une suite de réponses en leçon.
Une réponse peut clore un exercice. Une nouvelle question peut ouvrir un parcours mathématique.