Salvatore Mosaico · 2026
Indice
- 1. L’IA risponde. Il problema è già finito?
- 2. La formula contiene un’altra strada
- 3. Un esempio che suggerisce una nuova domanda
- 4. Dimezzare prima, raddoppiare dopo
- 5. Cambiamo problema, conserviamo il metodo
- 6. «Percentuale di che cosa?» Non sempre è la domanda giusta
- 7. Il valore iniziale non serve per trovare la variazione relativa
- 8. E se invertiamo l’ordine?
- 9. Due variazioni opposte: la risposta va completata
- 10. Dall’esempio alla formula
- 11. Un’intuizione didattica che risale al 2009
- 12. La stessa struttura, due problemi diversi
- Conclusione: chi pone la domanda successiva?
Una lezione simulata sul valore della domanda successiva.
Una mattina vedo un video su Facebook: due soluzioni parallele dello stesso problema, una attribuita al matematico e l’altra all’ingegnere.
Il problema è semplice: un triangolo rettangolo ha ipotenusa 25 e un cateto 15. Quanto misura l’altro cateto?
Non mi interessa stabilire chi vinca questa gara immaginaria tra professioni. Mi incuriosisce il procedimento alternativo: vorrei capirlo, esplorarlo e vedere dove può condurre. Comincio quindi una conversazione con l’intelligenza artificiale.
La lezione seguente rielabora quel percorso attraverso un dialogo tra docente, studenti e IA. È una simulazione didattica, non una trascrizione letterale, ma conserva la successione dei passaggi decisivi.
1. L’IA risponde. Il problema è già finito?
Docente: Abbiamo un triangolo rettangolo con ipotenusa 25 e un cateto 15. Chiediamo all’IA di calcolare l’altro cateto.
IA: Applichiamo il teorema di Pitagora:
b = √(25² − 15²)
= √(625 − 225) = √400 = 20
Studente: Risposta corretta. Abbiamo finito.
Docente: Abbiamo trovato il risultato. Non è detto che abbiamo finito di pensare. Proviamo a chiedere: «Senza Pitagora?».
IA: Possiamo riconoscere la terna 3, 4, 5. Moltiplicando tutti i lati per 5 otteniamo 15, 20, 25. L’altro cateto è quindi 20.
Studente: Questa volta non abbiamo calcolato i quadrati.
Docente: Vero. Ma non è ancora il procedimento che volevo esplorare. Proviamo a suggerire: «Radice di somma per differenza».
2. La formula contiene un’altra strada
IA: La differenza di due quadrati si può scomporre:
c² − a² = (c + a)(c − a)
Quindi:
b = √[(c + a)(c − a)]
Nel nostro caso:
b = √[(25 + 15)(25 − 15)]
= √(40 · 10) = 20
Studente: Allora abbiamo trovato una formula diversa da Pitagora?
Docente: Una forma diversa, non un principio diverso. La relazione geometrica resta quella di Pitagora. Abbiamo trasformato il calcolo attraverso un’identità algebrica.
Possiamo enunciare una regola operativa:
Un cateto è la radice quadrata del prodotto tra la somma e la differenza dell’ipotenusa e dell’altro cateto.
Chiamarla, a scopo didattico, metodo della somma e della differenza aiuta a riconoscerla. Non significa aver scoperto un nuovo teorema.
Studente: Quindi il nome serve a ricordare un procedimento.
Docente: Esatto. Ma dobbiamo ancora domandarci quando quel procedimento sia davvero conveniente.
3. Un esempio che suggerisce una nuova domanda
Nella conversazione vengono richiamate anche le formule per generare terne pitagoriche:
a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²
con interi m > n > 0. Scegliendo m = 8 e n = 7:
a = 64 − 49 = 15
b = 2 · 8 · 7 = 112
c = 64 + 49 = 113
Abbiamo così un nuovo caso da esplorare: ipotenusa 113 e cateto 15.
Docente: Mostraci un calcolo agevolato, senza calcolatrice.
IA:
b = √[(113 + 15)(113 − 15)]
= √(128 · 98)
Osserviamo che:
128 = 64 · 2 = 8² · 2
98 = 49 · 2 = 7² · 2
Pertanto:
√(128 · 98)
= √[(8² · 2)(7² · 2)]
= √(8² · 7² · 4)
= 8 · 7 · 2 = 112
Studente: L’IA ha trovato un modo comodo per calcolare quella radice.
Docente: Sì. Ora osserviamo la sua risposta: nei due fattori compare lo stesso 2. Possiamo trasformare questa osservazione in una regola?
Qui avviene un passaggio importante: un’elaborazione dell’IA suggerisce alla persona una nuova domanda.
Non c’è soltanto una macchina che risponde e un essere umano che legge. C’è un risultato intermedio che viene esaminato e diventa occasione di avanzamento.
4. Dimezzare prima, raddoppiare dopo
Docente: Se somma e differenza sono pari, potremmo dimezzarle entrambe e poi portare fuori dalla radice il fattore 2?
IA: Sì. Poniamo S = c + a e D = c − a. Allora:
b = √(S · D)
= √[(2 · S/2)(2 · D/2)]
= √[4 · (S/2) · (D/2)]
Quindi:
b = 2√[((c + a)/2) · ((c − a)/2)]
Studente: Nel caso precedente diventa:
b = 2√(64 · 49) = 2 · 8 · 7 = 112
Docente: Esatto. Possiamo chiamarlo metodo della semisomma e della semidifferenza:
Si calcolano semisomma e semidifferenza, si moltiplicano, si estrae la radice e si raddoppia il risultato.
Proviamo con ipotenusa 65 e cateto 33:
(65 + 33)/2 = 49
(65 − 33)/2 = 16
b = 2√(49 · 16) = 2 · 7 · 4 = 56
Studente: Funziona solo quando ipotenusa e cateto hanno la stessa parità?
Docente: Attenzione: la formula è valida per tutte le lunghezze c > a > 0. Se i due numeri sono interi della stessa parità, semisomma e semidifferenza sono intere: questo può rendere il calcolo più comodo.
Non dobbiamo confondere la validità di una trasformazione con la sua convenienza. Per esempio, con ipotenusa 17 e cateto 8 basta:
b = √[(17 + 8)(17 − 8)]
= √(25 · 9) = 15
Dimezzare non offre un vantaggio evidente. Prima osserviamo i numeri, poi scegliamo il procedimento.
5. Cambiamo problema, conserviamo il metodo
Docente: Facciamo un altro esempio. Un bene aumenta del 10% e poi diminuisce del 15%. Qual è la variazione percentuale complessiva?
IA: Supponiamo che il valore iniziale sia 100 euro. Dopo l’aumento vale 110 euro; dopo la diminuzione:
110 · 0,85 = 93,50
La variazione complessiva è quindi −6,5%.
Studente: Anche questa risposta è corretta.
Docente: Certamente. Scegliere 100 è utile per illustrare il problema. Ma è necessario scegliere un prezzo iniziale per risolverlo?
Prima di continuare dobbiamo chiarire che cosa significa il simbolo percentuale.
6. «Percentuale di che cosa?» Non sempre è la domanda giusta
Docente: Quanto vale 5%?
Studente: Il 5% di che cosa?
Docente: Non ho chiesto il 5% di una quantità. Ho chiesto quanto vale il numero 5%.
Il simbolo percentuale indica una divisione per cento:
5% = 5/100 = 0,05
Non occorre conoscere un prezzo, una popolazione o una lunghezza per comprendere questa uguaglianza.
Studente: Allora quando serve sapere «di che cosa»?
Docente: Quando dobbiamo applicare quel numero a una quantità. Per esempio, il 5% di 200 si calcola così:
(5/100) · 200 = 10
Sono due domande differenti:
- Quanto vale 5%? Vale 0,05.
- Quanto vale il 5% di una quantità? Occorre conoscere la quantità.
Il fraintendimento nasce quando si pretende una base anche per attribuire significato al numero percentuale.
Non è vero che una percentuale, da sola, non significhi nulla. Significa un numero. La base entra in gioco quando quel numero viene usato per calcolare una parte o una variazione concreta.
Di conseguenza:
100% = 1
100% + 10% = 110% = 1,10
100% − 15% = 85% = 0,85
Ecco da dove vengono i fattori che utilizziamo nei calcoli.
7. Il valore iniziale non serve per trovare la variazione relativa
Docente: Un aumento del 10% moltiplica il valore per 110%. Una diminuzione del 15% moltiplica il nuovo valore per 85%. Il fattore complessivo è:
110% · 85% = 1,10 · 0,85
= 0,935 = 93,5%
Studente: Quindi la variazione è 93,5%?
Docente: No. Quello è il rapporto tra valore finale e iniziale. Per trovare la variazione dobbiamo sottrarre il valore iniziale relativo, cioè 1 = 100%:
93,5% − 100% = −6,5%
In un’unica espressione:
(100% + 10%)(100% − 15%) − 100%
= −6,5%
Non abbiamo dovuto assegnare un prezzo al bene. Se il valore iniziale è V > 0, infatti:
V_f = V · 1,10 · 0,85
La variazione relativa è:
(V_f − V)/V
= (V · 1,10 · 0,85 − V)/V
= 1,10 · 0,85 − 1
Il valore iniziale si semplifica. Ecco perché scegliere 100 è una comodità espositiva, non una necessità matematica.
8. E se invertiamo l’ordine?
Docente: Osserviamo la formula: che cosa succede se prima diminuiamo del 15% e poi aumentiamo del 10%?
Studente: Scambiamo i fattori:
0,85 · 1,10 = 1,10 · 0,85
Il risultato non cambia.
Docente: Abbiamo ricavato un’altra proprietà senza ripetere il problema. I valori intermedi cambiano, ma il risultato finale resta identico perché la moltiplicazione è commutativa.
Questo vale per variazioni puramente moltiplicative, applicate ogni volta al valore corrente, senza arrotondamenti intermedi o altre operazioni aggiunte.
Una formula non serve soltanto a calcolare: rende visibili proprietà che un singolo esempio può lasciare in secondo piano.
9. Due variazioni opposte: la risposta va completata
Docente: Ora il bene aumenta del 30% e successivamente diminuisce del 30%.
IA: Partendo da 100 si arriva prima a 130, poi a 91. La variazione è −9%. Possiamo inoltre scrivere:
(1 + 0,30)(1 − 0,30)
= 1 − 0,30² = 0,91
Docente: Fermiamoci. Il risultato numerico −9% è corretto. Ma nello sviluppo della formula siamo arrivati a 0,91, che è il fattore finale. Per esprimere direttamente la variazione manca ancora un passaggio.
Studente: Sottrarre 1!
(1 + 0,30)(1 − 0,30) − 1
= 1 − 0,09 − 1
= −0,09 = −9%
Docente: Esatto. Non stiamo correggendo il risultato dell’esempio: stiamo chiedendo che la formalizzazione distingua chiaramente fattore finale e variazione.
Adesso possiamo porre la domanda successiva: che cosa accade con una percentuale qualsiasi?
10. Dall’esempio alla formula
Indichiamo con a e b i numeri che esprimono due variazioni percentuali con segno: positivi per gli aumenti, negativi per le diminuzioni.
Il fattore complessivo è:
(1 + a/100)(1 + b/100)
Sottraendo 1:
(1 + a/100)(1 + b/100) − 1
= a/100 + b/100 + ab/10000
Riscrivendo il risultato in notazione percentuale otteniamo la variazione totale:
(a + b + ab/100)%
Studente: Nel primo esempio:
(10 − 15 + 10 · (−15)/100)%
= (10 − 15 − 1,5)% = −6,5%
Docente: Ora prendiamo due variazioni opposte: a = x e b = −x.
(x − x + x · (−x)/100)%
= (−x²/100)%
Ecco la regola cercata:
Due variazioni successive +x% e −x%, in qualunque ordine, producono una variazione complessiva pari a (−x²/100)%.
Per un prezzo positivo consideriamo normalmente 0 ≤ x ≤ 100. Se x > 0, la variazione è negativa; se x = 0, è nulla.
Per esempio:
| Variazioni successive | Variazione complessiva |
|---|---|
| +10%, −10% | −1% |
| +20%, −20% | −4% |
| +30%, −30% | −9% |
| +50%, −50% | −25% |
Non dobbiamo più inventare ogni volta un prezzo iniziale e ripercorrere tutti i calcoli.
11. Un’intuizione didattica che risale al 2009
Già nel 2009 avevo affrontato questo problema con lo stesso intento.
Lo incontravo in contesti diversi, spesso presentato come un quesito difficile o insidioso. Nelle soluzioni che vedevo ricorreva il procedimento: «Supponiamo che il valore iniziale sia 100».
Quel procedimento era corretto, ma mi sembrava incompleto come punto di arrivo didattico. Perché fermarsi a un esempio quando era possibile formalizzare una regola per un’intera famiglia di problemi?
Non si trattava di rivendicare un nuovo teorema. Si trattava di esplorare una soluzione: generalizzarla, riconoscerne un caso particolare e rendere esplicita una conseguenza utile.
Oggi il dialogo con l’IA permette di riprendere quel modo di lavorare, confrontarlo con altri esempi e trasformarlo in un percorso leggibile.
12. La stessa struttura, due problemi diversi
Docente: Che cosa collega il triangolo alle variazioni percentuali?
Studente: In entrambi compare la somma per differenza:
(A + B)(A − B) = A² − B²
Nel triangolo:
(c + a)(c − a) = c² − a²
Nelle percentuali opposte:
(1 + x/100)(1 − x/100)
= 1 − x²/10000
Docente: Esatto. I contesti sono diversi, ma la struttura algebrica è la stessa.
L’esplorazione ci permette di riconoscerla, darle una formulazione operativa e riutilizzarla. Il nome della regola può aiutarci a ricordarla; la dimostrazione ci permette di comprenderla e applicarla correttamente.
Conclusione: chi pone la domanda successiva?
La prima risposta dell’IA era corretta:
√(25² − 15²) = 20
Se il dialogo si fosse fermato lì, avremmo risolto un esercizio.
Proseguendo, invece, abbiamo incontrato una fattorizzazione, esplorato esempi favorevoli, formulato una regola con semisomma e semidifferenza e riconosciuto la stessa identità nelle variazioni percentuali.
Il percorso non è stato prodotto da una sola parte. Una domanda umana ha orientato l’IA; una scomposizione proposta dall’IA ha suggerito un nuovo affinamento; l’esperienza didattica ha introdotto un altro problema e richiesto una formalizzazione più chiara.
La competenza non consiste soltanto nell’ottenere una risposta, ma nel saper decidere che cosa farne.
Verificarla. Trasformarla. Generalizzarla. Chiederne le condizioni di validità. Accorgersi che un risultato intermedio non risponde ancora esattamente alla domanda posta.
L’IA può aiutare a calcolare, spiegare e organizzare. Ma in questo percorso l’esperienza, la curiosità e la direzione didattica non sono dettagli accessori: sono ciò che trasforma una sequenza di risposte in una lezione.
Una risposta può chiudere un esercizio. Una nuova domanda può aprire un percorso di matematica.