Laboratorio interactivo · Álgebra
Estrategias, trucos e identidades algebraicas para calcular más deprisa
Un cálculo difícil se vuelve más sencillo si lo representamos de otra manera. Por ejemplo, 48×52 se transforma en (50−2)(50+2), una diferencia de cuadrados. Cada atajo de este laboratorio procede de la distributiva, las identidades algebraicas, la compensación, el doble y la mitad, o la estructura de las cifras; no de la magia.
48×52=(50−2)(50+2)=50²−2²=2496
En cada ficha observa primero el truco y el ejemplo; abre luego la explicación matemática y prueba la herramienta si está disponible.
Técnica 1 / 18
El truco: Intercala la suma de las cifras, con llevada si supera 9.
Ejemplo: 53×11: 5+3=8, por tanto 583. 85×11: 8+5=13, por tanto 935.
(10a+b)11=100a+10(a+b)+b
Porque 11=10+1. La fórmula produce sumas adyacentes; si una supera 9, lleva a la posición izquierda.
Técnica 2 / 18
El truco: Multiplica la parte anterior al 5 por su sucesor; termina con 25.
Ejemplo: 85²: 8×9=72, por tanto 7225.
(10a+5)²=100a(a+1)+25
Al desarrollar se obtiene 100a²+100a+25: la parte inicial es a(a+1).
Técnica 3 / 18
El truco: Halla el centro y resta el cuadrado de la distancia.
Ejemplo: 48×52=50²−2²=2496. Igual alrededor de 10, 100 y 1000.
(m−d)(m+d)=m²−d²
Los términos mixtos −md y +md se cancelan. También sirve un centro semientero.
Técnica 4 / 18
El truco: Calcula a(a+1) y luego el producto de las unidades con dos cifras.
Ejemplo: 83×87: 8×9=72 y 3×7=21, por tanto 7221. 61×69: 42 y 09, por tanto 4209.
(10a+b)(10a+10−b)=100a(a+1)+b(10−b)
La parte inicial es múltiplo de 100. El producto de las unidades es menor que 100 y ocupa dos posiciones, incluso con cero inicial.
Técnica 5 / 18
El truco: Usa las diferencias respecto a 100 y normaliza las dos últimas cifras.
Ejemplo: 97×96: 93 | 12 = 9312. 103×107: 110 | 21 = 11021.
(100+a)(100+b)=100(100+a+b)+ab
El resultado es la parte izquierda por 100 más el producto de las diferencias. Una cola negativa o mayor que 99 exige préstamo o llevada.
Técnica 6 / 18
El truco: El mismo método con una cola normalizada de tres cifras.
Ejemplo: 997×994: 991 | 018 = 991018. 998×997: 995 | 006 = 995006.
(1000+a)(1000+b)=1000(1000+a+b)+ab
Dividimos ab entre 1000 con resto no negativo. El cociente corrige la parte izquierda; el resto tiene tres cifras.
Técnica 7 / 18
El truco: Multiplica por 100 y resta el número.
Ejemplo: 47×99=4700−47=4653; para 999 usa 1000n−n.
n(10^k−1)=10^k n−n
99, 999 y 9999 están una unidad por debajo de potencias de diez.
Técnica 8 / 18
El truco: Multiplica por 100 y suma el número.
Ejemplo: 53×101=5300+53=5353.
101n=100n+n
Una aparente concatenación resulta de la suma; no es una regla incondicional.
Técnica 9 / 18
El truco: Multiplica por 100 y divide entre 4.
Ejemplo: 84×25=(84/4)×100=2100.
25n=100n/4
25 es la cuarta parte de 100. Si n no es divisible entre 4, multiplica primero por 100.
Técnica 10 / 18
El truco: Multiplica por 1000 y divide entre 8.
Ejemplo: 48×125=(48/8)×1000=6000.
125n=1000n/8
125 es la octava parte de 1000.
Técnica 11 / 18
El truco: Dobla un factor mientras divides el otro por dos.
Ejemplo: 25×48=50×24=100×12=1200; 16×75=8×150=4×300=1200.
ab=(2a)(b/2)
Los factores 2 y 1/2 se compensan. Elige el sentido que dé números más cómodos.
Técnica 12 / 18
El truco: Redondea un factor y corrige.
Ejemplo: 49×37=50×37−37=1813; 102×46=100×46+2×46=4692.
(A+d)b=Ab+db
Es la distributiva aplicada a un número cercano a uno redondo.
Técnica 13 / 18
El truco: Cuadrado de la base, doble producto y cuadrado de la diferencia.
Ejemplo: 104²=10000+800+16=10816; 96²=10000−800+16=9216.
(100+d)²=10000+200d+d²
Se deduce de (a+b)²; d puede ser negativo.
Técnica 14 / 18
El truco: Multiplica diferencia por suma.
Ejemplo: 51²−49²=(51−49)(51+49)=2×100=200.
A²−B²=(A−B)(A+B)
Al desarrollar el producto, los términos mixtos se cancelan.
Técnica 15 / 18
El truco: Descompón en factores o en una suma, escogiendo la vía más fácil.
Ejemplo: 37×24=37×(20+4)=740+148=888; o 37×(6×4).
a(b+c)=ab+ac; a(bc)=(ab)c
Asociatividad y distributividad cambian la forma sin cambiar el valor.
Técnica 16 / 18
El truco: Multiplica por 10, 100 o 1000 y divide entre 2.
Ejemplo: 68×50=6800/2=3400.
5n=10n/2; 50n=100n/2; 500n=1000n/2
Todos son la mitad de una potencia de diez.
Técnica 17 / 18
El truco: Multiplica por la siguiente decena y resta el número.
Ejemplo: 47×19=47×20−47=893.
n(10k−1)=10kn−n
9, 19, 29 y 39 son una unidad menores que una decena redonda.
Técnica 18 / 18
El truco: Reconoce la estructura antes de calcular. Pueden servir varios métodos.
Ejemplo: 48×52 favorece los cuadrados; 25×48 favorece doblar y dividir por dos.
mismo producto, distintas representaciones
Un método cómodo reduce pasos mentales; el mejor también depende de las costumbres de quien calcula.
Introduce números enteros. El laboratorio muestra los pasos y verifica el producto mediante aritmética exacta.
Observa el producto y elige un método cómodo. Puede haber más de uno.
Responde antes de abrir la pista o la solución. Los pasos permanecen ocultos hasta que los pidas.
Se genera un problema nuevo entre doce categorías y se calcula su respuesta al instante.
Diez preguntas, una a una. Tras un error puedes volver a intentarlo o mostrar la solución; solo se consigue un punto si aciertas a la primera. El progreso permanece en este dispositivo.
El cálculo mental rápido no consiste en memorizar cientos de reglas. Consiste en reconocer una estructura y transformar un cálculo difícil en otro equivalente pero más sencillo. Las identidades siguientes explican muchas técnicas del laboratorio.
(a+b)(a−b)=a²−b²
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a−b)²=a²−2ab+b²
a(b+c)=ab+ac