Laboratoire interactif · Algèbre
Stratégies, astuces et identités algébriques pour calculer plus vite
Un calcul difficile devient plus simple si on le représente autrement. Par exemple, 48×52 devient (50−2)(50+2), une différence de carrés. Chaque raccourci de ce laboratoire découle de la distributivité, des identités algébriques, de la compensation, du doublement et de la division par deux, ou de la structure des chiffres ; ce n’est pas de la magie.
48×52=(50−2)(50+2)=50²−2²=2496
Dans chaque fiche, regardez d’abord l’astuce et l’exemple ; ouvrez ensuite l’explication mathématique et essayez l’outil si disponible.
Technique 1 / 18
L’astuce: Insérez la somme des chiffres entre eux, avec retenue si elle dépasse 9.
Exemple: 53×11 : 5+3=8, donc 583. 85×11 : 8+5=13, donc 935.
(10a+b)11=100a+10(a+b)+b
Car 11=10+1. La formule produit les sommes voisines ; une somme supérieure à 9 donne une retenue vers la gauche.
Technique 2 / 18
L’astuce: Multipliez la partie avant le 5 par son successeur ; terminez par 25.
Exemple: 85² : 8×9=72, donc 7225.
(10a+5)²=100a(a+1)+25
Le développement donne 100a²+100a+25 : la première partie est a(a+1).
Technique 3 / 18
L’astuce: Trouvez le centre et soustrayez le carré de l’écart.
Exemple: 48×52=50²−2²=2496. Même principe autour de 10, 100 et 1000.
(m−d)(m+d)=m²−d²
Les termes croisés −md et +md s’annulent. Un centre demi-entier fonctionne aussi.
Technique 4 / 18
L’astuce: Calculez a(a+1), puis le produit des unités sur deux chiffres.
Exemple: 83×87 : 8×9=72 et 3×7=21, donc 7221. 61×69 : 42 et 09, donc 4209.
(10a+b)(10a+10−b)=100a(a+1)+b(10−b)
La première partie est un multiple de 100. Le produit des unités, inférieur à 100, occupe deux places, même avec un zéro initial.
Technique 5 / 18
L’astuce: Utilisez les écarts à 100 et normalisez les deux derniers chiffres.
Exemple: 97×96 : 93 | 12 = 9312. 103×107 : 110 | 21 = 11021.
(100+a)(100+b)=100(100+a+b)+ab
Le résultat est la partie gauche multipliée par 100 plus le produit des écarts. Une partie finale négative ou supérieure à 99 exige un emprunt ou une retenue.
Technique 6 / 18
L’astuce: Même idée avec une partie finale normalisée à trois chiffres.
Exemple: 997×994 : 991 | 018 = 991018. 998×997 : 995 | 006 = 995006.
(1000+a)(1000+b)=1000(1000+a+b)+ab
On divise ab par 1000 avec un reste non négatif. Le quotient ajuste la partie gauche ; le reste a trois chiffres.
Technique 7 / 18
L’astuce: Multipliez par 100 et soustrayez le nombre.
Exemple: 47×99=4700−47=4653 ; pour 999, utilisez 1000n−n.
n(10^k−1)=10^k n−n
99, 999 et 9999 précèdent immédiatement des puissances de dix.
Technique 8 / 18
L’astuce: Multipliez par 100 et ajoutez le nombre.
Exemple: 53×101=5300+53=5353.
101n=100n+n
Une éventuelle juxtaposition des chiffres résulte de l’addition ; ce n’est pas une règle universelle.
Technique 9 / 18
L’astuce: Multipliez par 100 et divisez par 4.
Exemple: 84×25=(84/4)×100=2100.
25n=100n/4
25 est le quart de 100. Si n n’est pas divisible par 4, multipliez d’abord par 100.
Technique 10 / 18
L’astuce: Multipliez par 1000 et divisez par 8.
Exemple: 48×125=(48/8)×1000=6000.
125n=1000n/8
125 est le huitième de 1000.
Technique 11 / 18
L’astuce: Doublez un facteur tout en divisant l’autre par deux.
Exemple: 25×48=50×24=100×12=1200 ; 16×75=8×150=4×300=1200.
ab=(2a)(b/2)
Les facteurs 2 et 1/2 se compensent. Choisissez le sens le plus commode.
Technique 12 / 18
L’astuce: Arrondissez un facteur, puis corrigez.
Exemple: 49×37=50×37−37=1813 ; 102×46=100×46+2×46=4692.
(A+d)b=Ab+db
C’est la distributivité appliquée à un nombre proche d’un nombre rond.
Technique 13 / 18
L’astuce: Carré de la base, double produit, puis carré de l’écart.
Exemple: 104²=10000+800+16=10816 ; 96²=10000−800+16=9216.
(100+d)²=10000+200d+d²
Cela découle de (a+b)² ; d peut être négatif.
Technique 14 / 18
L’astuce: Multipliez la différence par la somme.
Exemple: 51²−49²=(51−49)(51+49)=2×100=200.
A²−B²=(A−B)(A+B)
En développant le produit, les termes croisés s’annulent.
Technique 15 / 18
L’astuce: Décomposez en facteurs ou en somme, selon la voie la plus facile.
Exemple: 37×24=37×(20+4)=740+148=888 ; ou 37×(6×4).
a(b+c)=ab+ac; a(bc)=(ab)c
Associativité et distributivité changent la forme sans changer la valeur.
Technique 16 / 18
L’astuce: Multipliez par 10, 100 ou 1000 et divisez par 2.
Exemple: 68×50=6800/2=3400.
5n=10n/2; 50n=100n/2; 500n=1000n/2
Ce sont des moitiés de puissances de dix.
Technique 17 / 18
L’astuce: Multipliez par la dizaine supérieure, puis soustrayez le nombre.
Exemple: 47×19=47×20−47=893.
n(10k−1)=10kn−n
9, 19, 29 et 39 sont inférieurs d’une unité à une dizaine ronde.
Technique 18 / 18
L’astuce: Reconnaissez la structure avant de calculer. Plusieurs méthodes peuvent convenir.
Exemple: 48×52 se prête aux carrés ; 25×48 au doublement et à la division par deux.
même produit, différentes représentations
Une bonne méthode réduit les étapes mentales ; le meilleur choix dépend aussi des habitudes de chacun.
Saisissez des nombres entiers. Le laboratoire affiche les étapes et vérifie le produit par calcul exact.
Observez le produit et choisissez une méthode pratique. Plusieurs peuvent convenir.
Répondez avant d’ouvrir l’indice ou la solution. Les étapes restent cachées jusqu’à votre demande.
Un nouveau problème est généré parmi douze catégories ; sa réponse est calculée immédiatement.
Dix questions, une à la fois. Après une erreur, vous pouvez réessayer ou afficher la solution ; le point n’est accordé que si la première réponse est juste. La progression reste sur cet appareil.
Le calcul mental rapide ne consiste pas à mémoriser des centaines de règles. Il s’agit de reconnaître une structure et de transformer un calcul difficile en un calcul équivalent mais plus simple. Les identités ci-dessous expliquent bon nombre des techniques du laboratoire.
(a+b)(a−b)=a²−b²
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a−b)²=a²−2ab+b²
a(b+c)=ab+ac