Aproximaciones · Aplicación

Cálculo de π

Parte de la integral de 4√(1 − x²) en [0, 1] para aproximar π, o introduce cualquier función permitida y elige el intervalo.

Cálculo seguro con PHP 8.4

\int_{0}^{1} 4 \sqrt{1 - x^{2}} d x = π

4*sqrt(1-x^2)

Aproximaciones · Aplicación

Configura la integral

Función f(x)

Usa x como variable y escribe siempre la multiplicación, por ejemplo 4*x.

Intervalo de integración

Límite inicial a

Límite final b

a y b deben ser finitos. Si a es mayor que b, el resultado cambia de signo; si a es igual a b, la integral vale 0. Puedes usar pi y e.

Método numérico

El método determina cómo se eligen y combinan los valores de la función.

Punto medio Evalúa la función en el centro de cada subintervalo. Trapecios Une valores consecutivos con segmentos y suma los trapecios. Simpson Usa aproximaciones parabólicas y requiere un número par de subdivisiones. Montecarlo Toma muestras aleatorias y estima la integral a partir de su media.

Número de subdivisiones

Más subdivisiones suelen mejorar la precisión, pero requieren más cálculos.

Valor esperado (opcional)

Se utiliza para calcular los errores absoluto y relativo. Acepta números y expresiones constantes como pi o pi/4.

Restaurar el ejemplo de π

Guía de los métodos

Cómo funcionan los métodos

Cada método aproxima la misma integral, pero selecciona y combina de forma distinta los valores de la función.

I = \int_{a}^{b} f (x) d x, h = \frac{b - a}{n}, x_{i} = a + i h

En el ejemplo inicial, f(x) = 4√(1 − x²) en [0, 1]: la integral representa el área del disco unitario y es igual a π.

Punto medio

Divide [a, b] en n subintervalos iguales. En cada uno evalúa f en el punto medio y multiplica ese valor por la anchura h; la suma de las contribuciones aproxima la integral.

M_{n} = h \sum_{i = 0}^{n - 1} f (a + (i + \frac{1}{2}) h)

Usa n evaluaciones de la función. Para una función f suficientemente regular, el error es de orden h al cuadrado; duplicar n puede reducirlo aproximadamente cuatro veces.

Trapecios

Evalúa f en los nodos de subdivisión y sustituye la curva por segmentos rectos. Cada par de valores consecutivos forma la contribución de un trapecio.

T_{n} = h [\frac{f (x_{0}) + f (x_{n})}{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i})]

Al reutilizar los nodos compartidos, usa n + 1 evaluaciones de la función. Para una función f suficientemente regular, el error es de orden h al cuadrado; duplicar n puede reducirlo aproximadamente cuatro veces.

Simpson

En cada par de subintervalos sustituye la curva por una parábola. Los nodos interiores reciben alternativamente los pesos 4 y 2.

S_{n} = \frac{h}{3} [f (x_{0}) + 4 \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2}} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2} - 1} f (x_{2 k}) + f (x_{n})]

Requiere que n sea par y usa n + 1 evaluaciones de la función. Si f tiene una cuarta derivada suficientemente regular, el error es de orden h a la cuarta potencia; duplicar n puede reducirlo aproximadamente dieciséis veces.

Tu algoritmo JavaScript

Tu antiguo código JavaScript usa la misma regla de Simpson compuesta: coefficiente = -coefficiente + 6 alterna correctamente los pesos 4 y 2. Sin embargo, en un intervalo general el primer nodo interior es x = a + h, no x = h; cuando a = 0, las dos expresiones coinciden.

Montecarlo

Este laboratorio usa el método de la media muestral, no el recuento de puntos dentro de un círculo. Extrae N valores uniformes entre 0 y 1, los transforma en N puntos situados entre los extremos y multiplica la media de los valores correspondientes de la función por b menos a.

{\hat{I}}_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{j = 1}^{N} f (X_{j}), U_{j} \sim U (0, 1), X_{j} = a + (b - a) U_{j}

SE \approx \frac{| b - a | s}{\sqrt{N}}, [{\hat{I}}_{N} - 1.96 \cdot SE, {\hat{I}}_{N} + 1.96 \cdot SE] (95 %)

Usa N evaluaciones de la función. Cuando los valores muestreados tienen varianza finita, la incertidumbre estadística típica es proporcional a uno dividido entre la raíz cuadrada de N: para reducirla a la mitad se necesitan aproximadamente cuatro veces más muestras. El resultado sigue siendo aleatorio; la misma semilla reproduce la misma secuencia.

Las indicaciones sobre la precisión de los métodos del punto medio, los trapecios y Simpson suponen que f tiene las derivadas continuas necesarias en todo el intervalo. Las discontinuidades, cúspides, extremos singulares u oscilaciones rápidas pueden cambiar el comportamiento. En particular, 4√(1 − x²) tiene derivadas no acotadas cerca de x = 1, por lo que los órdenes teóricos pueden no observarse plenamente en el ejemplo de π.

Sintaxis segura

La expresión no se ejecuta como código. Un analizador acepta únicamente los elementos indicados y no utiliza eval().

Operadores, constantes y funciones disponibles

Variable: x
Operadores: +, -, *, / y ^
Funciones: sqrt, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, exp, log, ln y log10
Constantes: pi y e
Usa el punto como separador decimal, por ejemplo 0.5.
La multiplicación debe ser explícita: escribe 2*x, no 2x.

La función debe devolver valores finitos en todo el intervalo. Las raíces, los logaritmos, las divisiones y las tangentes pueden tener puntos no válidos.

Ejemplos preparados

Carga un ejemplo y después prueba a cambiar el método o el número de subdivisiones.

π a partir del círculo

4*sqrt(1-x^2) en [0, 1], con valor esperado pi.

Cargar

Seno en medio período

sin(x) en [0, pi], con valor esperado 2.

Cargar

π/4 a partir de la arcotangente

1/(1+x^2) en [0, 1], con valor esperado pi/4.

Cargar