Approssimazioni · Applicazione

Calcolo di π greco

Parti dall’integrale di 4√(1 − x²) su [0, 1] per approssimare π, oppure inserisci qualunque funzione ammessa e scegli l’intervallo.

Calcolo sicuro con PHP 8.4

\int_{0}^{1} 4 \sqrt{1 - x^{2}} d x = π

4*sqrt(1-x^2)

Approssimazioni · Applicazione

Imposta l’integrale

Funzione f(x)

Usa x come variabile e scrivi sempre le moltiplicazioni, per esempio 4*x.

Intervallo di integrazione

Estremo iniziale a

Estremo finale b

a e b devono essere finiti. Se a è maggiore di b il risultato cambia segno; se a è uguale a b l’integrale vale 0. Puoi usare pi ed e.

Metodo numerico

Il metodo determina come vengono scelti e combinati i valori della funzione.

Punto medio Valuta la funzione al centro di ogni sottointervallo. Trapezi Unisce i valori consecutivi con segmenti e somma i trapezi. Simpson Usa approssimazioni paraboliche e richiede un numero pari di passaggi. Monte Carlo Campiona punti casuali e stima l’integrale con la media dei valori.

Numero di passaggi

Più passaggi migliorano in genere la precisione, ma richiedono più calcoli.

Valore atteso (opzionale)

Serve per calcolare gli errori assoluto e relativo. Accetta numeri ed espressioni costanti come pi o pi/4.

Ripristina l’esempio di π

Guida ai metodi

Come funzionano i metodi

Ogni metodo approssima lo stesso integrale, ma sceglie e combina in modo diverso i valori della funzione.

I = \int_{a}^{b} f (x) d x, h = \frac{b - a}{n}, x_{i} = a + i h

Nell’esempio iniziale, f(x) = 4√(1 − x²) su [0, 1]: l’integrale rappresenta l’area del cerchio unitario ed è uguale a π.

Punto medio

Divide [a, b] in n sottointervalli uguali. In ciascuno valuta f nel punto centrale e moltiplica il valore per l’ampiezza h; la somma dei contributi approssima l’integrale.

M_{n} = h \sum_{i = 0}^{n - 1} f (a + (i + \frac{1}{2}) h)

Usa n valutazioni della funzione. Per f sufficientemente regolare, l’errore è di ordine h al quadrato; raddoppiare n può ridurlo di circa quattro volte.

Trapezi

Valuta f nei nodi di suddivisione e sostituisce la curva con segmenti retti. Ogni coppia di valori consecutivi forma il contributo di un trapezio.

T_{n} = h [\frac{f (x_{0}) + f (x_{n})}{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i})]

Riutilizzando i nodi condivisi, usa n + 1 valutazioni della funzione. Per f sufficientemente regolare, l’errore è di ordine h al quadrato; raddoppiare n può ridurlo di circa quattro volte.

Simpson

Su ogni coppia di sottointervalli sostituisce la curva con una parabola. I nodi interni ricevono alternativamente peso 4 e peso 2.

S_{n} = \frac{h}{3} [f (x_{0}) + 4 \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2}} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2} - 1} f (x_{2 k}) + f (x_{n})]

Richiede n pari e usa n + 1 valutazioni della funzione. Se f ha una derivata quarta sufficientemente regolare, l’errore è di ordine h alla quarta; raddoppiare n può ridurlo di circa sedici volte.

Il tuo algoritmo JavaScript

Il tuo codice JavaScript storico usa la stessa regola di Simpson composta: coefficiente = -coefficiente + 6 alterna correttamente i pesi 4 e 2. Su un intervallo generale, però, il primo nodo interno è x = a + h, non x = h; quando a = 0 le due espressioni coincidono.

Monte Carlo

Questo laboratorio usa il metodo della media campionaria, non il conteggio di punti dentro un cerchio. Estrae N valori uniformi tra 0 e 1, li trasforma in N punti compresi tra gli estremi e moltiplica la media dei corrispondenti valori di f per b meno a.

{\hat{I}}_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{j = 1}^{N} f (X_{j}), U_{j} \sim U (0, 1), X_{j} = a + (b - a) U_{j}

SE \approx \frac{| b - a | s}{\sqrt{N}}, [{\hat{I}}_{N} - 1.96 \cdot SE, {\hat{I}}_{N} + 1.96 \cdot SE] (95 %)

Usa N valutazioni della funzione. Quando i valori campionati hanno varianza finita, l’incertezza statistica tipica è proporzionale a uno diviso la radice quadrata di N: per dimezzarla servono circa quattro volte i campioni. Il risultato resta casuale; lo stesso seed riproduce la stessa sequenza.

Le indicazioni sull’accuratezza di punto medio, trapezi e Simpson presuppongono che f possieda le derivate continue richieste in tutto l’intervallo. Discontinuità, cuspidi, estremi singolari o oscillazioni rapide possono cambiare il comportamento. In particolare, 4√(1 − x²) ha derivate non limitate vicino a x = 1: gli ordini teorici possono quindi non manifestarsi pienamente nell’esempio di π.

Sintassi sicura

L’espressione non viene eseguita come codice. Un parser accetta soltanto gli elementi elencati e non usa eval().

Operatori, costanti e funzioni disponibili

Variabile: x
Operatori: +, -, *, / e ^
Funzioni: sqrt, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, exp, log, ln e log10
Costanti: pi ed e
Usa il punto come separatore decimale, per esempio 0.5.
La moltiplicazione deve essere esplicita: scrivi 2*x, non 2x.

La funzione deve restituire valori finiti nell’intervallo. Radici, logaritmi, divisioni e tangenti possono avere punti non validi.

Esempi pronti

Carica un esempio e poi prova a cambiare metodo o numero di passaggi.

π dal cerchio

4*sqrt(1-x^2) su [0, 1], con valore atteso pi.

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Seno su mezzo periodo

sin(x) su [0, pi], con valore atteso 2.

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π/4 dall’arcotangente

1/(1+x^2) su [0, 1], con valore atteso pi/4.

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