El análisis numérico estudia algoritmos que proporcionan valores aproximados cuando un cálculo exacto no está disponible o no resulta práctico. No basta con obtener muchas cifras: hay que saber si la estimación es fiable, si los errores de redondeo crecen y cuánto trabajo exige el método.
Tres preguntas para evaluar un método
- Convergencia: ¿los pasos sucesivos se acercan al valor buscado y con qué rapidez?
- Estabilidad numérica: ¿un pequeño error en los datos o en el redondeo causa solo una pequeña variación del resultado?
- Coste computacional: ¿cuántos pasos y evaluaciones se necesitan para la precisión deseada?
Un ordenador siempre representa el resultado con precisión finita. Por eso comparamos la estimación con un valor de referencia y observamos el error absoluto |estimación − referencia|.
1. Bisección: dividir el intervalo sin perder la raíz
Para aproximar √2 buscamos la raíz de f(x)=x²−2. Como f(1)<0 y f(2)>0, la raíz está en [1; 2]. El punto medio 1,5 da f(1,5)=0,25: conservamos [1; 1,5]. El siguiente punto medio 1,25 da f(1,25)=−0,4375: conservamos [1,25; 1,5]. Cada paso reduce el intervalo a la mitad y conserva la raíz, siempre que la función sea continua y los extremos tengan signos opuestos.
2. Newton: corregir una estimación con la tangente
Para √a, la fórmula se convierte en xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/2. Con a=2 y x₀=1,5, las estimaciones siguientes son aproximadamente 1,4167 y 1,4142. Cerca de la raíz, el método puede ser muy rápido; una estimación inicial inadecuada o una derivada nula pueden, sin embargo, hacerlo poco fiable. La rapidez no sustituye la comprobación de las condiciones.
3. Taylor: sustituir una función por una suma
La función eˣ se puede aproximar mediante 1+x+x²/2!+x³/3!+… . En x=1, los cuatro primeros términos dan 2,6667; e vale aproximadamente 2,7183. Añadir términos reduce aquí el error, pero conviene observar cómo cambia la suma y recordar que todo cálculo utiliza un número finito de cifras.
4. Integración numérica
También se puede estimar el área bajo una curva. Por ejemplo π=∫₀¹4√(1−x²)dx. El punto medio usa una altura por subintervalo; los trapecios unen valores consecutivos; Simpson combina valores mediante parábolas; Montecarlo emplea muestras aleatorias. Cada método tiene diferentes condiciones, costes y comportamientos del error.
Qué recordar
Aproximar no es adivinar. Hay que definir un procedimiento repetible, comprobar sus condiciones y medir el error. El mejor método depende del problema y de la precisión necesaria.