L’analyse numérique étudie les algorithmes qui fournissent des valeurs approchées lorsqu’un calcul exact est impossible ou peu pratique. Un grand nombre de chiffres ne suffit pas : il faut savoir si l’estimation est fiable, si les erreurs d’arrondi s’amplifient et quel effort demande la méthode.
Trois questions pour évaluer une méthode
- Convergence : les étapes successives approchent-elles la valeur cherchée, et à quelle vitesse ?
- Stabilité numérique : une petite erreur dans les données ou les arrondis entraîne-t-elle une petite variation du résultat ?
- Coût de calcul : combien d’étapes et d’évaluations faut-il pour la précision voulue ?
Un ordinateur représente toujours un résultat avec une précision finie. On compare donc l’estimation à une valeur de référence et on observe l’erreur absolue |estimation − référence|.
1. Dichotomie : partager l’intervalle sans perdre la racine
Pour approcher √2, on cherche la racine de f(x)=x²−2. Comme f(1)<0 et f(2)>0, elle est dans [1 ; 2]. Le milieu 1,5 donne f(1,5)=0,25 : on garde [1 ; 1,5]. Le milieu suivant 1,25 donne f(1,25)=−0,4375 : on garde [1,25 ; 1,5]. Chaque étape divise l’intervalle en deux tout en conservant la racine, si la fonction est continue et si les bornes ont des signes opposés.
2. Newton : corriger une estimation avec une tangente
Pour √a, la formule devient xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/2. Avec a=2 et x₀=1,5, les estimations suivantes sont environ 1,4167 puis 1,4142. Près de la racine, la méthode peut être très rapide ; un point de départ inadapté ou une dérivée nulle peuvent pourtant la rendre peu fiable. La vitesse ne dispense pas de vérifier les conditions.
3. Taylor : remplacer une fonction par une somme
On peut approcher eˣ par 1+x+x²/2!+x³/3!+… . En x=1, les quatre premiers termes donnent 2,6667 ; e vaut environ 2,7183. Ajouter des termes réduit ici l’erreur, mais il convient d’observer l’évolution de la somme et de se souvenir que tout calcul utilise un nombre fini de chiffres.
4. Intégrer numériquement
On peut aussi estimer l’aire sous une courbe. Par exemple π=∫₀¹4√(1−x²)dx. La méthode du point milieu prend une hauteur par sous-intervalle ; les trapèzes relient des valeurs consécutives ; Simpson combine les valeurs à l’aide de paraboles ; Monte-Carlo utilise des échantillons aléatoires. Chaque méthode possède ses hypothèses, son coût et son comportement d’erreur.
À retenir
Approcher une valeur ne signifie pas deviner. Il faut définir une procédure répétable, vérifier ses hypothèses et mesurer l’erreur. La meilleure méthode dépend du problème et de la précision demandée.