L’analisi numerica studia algoritmi che forniscono valori approssimati quando un calcolo esatto non è disponibile o non è pratico. Non basta ottenere molte cifre: bisogna sapere quanto è affidabile la stima, se gli errori di arrotondamento si amplificano e quanto lavoro richiede il metodo.
Tre domande per valutare un metodo
- Convergenza: ripetendo i passi, la stima si avvicina al valore cercato? Quanto rapidamente?
- Stabilità numerica: un piccolo errore nei dati o negli arrotondamenti produce una piccola variazione del risultato?
- Costo di calcolo: quanti passi e quante valutazioni servono per la precisione desiderata?
Un risultato visualizzato dal computer è sempre rappresentato con precisione finita: per questo confrontiamo la stima con un valore di riferimento e osserviamo l’errore assoluto |stima − riferimento|.
1. Bisezione: dimezzare senza perdere la radice
Per approssimare √2 cerchiamo lo zero di f(x)=x²−2. Poiché f(1)<0 e f(2)>0, la radice è in [1; 2]. Il punto medio 1,5 dà f(1,5)=0,25: conserviamo [1; 1,5]. Il nuovo punto medio 1,25 dà f(1,25)=−0,4375: conserviamo [1,25; 1,5]. Ogni passo dimezza l’intervallo e conserva la radice, purché la funzione sia continua e gli estremi abbiano segni opposti.
2. Newton: correggere una stima con la tangente
Per √a la formula diventa xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/2. Con a=2 e x₀=1,5 otteniamo circa 1,4167 e poi 1,4142. Vicino alla radice il metodo è molto rapido; una stima iniziale inadatta o una derivata nulla possono però renderlo inaffidabile. La rapidità non sostituisce il controllo delle condizioni.
3. Taylor: sostituire una funzione con una somma
La funzione eˣ può essere approssimata da 1+x+x²/2!+x³/3!+… . In x=1, con i primi quattro termini otteniamo 2,6667; il valore di e è circa 2,7183. Aggiungere termini riduce l’errore in questo caso, ma conviene sempre osservare quanto cambia la somma e ricordare che ogni calcolo usa un numero finito di cifre.
4. Integrare numericamente
Anche l’area sotto una curva si può stimare. Per esempio π=∫₀¹4√(1−x²)dx. Il punto medio usa un’altezza per intervallo; i trapezi uniscono valori consecutivi; Simpson combina valori con parabole; Monte Carlo usa campioni casuali. Ogni metodo ha ipotesi, costo e comportamento dell’errore differenti.
Che cosa ricordare
Approssimare non significa indovinare. Si definisce una procedura ripetibile, si controllano le ipotesi e si misura l’errore. Il metodo migliore dipende dal problema e dalla precisione richiesta.