¿Qué puedo saber a partir de lo que veo? ¿Qué aprendo cuando otra persona dice «No lo sé»? Intenta resolver cada problema antes de abrir la solución. Algunos tienen una respuesta única; otros enseñan a reconocer cuándo faltan datos. Las soluciones permanecen cerradas hasta que decidas verlas.
Los tres sombreros
A, B y C ven los sombreros rojos o azules de los otros dos, pero no el propio. Al menos uno es rojo. A dice: «No sé mi color». B, tras escucharlo, dice lo mismo. C declara: «Ahora sí sé el mío». ¿De qué color es el sombrero de C?
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Rojo. Si A viera dos azules, sabría que el suyo es rojo: por tanto, B o C lleva rojo. Si B viera a C con azul, deduciría que el rojo es el suyo. Como B tampoco sabe, C lleva rojo.
Números consecutivos
Anna y Bruno llevan en la frente dos enteros consecutivos entre 1 y 10. Cada uno solo ve el número del otro. Anna ve 9 y dice «No sé el mío». Bruno dice «Yo tampoco». Ahora Anna lo sabe. ¿Cuál es?
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8. Anna baraja 8 o 10. Si tuviera 10, Bruno vería 10 y sabría que 9 es el único consecutivo permitido. Su duda descarta 10.
Uno es el doble del otro
Anna y Bruno llevan enteros entre 1 y 20 en la frente; uno es el doble del otro. Anna ve 8 y desconoce su número. Bruno tampoco conoce el suyo. Entonces Anna deduce el suyo. ¿Cuál es?
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4. Anna considera 4 o 16. Si tuviera 16, Bruno vería 16 y sabría que posee 8, pues 32 queda fuera del intervalo. Su incertidumbre descarta 16.
Las tres hijas
Las edades enteras positivas de tres hijas tienen producto 36. Un amigo ve el número de la casa, igual a la suma de sus edades, y aun así no puede determinarlas. El padre añade: «La hija mayor toca el piano». ¿Qué edades tienen?
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2, 2 y 9. Las ternas sin orden posibles suman 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11 y 10. Solo la suma 13 deja dos opciones: (1,6,6) y (2,2,9). Una hija mayor única excluye (1,6,6).
El cumpleaños de Cheryl
La fecha de Cheryl está entre 15, 16 y 19 de mayo; 17 y 18 de junio; 14 y 16 de julio; 14, 15 y 17 de agosto. Dice el mes a Alberto y el día a Bernardo. Alberto: «No sé la fecha, pero sé que Bernardo tampoco». Bernardo: «Antes no sabía, ahora sí». Alberto: «Ahora yo también». ¿Qué fecha es?
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16 de julio. La primera frase elimina mayo y junio: los días 19 y 18 son únicos. Entre julio y agosto, la nueva certeza de Bernardo descarta el día 14, presente en ambos meses. En agosto aún quedarían 15 y 17; Alberto solo puede saber si su mes es julio.
Todas las etiquetas equivocadas
Tres cajas contienen solo manzanas, solo peras o ambas. Las etiquetas MANZANAS, PERAS y MANZANAS Y PERAS son todas incorrectas. Puedes sacar una fruta de una caja. ¿Cómo etiquetas las tres?
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Saca una fruta de la caja MANZANAS Y PERAS: no puede ser mixta. Si sale una manzana, contiene solo manzanas; la caja PERAS no puede contener peras ni las manzanas ya asignadas, así que es mixta; la última contiene solo peras. Si sale una pera, intercambia las frutas en el razonamiento.
Tres interruptores
Tres interruptores fuera de una habitación controlan una sola bombilla incandescente dentro. Puedes entrar una sola vez. ¿Cómo identificas el interruptor correcto?
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Enciende el primero unos minutos y apágalo; enciende el segundo y entra. Bombilla encendida: segundo. Apagada pero caliente: primero. Apagada y fría: tercero. La prueba de calor exige una bombilla que se caliente, no un LED frío.
Caballeros y mentirosos
A y B son caballeros, que siempre dicen la verdad, o mentirosos, que siempre mienten. A dice «B es mentiroso». B dice «Somos del mismo tipo». ¿Quién es quién?
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A es caballero y B mentiroso. Si A dice la verdad, B miente al afirmar que son iguales: es coherente. Si A miente, B sería caballero, pero su afirmación sería falsa: imposible.
¿Está determinado el culpable?
Exactamente uno de A, B y C es culpable. A declara «Fue B»; B dice «Fue C»; C dice «B está mintiendo». Solo una declaración es verdadera. ¿Existe un culpable único?
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No: pueden ser A o C. Si fue A, solo C dice la verdad. Si fue B, A y C dicen la verdad, así que queda excluido. Si fue C, solo B dice la verdad. Añadir «el culpable mintió» tampoco distingue A y C: ambos mienten en sus respectivos escenarios.
La moneda ligera entre nueve
Nueve monedas parecen idénticas, pero una pesa menos. Con una balanza de dos platillos y solo dos pesadas, ¿cómo la encuentras?
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Pesa tres contra tres. Si equilibran, la falsa está entre las tres no pesadas; si no, está en el grupo más ligero. Entre las tres candidatas pesa una contra otra: si equilibran, es la tercera; si no, la más ligera.
Dos guardianes
Una de dos puertas es segura. Un guardián siempre dice la verdad y el otro siempre miente; no sabes cuál es cuál. Puedes formular una sola pregunta a uno. ¿Cuál?
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Pregunta: «¿Qué puerta me indicaría el otro guardián como segura?». Ambos señalan la puerta incorrecta; elige la otra.
Dos cuerdas
Cada una de dos cuerdas tarda exactamente 60 minutos en consumirse, aunque arde de forma irregular. ¿Cómo mides 45 minutos?
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Enciende a la vez la primera cuerda por ambos extremos y la segunda por uno. La primera termina a los 30 minutos. Enciende entonces el otro extremo de la segunda: lo que queda, que tardaría 30 minutos más desde un solo lado, se consume en 15. Total: 45 minutos.
Los 100 prisioneros y las cajas
Hay cien prisioneros y cien cajas numerados. Cada caja guarda al azar uno de los números de prisionero. Cada persona puede abrir como máximo 50; todos ganan solo si cada uno halla su número. Pueden acordar una estrategia antes, no comunicarse durante y las cajas se cierran tras cada turno. ¿Qué estrategia maximiza sus opciones?
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El prisionero k abre la caja k, luego la caja indicada por el número hallado y así sigue un ciclo de la permutación. Todos aciertan exactamente si ningún ciclo supera 50 elementos. Para una permutación uniforme, la probabilidad es 1 − Σ desde j=51 hasta 100 de 1/j ≈ 31,18 %, muy superior a elecciones independientes al azar.
El puente nocturno
Cuatro personas cruzan un puente con una sola linterna. Pasan como máximo dos a la vez, a la velocidad de la más lenta. Tardan respectivamente 1, 2, 7 y 10 minutos. ¿Cuál es el mínimo?
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17 minutos. Cruzan 1 y 2 (2); vuelve 1 (1); cruzan 7 y 10 (10); vuelve 2 (2); cruzan 1 y 2 (2). Total: 2+1+10+2+2=17. Hacer cruzar por separado a las dos personas lentas cuesta más.
El vino envenenado
Una de 1000 botellas está envenenada. Dispones de 10 animales de prueba; el veneno actúa en 24 horas y solo se permite una ronda. ¿Cómo identificas la botella?
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Numera las botellas de 0 a 999 y escribe cada número con 10 bits, ya que 2¹⁰=1024. El animal i toma una muestra de cada botella cuyo bit i vale 1. Tras 24 horas, los animales afectados codifican el número binario de la botella, suponiendo que una muestra mezclada conserva dosis eficaz.
Tres lógicos en un café
Un camarero pregunta por orden a tres lógicos A, B y C: «¿Queréis café los tres?». Cada uno conoce su propio deseo, escucha las respuestas anteriores y dice la verdad. A contesta «No lo sé»; B contesta «No lo sé»; C dice «Sí». ¿Qué quiere cada uno?
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Los tres quieren café. Si A no quisiera, ya sabría que la respuesta colectiva es no; su duda muestra que quiere. Lo mismo ocurre con B. C conoce su deseo y deduce de las respuestas previas que A y B también quieren; por eso responde sí.
Suma y producto
Dos enteros cumplen 1 < x < y y x+y < 100. Sergio conoce la suma y Paolo el producto. Paolo: «No sé los números». Sergio: «Lo sabía». Paolo: «Ahora sí sé». Sergio: «Ahora yo también». ¿Cuáles son?
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4 y 13; suma 17 y producto 52. La primera frase descarta productos con una sola factorización válida. Sergio sabía que cualquier pareja con su suma dejaría a Paolo sin respuesta. Con esa información, Paolo conserva una sola factorización; la última frase de Sergio selecciona la suma 17. Es el problema clásico de Freudenthal; la eliminación completa examina todas las parejas con x+y<100.
Uno es suma de los otros dos
A, B y C ven dos enteros positivos en las frentes de los demás; uno de los tres números es la suma de los otros dos. A ve B=2 y C=3. Por orden, A, B y C dicen «No lo sé». Luego A dice «Ahora sí sé». ¿Cuál es el número de A?
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5. A considera al principio 1 o 5. Si A=1, C ve 1 y 2 y puede tener 1 o 3. Pero si C=1, B ve dos unos y sabría inmediatamente que B=2. Como B sigue dudando, C deduciría C=3. Sin embargo C dice que no sabe: se excluye A=1. Por tanto A=5.
La isla de los ojos azules
En una isla cada habitante ve los ojos ajenos, no los propios. Quien deduce que los suyos son azules abandona la isla esa noche. Nadie habla del tema. Una visita anuncia públicamente: «Al menos una persona tiene ojos azules». Todos conocen las reglas y observan las salidas nocturnas. Si hay exactamente 100 personas de ojos azules, ¿qué sucede?
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Las 100 salen la noche número 100. Con una sola persona de ojos azules, el anuncio le revela su color y sale la primera noche. Con dos, cada una espera que la otra salga la primera noche si ella no es azul; al no salir nadie, ambas deducen su color y salen la segunda. Por inducción, n personas salen la noche n. El anuncio crea conocimiento común.
Sombreros en fila
Cien prisioneros en fila llevan sombreros rojos o azules. Cada uno solo ve los de delante. Empezando por el último, cada cual debe decir en voz alta un color; escuchan las respuestas previas y pueden acordar una estrategia. ¿Cuántos se pueden salvar con seguridad?
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99. El último comunica la paridad de sombreros rojos delante, por ejemplo «rojo» para par y «azul» para impar; puede equivocarse sobre el suyo. El siguiente compara esa paridad con los sombreros visibles y deduce su color. Cada persona posterior actualiza la paridad con los colores ya pronunciados.
La bombilla de los prisioneros
Cien prisioneros aislados entran repetidamente, de uno en uno, en una habitación cuya bombilla está inicialmente apagada. La elección diaria es aleatoria. Pueden acordar un plan antes, pero luego no comunicarse. ¿Cómo puede alguien afirmar con certeza que todos han entrado?
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Eligen un contador. Cada uno de los otros 99 enciende la bombilla una sola vez en su vida, únicamente si la encuentra apagada. Cuando el contador la ve encendida, la apaga y suma uno mentalmente. Al contar 99 sabe que todos los demás han entrado; él también. No existe un plazo fijo, pero con visitas aleatorias repetidas el éxito ocurre con probabilidad uno.
Cinco piratas
Cinco piratas A, B, C, D, E reparten 100 monedas. A propone; la propuesta pasa con al menos la mitad de los votos presentes. Si no, A muere y propone B, y así sucesivamente. Cada pirata prioriza sobrevivir, luego más oro y, en caso de empate, eliminar a otro. ¿Qué propone A?
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A=98, B=0, C=1, D=0, E=1. Razona hacia atrás: E solo se queda 100; con D y E basta el voto de D, que se queda 100. Con C,D,E prospera C=99,D=0,E=1. Con B,C,D,E prospera B=99,C=0,D=1,E=0. A compra entonces los votos más baratos, los de C y E, con una moneda cada uno; sumado al suyo son tres de cinco.
Los 100 casilleros
Cien casilleros empiezan cerrados. El estudiante 1 abre todos; el 2 cambia cada segundo, el 3 cada tercero, hasta el 100. ¿Cuáles quedan abiertos?
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Los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. El casillero n cambia una vez por cada divisor de n. Los divisores se emparejan salvo la raíz de un cuadrado perfecto; solo esos cambian un número impar de veces.
Doce monedas en tres pesadas
Doce monedas parecen idénticas; una es falsa y puede pesar más o menos. ¿Puedes identificarla y determinar la dirección de la diferencia con tres pesadas en balanza de platillos?
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Sí. Numéralas 1–12. Primero pesa 1,2,3,4 contra 5,6,7,8. Si equilibran: pesa 9,10,11 contra las genuinas 1,2,3; si equilibran, compara 12 con 1; si no, compara 9 con 10 para hallar la más pesada o ligera entre 9–11. Si en la primera pesa más la izquierda: pesa 1,2,5 contra 3,6,9 (9 es genuina). Si en la segunda pesa más la izquierda, los casos son 1 pesada, 2 pesada o 6 ligera: compara 1 y 2. Si pesa más la derecha, 3 pesada o 5 ligera: compara 3 con 9. Si equilibran, 4 pesada, 7 ligera u 8 ligera: compara 7 y 8. Si en la primera pesa más la derecha, invierte «pesada» y «ligera»: segunda izquierda pesada → 3 ligera o 5 pesada (compara 3 con 9); segunda derecha pesada → 1 ligera, 2 ligera o 6 pesada (compara 1 y 2); equilibrio → 4 ligera, 7 pesada u 8 pesada (compara 7 y 8). Cada rama acaba en la tercera pesada.
El número misterioso
Un profesor elige un entero entre 1 y 100. Anna recibe en privado su resto módulo 3, Bruno el resto módulo 5 y Carlo el resto módulo 7. Cada uno dice «No lo sé». El profesor añade que el número supera 50. Si comparten sus restos, ¿siempre pueden hallarlo? ¿Puede darse un valor numérico sin conocer los restos?
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Al compartir los tres restos siempre lo hallan, pero el enunciado no permite dar un número concreto. El teorema chino del resto determina una única clase módulo 3·5·7=105. En el intervalo 1–100 hay como máximo un representante de esa clase. Saber solo n>50 no lo identifica: se necesitan los tres restos. Las declaraciones iniciales no aportan nada, pues cada resto individual corresponde a varios números entre 1 y 100.
Cuatro recorridos de lectura
- Conocimiento y declaraciones: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 16, 17, 18, 19, 25.
- Estrategia e información: 13, 15, 20, 21, 22, 24.
- Deducción práctica: 6, 7, 10, 11, 12.
- Combinatoria y optimización: 14, 23.