Che cosa posso sapere da ciò che vedo? E che cosa imparo quando un altro dice «non lo so»? Prova ogni problema prima di aprire la soluzione. Alcuni quesiti chiedono una risposta unica; altri insegnano a riconoscere quando i dati non bastano. Le soluzioni chiuse permettono di ragionare senza anticipazioni.
I tre cappelli
A, B e C vedono i cappelli rosso o blu degli altri due, ma non il proprio. Si sa che almeno uno è rosso. A dice «Non so il mio colore»; B, dopo averlo ascoltato, dice lo stesso; C allora dice «Io lo so». Di che colore è il cappello di C?
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Rosso. Se A vedesse due blu, saprebbe di avere il rosso: dunque B o C è rosso. Se B vedesse C blu, da questa informazione saprebbe che il rosso è il proprio. Poiché B non sa, C deve essere rosso.
I numeri consecutivi
Anna e Bruno portano sulla fronte due numeri consecutivi tra 1 e 10. Ognuno vede solo quello dell’altro. Anna vede 9 e dice «Non so il mio». Bruno dice «Nemmeno io». Anna ora lo sa. Qual è?
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8. Anna può avere 8 o 10. Se avesse 10, Bruno vedrebbe 10 e saprebbe di avere 9, l’unico consecutivo ammesso. La sua incertezza esclude 10.
Uno è il doppio
Anna e Bruno portano numeri interi tra 1 e 20; uno è il doppio dell’altro. Anna vede 8 e non sa il proprio. Bruno non lo sa neppure lui. Anna allora lo deduce. Qual è il numero di Anna?
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4. Per Anna le possibilità iniziali sono 4 e 16. Se lei avesse 16, Bruno vedrebbe 16 e saprebbe di avere 8, perché 32 è escluso. Dunque Anna ha 4.
Le tre figlie
Le età intere positive di tre figlie hanno prodotto 36. Un amico vede il numero civico della casa, uguale alla somma delle età, ma non riesce ancora a determinarle. Il padre aggiunge: «La figlia maggiore suona il pianoforte». Quali sono le età?
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2, 2 e 9. Le possibili terne ordinate hanno somme 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11 e 10. Solo la somma 13 lascia due possibilità: (1,6,6) e (2,2,9). Una figlia maggiore unica esclude (1,6,6).
Il compleanno di Cheryl
Cheryl sceglie una data tra 15, 16 e 19 maggio; 17 e 18 giugno; 14 e 16 luglio; 14, 15 e 17 agosto. Dice il mese ad Alberto e il giorno a Bernardo. Alberto: «Non so la data, ma so che Bernardo non la sa». Bernardo: «Prima non la sapevo, ora sì». Alberto: «Ora la so anch’io». Qual è?
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16 luglio. L’affermazione iniziale elimina maggio e giugno: 19 e 18 sarebbero giorni unici. Restano luglio e agosto; l’affermazione di Bernardo elimina il 14, presente in entrambi. In agosto resterebbero 15 e 17; Alberto può sapere soltanto se il mese è luglio.
Le scatole tutte sbagliate
Tre scatole contengono rispettivamente solo mele, solo pere, oppure entrambe. Le etichette MELE, PERE e MELE E PERE sono tutte sbagliate. Puoi estrarre un solo frutto da una sola scatola. Come ricostruisci le etichette?
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Estrai dalla scatola etichettata MELE E PERE: non può essere mista. Se estrai una mela, è la scatola delle sole mele; quella etichettata PERE non può essere pere e quindi è la mista; quella etichettata MELE è delle sole pere. Se estrai una pera, scambia mele e pere nel ragionamento.
Tre interruttori
Tre interruttori fuori da una stanza comandano una sola lampadina a incandescenza dentro. Puoi entrare una volta sola. Come trovi l’interruttore giusto?
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Accendi il primo per qualche minuto, poi spegnilo; accendi il secondo ed entra. Lampadina accesa: secondo. Spenta ma ancora calda: primo. Spenta e fredda: terzo. La prova del calore richiede una lampadina che si scaldi, non una LED fredda.
Cavalieri e furfanti
A e B sono cavalieri, che dicono sempre il vero, oppure furfanti, che mentono sempre. A dice «B è un furfante». B dice «Siamo dello stesso tipo». Di che tipo sono?
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A è cavaliere, B è furfante. Se A dice il vero, B mente affermando che sono uguali: è coerente. Se A mente, B sarebbe cavaliere ma la sua frase sarebbe falsa: impossibile.
Il colpevole: è determinato?
Uno solo fra A, B e C è colpevole. A dichiara «È stato B»; B dichiara «È stato C»; C dichiara «B sta mentendo». Una sola dichiarazione è vera. Puoi individuare un colpevole unico?
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No: A e C sono entrambi possibili. Se è A, solo C dice il vero. Se è B, A e C dicono il vero, quindi è escluso. Se è C, solo B dice il vero. Aggiungere che il colpevole ha mentito non basta: A e C mentono entrambi nei rispettivi scenari.
La moneta falsa fra nove
Nove monete sembrano identiche, ma una è più leggera. Hai una bilancia a due piatti e solo due pesate. Come la trovi?
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Pesa tre monete contro tre. Se sono uguali, la falsa è tra le tre non pesate; altrimenti è nel gruppo più leggero. Fra le tre candidate pesa una contro una: se si equilibrano è la terza, altrimenti quella più leggera.
I due guardiani
Una delle due porte è sicura. Un guardiano dice sempre il vero, l’altro mente sempre; non sai chi sia chi. Puoi fare una sola domanda a uno solo. Quale domanda scegli?
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Chiedi: «Quale porta mi indicherebbe l’altro come sicura?». Sia il sincero sia il bugiardo indicano la porta sbagliata. Scegli l’altra.
Le due corde
Due corde bruciano ciascuna in 60 minuti, ma a velocità non uniforme. Come misuri 45 minuti?
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Accendi contemporaneamente la prima corda alle due estremità e la seconda a una estremità. La prima finisce dopo 30 minuti. Accendi allora l’altra estremità della seconda: il combustibile rimasto, che avrebbe impiegato altri 30 minuti da un solo lato, finisce in 15. Totale 45.
I 100 prigionieri e le scatole
Cento prigionieri e cento scatole numerate. Ogni scatola contiene casualmente uno dei numeri da 1 a 100. Ciascuno può aprirne al massimo 50; vincono solo se tutti trovano il proprio numero. Possono accordarsi prima, non comunicare durante e le scatole si richiudono dopo ciascuno. Quale strategia massimizza la probabilità?
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Il prigioniero k apre la scatola k, poi quella indicata dal numero trovato, seguendo il ciclo della permutazione. Tutti riescono se nessun ciclo supera 50 elementi. Con disposizione uniforme la probabilità è 1 − Σ da j=51 a 100 di 1/j ≈ 31,18%, molto più alta della scelta casuale indipendente.
Il ponte di notte
Quattro persone attraversano un ponte con una torcia. Passano al massimo in due, alla velocità del più lento. I tempi sono 1, 2, 7 e 10 minuti. Qual è il minimo?
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17 minuti. Attraversano 1 e 2 (2); torna 1 (1); attraversano 7 e 10 (10); torna 2 (2); attraversano 1 e 2 (2). Totale 2+1+10+2+2=17. Mandare separatamente i due lenti costerebbe di più.
Il vino avvelenato
Una delle 1000 bottiglie è avvelenata. Hai 10 cavie, il veleno si manifesta entro 24 ore e puoi fare un solo ciclo di test. Come trovi la bottiglia?
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Numera le bottiglie da 0 a 999. Scrivi ogni numero con 10 bit, perché 2¹⁰=1024. La cavia i beve un campione di tutte le bottiglie con il bit i uguale a 1. Il gruppo delle cavie colpite codifica esattamente il numero binario della bottiglia, assumendo dose efficace anche nei campioni miscelati.
Tre logici al bar
Un cameriere chiede a tre logici, nell’ordine A, B, C: «Volete tutti un caffè?». Ognuno conosce il proprio desiderio, ascolta le risposte precedenti e risponde con sincerità. A dice «Non lo so», B dice «Non lo so», C dice «Sì». Che cosa vuole ciascuno?
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Tutti e tre vogliono un caffè. Se A non lo volesse, saprebbe già che la risposta collettiva è no; la sua incertezza dice che lo vuole. B ragiona nello stesso modo e deve volerlo. C conosce il proprio desiderio e, dalle risposte precedenti, sa che anche A e B lo vogliono: perciò dice sì.
Somma e prodotto
Due interi soddisfano 1 < x < y e x+y < 100. Sergio conosce la somma, Paolo il prodotto. Paolo: «Non so i numeri». Sergio: «Lo sapevo». Paolo: «Ora li so». Sergio: «Ora li so anch’io». Quali sono?
Apri soluzione e spiegazione
4 e 13; somma 17, prodotto 52. La prima frase elimina i prodotti con un’unica fattorizzazione ammessa. Sergio sapeva che qualunque coppia della sua somma avrebbe lasciato Paolo incerto. Dopo questa informazione Paolo ha un’unica coppia ammissibile; l’ultima frase di Sergio seleziona la somma 17. È il problema classico di Freudenthal; la deduzione completa richiede filtrare sistematicamente le coppie con x+y<100.
Uno è la somma degli altri due
A, B e C vedono sulla fronte degli altri due interi positivi; sanno che uno dei tre è la somma degli altri due. A vede B=2 e C=3. Nell’ordine A, B, C dicono «Non so». A poi dice «Ora so». Qual è il numero di A?
Apri soluzione e spiegazione
5. A inizialmente considera 1 o 5. Se A=1, C vede 1 e 2 e considera per sé 1 o 3. Ma se C=1, B vedrebbe due 1 e saprebbe subito di avere 2; poiché B ha detto di non sapere, C dedurrebbe di avere 3. C invece resta incerto: A=1 è escluso. Per A resta 5.
Gli occhi azzurri
Su un’isola tutti vedono gli occhi altrui, non i propri; chi deduce di averli azzurri parte quella notte. Nessuno ne parla. Uno straniero annuncia pubblicamente «Almeno uno ha gli occhi azzurri». Tutti conoscono le regole e vedono che nessuno parte prima del momento previsto. Se gli occhi azzurri sono esattamente 100, che cosa accade?
Apri soluzione e spiegazione
Tutte le 100 persone partono la centesima notte. Con una sola persona, l’annuncio le basta e parte la prima notte. Con due, ciascuna attende la prima notte: il mancato esodo dell’altra dimostra che anche lei è azzurra, e partono la seconda. Lo stesso ragionamento per induzione vale per n persone. L’annuncio crea conoscenza comune.
Cappelli in fila
Cento prigionieri in fila portano cappelli rossi o blu. Ognuno vede solo quelli davanti. Partendo dall’ultimo, ciascuno deve dire a voce alta un colore; tutti ascoltano le risposte precedenti e possono accordarsi prima. Quanti possono salvarsi con certezza?
Apri soluzione e spiegazione
99. L’ultimo comunica la parità dei cappelli rossi che vede, usando per esempio «rosso» per pari e «blu» per dispari: la sua risposta può essere errata. Il successivo confronta quella parità con i cappelli che vede e ricava il proprio colore; ciascuno dopo aggiorna la parità usando i colori già pronunciati.
La lampadina dei prigionieri
Cento prigionieri isolati vengono portati, uno per volta e ripetutamente, in una stanza con una lampadina inizialmente spenta. Ogni giorno la scelta è casuale; possono accordarsi prima, ma non comunicare dopo. Come può uno dichiarare con certezza che tutti sono entrati almeno una volta?
Apri soluzione e spiegazione
Scelgono un contatore. Ogni altro prigioniero accende la luce una sola volta nella vita, e soltanto quando la trova spenta. Il contatore, quando la trova accesa, la spegne e incrementa il conteggio. A 99 accensioni osservate sa che ciascuno degli altri 99 è entrato; egli stesso è entrato. Il tempo necessario non è limitato, ma con visite casuali ripetute il successo avviene quasi certamente.
I cinque pirati
Cinque pirati A, B, C, D, E devono dividere 100 monete. Propone A; passa se almeno metà dei presenti vota sì, altrimenti A muore e propone B, e così via. Ognuno preferisce nell’ordine sopravvivere, avere più oro e, a parità, eliminare un pirata. Qual è l’offerta di A?
Apri soluzione e spiegazione
A=98, B=0, C=1, D=0, E=1. Si procede a ritroso: con E solo, E prende 100; con D ed E basta il voto di D, quindi D prende 100. Con C, D, E passa C=99, D=0, E=1. Con B, C, D, E passa B=99, C=0, D=1, E=0. A compra allora i due voti che costano meno, C ed E, con una moneta ciascuno; con il suo sono tre voti su cinque.
I 100 armadietti
Cento armadietti sono chiusi. Lo studente 1 li apre tutti; lo studente 2 cambia ogni secondo, il 3 ogni terzo, fino al 100. Quali restano aperti?
Apri soluzione e spiegazione
I quadrati perfetti: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. L’armadietto n cambia stato una volta per divisore di n. I divisori si accoppiano, salvo la radice quadrata nei quadrati perfetti: solo questi ricevono un numero dispari di cambi.
Le 12 monete in tre pesate
Dodici monete sembrano identiche; una è falsa, più pesante oppure più leggera. Con tre pesate su bilancia a due piatti puoi identificarla e stabilire il verso della differenza?
Apri soluzione e spiegazione
Sì. Numera 1–12. Prima pesa 1,2,3,4 contro 5,6,7,8. Se pari: pesa 9,10,11 contro 1,2,3, che sono genuine; se pari, confronta 12 con 1; altrimenti confronta 9 con 10 per trovare quella più pesante o più leggera fra 9–11. Se la prima sinistra è pesante: seconda pesa 1,2,5 contro 3,6,9 (9 genuina). Se la seconda sinistra è pesante, i casi sono 1 pesante, 2 pesante, 6 leggera: confronta 1 e 2. Se la seconda destra è pesante, i casi sono 3 pesante o 5 leggera: confronta 3 e 9. Se pari, sono 4 pesante, 7 leggera, 8 leggera: confronta 7 e 8. Se la prima destra è pesante, scambia «pesante» e «leggera» nei casi: seconda sinistra pesante → 3 leggera o 5 pesante (confronta 3 e 9); seconda destra pesante → 1 leggera, 2 leggera o 6 pesante (confronta 1 e 2); seconda pari → 4 leggera, 7 pesante o 8 pesante (confronta 7 e 8). Ogni ramo termina entro la terza pesata.
Il numero misterioso
Il professore sceglie un intero da 1 a 100. Comunica privatamente ad Anna il resto modulo 3, a Bruno quello modulo 5 e a Carlo quello modulo 7. I tre dicono ciascuno «Non so». Poi il professore aggiunge che il numero è maggiore di 50. Se i tre condividono i loro resti, possono sempre trovarlo? Puoi dare un valore numerico senza conoscere quei resti?
Apri soluzione e spiegazione
Condividendo i tre resti lo trovano sempre, ma l’enunciato non fornisce un numero specifico. Il teorema cinese del resto determina una classe unica modulo 3·5·7=105. Nell’intervallo 1–100 quella classe contiene al massimo un numero. La sola informazione n>50 non rivela quale: occorre conoscere i tre resti. Le tre dichiarazioni iniziali non aggiungono nulla, perché ogni singolo resto è condiviso da più numeri tra 1 e 100.
Quattro percorsi di lettura
- Conoscenza e dichiarazioni: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 16, 17, 18, 19, 25.
- Strategia e informazione: 13, 15, 20, 21, 22, 24.
- Deduzione pratica: 6, 7, 10, 11, 12.
- Combinatoria e ottimizzazione: 14, 23.