Que puis-je savoir à partir de ce que je vois ? Que m’apprend la phrase « Je ne sais pas » prononcée par un autre ? Cherchez avant de dévoiler chaque solution. Certains problèmes ont une réponse unique ; d’autres montrent que les données ne suffisent pas. Les solutions restent fermées tant que vous ne les ouvrez pas.
Les trois chapeaux
A, B et C voient les chapeaux rouges ou bleus des deux autres, mais pas le leur. Au moins un chapeau est rouge. A dit : « Je ne connais pas ma couleur. » B, après l’avoir entendu, dit la même chose. C dit alors : « Je connais la mienne. » Quelle est la couleur de C ?
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Rouge. Si A voyait deux chapeaux bleus, il saurait que le sien est rouge : B ou C est donc rouge. Si B voyait C en bleu, il déduirait que son propre chapeau est rouge. Son incertitude montre que C est rouge.
Deux nombres consécutifs
Anna et Bruno portent sur le front deux entiers consécutifs de 1 à 10. Chacun ne voit que le nombre de l’autre. Anna voit 9 et dit : « Je ne connais pas le mien. » Bruno répond : « Moi non plus. » Anna sait alors. Quel est son nombre ?
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8. Anna hésite entre 8 et 10. Si elle avait 10, Bruno verrait 10 et saurait que 9 est le seul entier consécutif autorisé. Son ignorance élimine 10.
L’un vaut le double de l’autre
Anna et Bruno portent des entiers de 1 à 20 ; l’un vaut le double de l’autre. Anna voit 8 et ignore son nombre. Bruno l’ignore aussi. Anna le déduit alors. Quel est-il ?
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4. Anna envisage d’abord 4 ou 16. Avec 16, Bruno verrait 16 et saurait qu’il a 8, car 32 dépasse la limite. Son incertitude exclut 16.
Les trois filles
Les âges entiers positifs de trois filles ont pour produit 36. Un ami voit le numéro de la maison, égal à la somme des âges, mais ne peut toujours pas les déterminer. Le père ajoute : « L’aînée joue du piano. » Quels sont leurs âges ?
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2, 2 et 9. Les triplets non ordonnés possibles ont pour sommes 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11 et 10. Seule la somme 13 laisse (1,6,6) et (2,2,9). L’existence d’une aînée unique élimine (1,6,6).
L’anniversaire de Cheryl
La date de Cheryl est parmi les 15, 16 et 19 mai ; 17 et 18 juin ; 14 et 16 juillet ; 14, 15 et 17 août. Elle dit le mois à Albert et le jour à Bernard. Albert : « Je ne sais pas, mais je sais que Bernard ne sait pas. » Bernard : « Je ne savais pas, maintenant je sais. » Albert : « Maintenant, moi aussi. » Quelle date ?
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Le 16 juillet. La première phrase élimine mai et juin : les jours 19 et 18 sont uniques. Parmi juillet et août, Bernard élimine le 14, présent deux fois. En août il resterait le 15 et le 17, donc Albert ne pourrait pas savoir. Son mois est juillet.
Toutes les étiquettes sont fausses
Trois boîtes contiennent seulement des pommes, seulement des poires ou les deux. Leurs étiquettes POMMES, POIRES et POMMES ET POIRES sont toutes fausses. Vous pouvez tirer un fruit d’une seule boîte. Comment les étiqueter ?
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Tirez un fruit de la boîte étiquetée POMMES ET POIRES : elle n’est pas mixte. Si c’est une pomme, elle ne contient que des pommes ; la boîte POIRES ne peut contenir ni des poires ni les pommes déjà attribuées, donc elle est mixte ; la dernière contient les poires. Si vous tirez une poire, échangez pommes et poires.
Trois interrupteurs
Trois interrupteurs hors d’une pièce commandent une seule ampoule à incandescence à l’intérieur. Vous ne pouvez entrer qu’une fois. Comment reconnaître le bon interrupteur ?
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Allumez le premier pendant quelques minutes puis éteignez-le ; allumez le deuxième et entrez. Ampoule allumée : deuxième. Éteinte mais chaude : premier. Éteinte et froide : troisième. Le test de chaleur exige une ampoule qui chauffe, pas une LED froide.
Chevaliers et menteurs
A et B sont soit des chevaliers, toujours sincères, soit des menteurs, toujours faux. A dit : « B est un menteur. » B dit : « Nous sommes du même type. » Qui est qui ?
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A est chevalier et B menteur. Si A dit vrai, B ment en affirmant qu’ils sont semblables : c’est cohérent. Si A ment, B est chevalier, mais sa phrase serait fausse : impossible.
Le coupable est-il déterminé ?
Un seul parmi A, B et C est coupable. A dit : « C’est B. » B dit : « C’est C. » C dit : « B ment. » Une seule déclaration est vraie. Peut-on désigner un coupable unique ?
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Non : A et C sont tous deux possibles. Si A est coupable, seul C dit vrai. Si B est coupable, A et C disent vrai : cas exclu. Si C est coupable, seul B dit vrai. Ajouter que le coupable a menti ne distingue pas A de C : chacun ment dans son scénario.
La pièce plus légère parmi neuf
Neuf pièces paraissent identiques, mais l’une est plus légère. Avec une balance à deux plateaux et deux pesées seulement, comment la trouver ?
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Pesez trois pièces contre trois. Si les plateaux s’équilibrent, la fausse est parmi les trois non pesées ; sinon elle est dans le groupe léger. Parmi les trois candidates, pesez-en une contre une : à égalité, c’est la troisième ; sinon, la plus légère.
Deux gardiens
Une des deux portes est sûre. Un gardien dit toujours vrai et l’autre ment toujours ; vous ignorez leur identité. Vous pouvez poser une question à un seul. Laquelle ?
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Demandez : « Quelle porte l’autre gardien me désignerait-il comme sûre ? » Les deux indiquent la mauvaise porte. Choisissez l’autre.
Deux cordes
Chacune de deux cordes met exactement 60 minutes à brûler entièrement, sans brûler uniformément. Comment mesurer 45 minutes ?
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Allumez simultanément la première corde aux deux bouts et la seconde à un seul. La première finit après 30 minutes. Allumez alors l’autre bout de la seconde : la partie restante, qui mettrait encore 30 minutes d’un seul côté, finit en 15. Total : 45 minutes.
Les 100 prisonniers et les boîtes
Cent prisonniers et cent boîtes sont numérotés. Chaque boîte contient au hasard un des numéros de prisonnier. Chacun peut en ouvrir au plus 50 ; tous gagnent seulement si chacun trouve son numéro. Ils peuvent convenir d’une stratégie avant, ne communiquent pas pendant et les boîtes sont refermées après chaque passage. Quelle stratégie maximise leurs chances ?
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Le prisonnier k ouvre la boîte k, puis celle dont le numéro apparaît dans la première, et suit ainsi un cycle de la permutation. Tous réussissent exactement si aucun cycle ne dépasse 50 éléments. Pour une permutation uniforme, la probabilité vaut 1 − Σ de j=51 à 100 de 1/j ≈ 31,18 %, bien davantage qu’avec des choix indépendants au hasard.
Le pont de nuit
Quatre personnes traversent un pont avec une seule lampe. Deux au plus passent ensemble, à la vitesse de la plus lente. Leurs temps sont 1, 2, 7 et 10 minutes. Quel est le minimum ?
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17 minutes. Les personnes de 1 et 2 passent (2) ; 1 revient (1) ; 7 et 10 passent (10) ; 2 revient (2) ; 1 et 2 passent (2). Total : 2+1+10+2+2=17. Faire traverser séparément les deux plus lentes coûte davantage.
Le vin empoisonné
Une des 1 000 bouteilles est empoisonnée. Vous disposez de 10 animaux de test ; le poison agit en 24 heures et une seule série de tests est possible. Comment trouver la bouteille ?
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Numérotez les bouteilles de 0 à 999 en binaire sur 10 bits, puisque 2¹⁰=1024. L’animal i reçoit un échantillon de chaque bouteille dont le bit i vaut 1. Après 24 heures, les animaux atteints indiquent le numéro binaire de la bouteille, en supposant qu’un échantillon mélangé conserve une dose efficace.
Trois logiciens au café
Un serveur demande successivement à trois logiciens A, B et C : « Voulez-vous tous trois un café ? » Chacun connaît son propre désir, entend les réponses antérieures et répond sincèrement. A dit « Je ne sais pas » ; B dit « Je ne sais pas » ; C dit « Oui ». Que veut chacun ?
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Tous les trois veulent un café. Si A n’en voulait pas, il saurait déjà que la réponse collective est non ; son doute prouve qu’il en veut. Même raisonnement pour B. C connaît son désir et déduit des réponses précédentes que A et B en veulent aussi : il répond donc oui.
Somme et produit
Deux entiers satisfont 1 < x < y et x+y < 100. Sergio connaît leur somme et Paolo leur produit. Paolo : « Je ne connais pas les nombres. » Sergio : « Je le savais. » Paolo : « Maintenant je sais. » Sergio : « Moi aussi. » Quels sont-ils ?
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4 et 13 ; somme 17 et produit 52. La première phrase élimine les produits à factorisation admissible unique. Sergio savait que toute paire ayant sa somme laisserait Paolo incertain. Avec cette information, Paolo ne garde qu’une factorisation ; la dernière phrase de Sergio sélectionne la somme 17. C’est le problème classique de Freudenthal ; la vérification complète filtre toutes les paires avec x+y<100.
Un nombre est la somme des deux autres
A, B et C voient les deux entiers positifs inscrits sur les autres fronts ; l’un des trois nombres est la somme des deux autres. A voit B=2 et C=3. Dans l’ordre, A, B, C disent « Je ne sais pas ». A dit ensuite « Maintenant je sais ». Quel est le nombre de A ?
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5. A envisage d’abord 1 ou 5. Si A=1, C voit 1 et 2 et peut avoir 1 ou 3. Mais si C=1, B voit deux 1 et sait immédiatement qu’il a 2. Puisque B est resté incertain, C déduirait C=3. C reste pourtant incertain : A=1 est impossible. Donc A=5.
L’île aux yeux bleus
Sur une île, chacun voit les yeux des autres, pas les siens. Qui déduit que ses propres yeux sont bleus part cette nuit-là. Personne ne parle de couleur des yeux. Un visiteur annonce publiquement : « Au moins une personne a les yeux bleus. » Tous connaissent les règles et observent les départs. Si exactement 100 habitants ont les yeux bleus, que se passe-t-il ?
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Les 100 partent la centième nuit. Avec une seule personne aux yeux bleus, l’annonce lui révèle sa couleur et elle part la première nuit. Avec deux, chacune attend le départ de l’autre la première nuit ; comme personne ne part, les deux comprennent et partent la deuxième nuit. Par récurrence, n personnes partent la nuit n. L’annonce crée un savoir commun.
Des chapeaux en file
Cent prisonniers en file portent des chapeaux rouges ou bleus. Chacun voit seulement ceux de devant. En commençant par le dernier, chacun doit dire une couleur à voix haute ; tous entendent les réponses précédentes et peuvent préparer une stratégie. Combien peuvent être sauvés à coup sûr ?
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99. Le dernier communique la parité des chapeaux rouges devant lui, par exemple « rouge » pour pair et « bleu » pour impair ; il peut se tromper pour son propre chapeau. Le suivant compare cette parité aux chapeaux visibles et déduit sa couleur. Chaque personne suivante met à jour la parité grâce aux couleurs déjà annoncées.
L’ampoule des prisonniers
Cent prisonniers isolés entrent tour à tour, et à plusieurs reprises, dans une pièce dont l’ampoule est initialement éteinte. Le choix quotidien est aléatoire. Ils peuvent convenir d’un plan avant, mais plus communiquer. Comment quelqu’un peut-il affirmer avec certitude que tous sont entrés ?
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Ils désignent un compteur. Chacun des 99 autres allume l’ampoule exactement une fois dans sa vie, uniquement s’il la trouve éteinte. Quand le compteur la voit allumée, il l’éteint et augmente son compte mental. À 99, tous les autres sont nécessairement entrés ; lui aussi. Aucun délai fixe n’est garanti, mais des visites aléatoires répétées aboutissent avec probabilité un.
Cinq pirates
Cinq pirates A, B, C, D, E partagent 100 pièces. A propose ; sa proposition passe avec au moins la moitié des voix présentes. Sinon A meurt et B propose, et ainsi de suite. Chacun préfère d’abord survivre, puis recevoir davantage d’or, puis, à égalité, éliminer un pirate. Que propose A ?
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A=98, B=0, C=1, D=0, E=1. Raisonnons à rebours : E seul prend 100 ; avec D et E, le vote de D suffit et D prend 100. Avec C,D,E, C=99,D=0,E=1 passe. Avec B,C,D,E, B=99,C=0,D=1,E=0 passe. A achète alors les deux voix les moins chères, celles de C et E, pour une pièce chacune ; avec sa voix, il obtient trois voix sur cinq.
Les 100 casiers
Cent casiers sont fermés. L’élève 1 les ouvre tous ; l’élève 2 inverse l’état de chaque deuxième casier, l’élève 3 de chaque troisième, jusqu’à l’élève 100. Quels casiers restent ouverts ?
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Les carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Le casier n change d’état une fois par diviseur de n. Les diviseurs vont par paires, sauf la racine d’un carré parfait : seuls ces casiers changent un nombre impair de fois.
Douze pièces en trois pesées
Douze pièces semblent identiques ; une est fausse, plus lourde ou plus légère. Trois pesées sur une balance à deux plateaux suffisent-elles à la trouver et à connaître le sens de l’écart ?
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Oui. Numérotez 1–12. Pesez d’abord 1,2,3,4 contre 5,6,7,8. Si égalité : pesez 9,10,11 contre les vraies 1,2,3 ; si égalité, comparez 12 à 1 ; sinon, comparez 9 et 10 pour trouver la plus lourde ou la plus légère parmi 9–11. Si le premier plateau gauche est plus lourd : pesez 1,2,5 contre 3,6,9 (9 est vraie). Si la deuxième gauche est plus lourde, les cas sont 1 lourde, 2 lourde ou 6 légère : comparez 1 et 2. Si la droite est plus lourde, 3 lourde ou 5 légère : comparez 3 et 9. Si égalité, 4 lourde, 7 légère ou 8 légère : comparez 7 et 8. Si la première droite est plus lourde, inversez « lourde » et « légère » : deuxième gauche lourde → 3 légère ou 5 lourde (comparez 3 et 9) ; deuxième droite lourde → 1 légère, 2 légère ou 6 lourde (comparez 1 et 2) ; égalité → 4 légère, 7 lourde ou 8 lourde (comparez 7 et 8). Chaque branche finit à la troisième pesée.
Le nombre mystérieux
Un professeur choisit un entier de 1 à 100. Anna reçoit en privé son reste modulo 3, Bruno son reste modulo 5 et Carlo son reste modulo 7. Chacun dit « Je ne sais pas ». Le professeur ajoute que le nombre dépasse 50. S’ils partagent leurs restes, peuvent-ils toujours le trouver ? Peut-on donner sa valeur sans connaître ces restes ?
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En partageant les trois restes, ils le trouvent toujours, mais aucun nombre précis ne découle du seul énoncé. Le théorème chinois des restes détermine une classe unique modulo 3·5·7=105. L’intervalle 1–100 en contient au plus un représentant. L’information n>50 ne suffit pas : il faut les trois restes. Les déclarations initiales n’ajoutent rien, chaque reste individuel appartenant à plusieurs nombres entre 1 et 100.
Quatre parcours de lecture
- Connaissance et déclarations: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 16, 17, 18, 19, 25.
- Stratégie et information: 13, 15, 20, 21, 22, 24.
- Déduction pratique: 6, 7, 10, 11, 12.
- Combinatoire et optimisation: 14, 23.