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50 problemas difíciles de primer grado con soluciones

Cincuenta problemas contextualizados de dificultad elevada, resolubles mediante ecuaciones de primer grado. Las soluciones están ocultas y a veces incluyen un método sin ecuación.

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75 min

Esta colección presenta cincuenta problemas difíciles de primer grado. Porcentajes, edades, velocidades, mezclas, trabajo, geometría y repartos esconden la misma estructura: una relación lineal con una incógnita.

Cómo usar la colección. Intenta primero construir el modelo por tu cuenta. Después abre la solución del problema para comparar la ecuación, los pasos y la comprobación. Cuando existe un razonamiento aritmético natural, también se ofrece un método sin ecuación.

Estrategia de resolución

Elige la incógnita e indica su unidad y sus restricciones; expresa todas las demás cantidades en función de ella; traduce una sola relación del texto a una ecuación; resuélvela y, por último, comprueba el resultado en el contexto. Un valor numéricamente correcto puede ser inadmisible si hace negativa una cantidad, supera una capacidad o no es entero cuando se cuentan objetos.

Los 50 problemas

  1. El manuscrito en tres días

    Una correctora revisa un manuscrito en tres días. El primer día lee los 3/8 de las páginas. El segundo lee el 40 % de las páginas que quedaban después del primer día, más otras 12 páginas. El tercero termina leyendo las últimas 69 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el manuscrito?

    Mostrar la solución del problema 1

    Incógnita. Sea x el número total de páginas.

    Después del primer día quedan 5x/8 páginas; el 40 % de esa cantidad es (2/5)(5x/8) = x/4. Por tanto, el segundo día lee x/4 + 12 páginas.

    Ecuación. x − 3x/8 − (x/4 + 12) = 69.

    Pasos. 3x/8 − 12 = 69, así que 3x/8 = 81 y x = 216.

    Comprobación. El primer día lee 81 páginas y quedan 135; el segundo lee 40 % de 135 + 12 = 54 + 12 = 66. Quedan 216 − 81 − 66 = 69 páginas, como se pedía.

    Respuesta. 216 páginas

    Solución sin ecuación

    El 40 % de los 5/8 restantes equivale a 1/4 del manuscrito. Sin las 12 páginas adicionales, al tercer día le corresponderían 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8 del total. Al devolver mentalmente esas 12 páginas a las últimas, 69 + 12 = 81 representa los 3/8. Un octavo son 27 páginas, por lo que el manuscrito completo tiene 216.

  2. El depósito después de dos operaciones

    Un depósito tiene una capacidad de 200 litros. De una cantidad inicial desconocida se extrae un quinto del contenido y, justo después, otros 12 litros. A continuación se añaden 30 litros. Al final, el depósito está lleno hasta sus 3/4. ¿Cuántos litros contenía al principio?

    Mostrar la solución del problema 2

    Incógnita. Sea x el número inicial de litros.

    La cantidad total extraída es x/5 + 12; el nivel final es 3/4 · 200 = 150 litros.

    Ecuación. x − (x/5 + 12) + 30 = 150.

    Pasos. 4x/5 + 18 = 150, por lo que 4x/5 = 132 y x = 165.

    Comprobación. Un quinto de 165 es 33; al extraerlo y sacar otros 12 litros quedan 165 − 33 − 12 = 120 litros. Al añadir 30 se llega a 150, que son las tres cuartas partes de 200.

    Respuesta. 165 litros

    Solución sin ecuación

    Al final hay 150 litros; antes de añadir 30 había 120. Si se devuelven mentalmente los 12 litros de la extracción fija, 132 litros representan los 4/5 del contenido inicial. Un quinto equivale entonces a 33 litros y al principio había 165 litros.

  3. Las edades de Luca y su madre

    Hoy la edad de la madre de Luca supera en 4 años el triple de la edad de Luca. Hace ocho años, la madre tenía exactamente cinco veces la edad que Luca tenía entonces. ¿Qué edad tiene cada uno hoy?

    Mostrar la solución del problema 3

    Incógnita. Sea x la edad actual de Luca; la de su madre es 3x + 4.

    Ecuación. Hace ocho años sus edades eran x − 8 y 3x + 4 − 8, de modo que 3x − 4 = 5(x − 8).

    Pasos. 3x − 4 = 5x − 40, por lo que 36 = 2x y x = 18. Su madre tiene 3 · 18 + 4 = 58 años.

    Comprobación. Hace ocho años Luca tenía 10 años y su madre 50; en efecto, 50 = 5 · 10. Hoy, 58 = 3 · 18 + 4.

    Respuesta. Luca tiene 18 años; su madre, 58

  4. Entradas normales y reducidas

    Para un espectáculo se venden 340 entradas. Una entrada normal cuesta 12,50 euros y una reducida, 8 euros. La recaudación total es de 3512 euros. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

    Mostrar la solución del problema 4

    Incógnita. Sea x el número de entradas normales; hay 340 − x entradas reducidas.

    Ecuación. 12,50x + 8(340 − x) = 3512.

    Pasos. 12,50x + 2720 − 8x = 3512, así que 4,50x = 792 y x = 176. Las reducidas son 340 − 176 = 164.

    Comprobación. 176 · 12,50 = 2200 euros y 164 · 8 = 1312 euros; 2200 + 1312 = 3512 euros y 176 + 164 = 340 entradas.

    Respuesta. 176 normales y 164 reducidas

    Solución sin ecuación

    Si las 340 entradas fueran reducidas, la recaudación sería 340 · 8 = 2720 euros, 792 euros menos. Sustituir una reducida por una normal añade 12,50 − 8 = 4,50 euros; hacen falta 792 : 4,50 = 176 sustituciones. Las otras 164 entradas son reducidas.

  5. Una mezcla con la concentración requerida

    ¿Cuántos kilogramos de una disolución salina al 18 % deben mezclarse con 5 kg de una disolución al 42 % para obtener una disolución al 24 %?

    Mostrar la solución del problema 5

    Incógnita. Sea x la cantidad, en kilogramos, de disolución al 18 %.

    Ecuación. La masa de sal antes y después de mezclar es la misma: 0,18x + 0,42 · 5 = 0,24(x + 5).

    Pasos. 0,18x + 2,10 = 0,24x + 1,20, por lo que 0,90 = 0,06x y x = 15.

    Comprobación. La primera disolución contiene 15 · 0,18 = 2,7 kg de sal y la segunda, 2,1 kg. En total son 4,8 kg de sal en 20 kg de mezcla: 4,8/20 = 0,24 = 24 %.

    Respuesta. 15 kg de disolución al 18 %

    Solución sin ecuación

    Con la regla de aligación, el 18 % está 6 puntos por debajo del 24 %, mientras que el 42 % está 18 puntos por encima. Las cantidades deben estar en la proporción inversa 18 : 6 = 3 : 1. Como la parte al 42 % pesa 5 kg, la parte al 18 % debe pesar 3 · 5 = 15 kg.

  6. La media después de una corrección

    Un estudiante tiene ocho notas registradas con una media de 74. Una de ellas, anotada por error como 52, debe sustituirse por la nota correcta. Después de la corrección, el estudiante realiza una novena prueba y obtiene 86; la media de las nueve notas pasa a ser 78. ¿Cuál era la nota correcta?

    Mostrar la solución del problema 6

    Incógnita. Sea x la nota correcta.

    La suma de las ocho notas registradas es 8 · 74 = 592. Se elimina 52, se introduce x y se añade 86.

    Ecuación. 592 − 52 + x + 86 = 9 · 78.

    Pasos. 626 + x = 702, así que x = 76.

    Comprobación. La suma corregida de las ocho primeras notas es 592 − 52 + 76 = 616; con la novena pasa a ser 616 + 86 = 702, y 702/9 = 78.

    Respuesta. 76

    Solución sin ecuación

    Para obtener una media de 78 en nueve pruebas hacen falta 702 puntos. Las siete notas sin cambios aportan 592 − 52 = 540 puntos y la novena prueba añade 86: ya se conocen 626 puntos. La nota que falta es 702 − 626 = 76.

  7. Dos velocidades y una parada

    Un autocar recorre una ruta de 180 km. Viaja a 60 km/h en el primer tramo y a 90 km/h en el resto. Durante el viaje hace una parada de 20 minutos; desde la salida hasta la llegada transcurren en total 2 horas y 50 minutos. ¿Cuánto mide el primer tramo?

    Mostrar la solución del problema 7

    Incógnita. Sea x la distancia, en kilómetros, recorrida a 60 km/h; el segundo tramo mide 180 − x km.

    La parada dura 1/3 de hora y el tiempo total es 17/6 de hora, por lo que el tiempo de conducción es 5/2 horas.

    Ecuación. x/60 + (180 − x)/90 = 5/2.

    Pasos. Al multiplicar por 180: 3x + 2(180 − x) = 450; por tanto, x + 360 = 450 y x = 90.

    Comprobación. Los primeros 90 km requieren 1,5 horas y los otros 90 km, 1 hora. Al añadir la parada de 20 minutos se obtienen 2 horas y 50 minutos.

    Respuesta. 90 km

    Solución sin ecuación

    Si los 180 km se recorrieran a 90 km/h, la conducción duraría 2 horas; en realidad dura 2 horas y 30 minutos, media hora más. Cada kilómetro que pasa de recorrerse a 90 km/h a recorrerse a 60 km/h añade 1/60 − 1/90 = 1/180 de hora. Para añadir media hora hacen falta (1/2) · 180 = 90 km a la velocidad menor.

  8. Pagos con tarifas diferentes

    Dos artesanos trabajan en el mismo proyecto. Ada trabaja 32 horas con una tarifa por hora desconocida. Bruno trabaja 28 horas con una tarifa un 20 % superior a la de Ada y, además, recibe una prima fija de 60 euros. El pago conjunto es de 1700 euros. ¿Cuál es la tarifa por hora de cada uno?

    Mostrar la solución del problema 8

    Incógnita. Sea x la tarifa por hora de Ada; la de Bruno es 1,20x.

    Ecuación. 32x + 28(1,20x) + 60 = 1700.

    Pasos. 32x + 33,6x = 1640, por lo que 65,6x = 1640 y x = 25. Bruno cobra 1,20 · 25 = 30 euros por hora.

    Comprobación. Ada recibe 32 · 25 = 800 euros; Bruno recibe 28 · 30 + 60 = 900 euros. El total es 800 + 900 = 1700 euros.

    Respuesta. Ada 25 €/h; Bruno 30 €/h

  9. El cercado con una puerta

    La longitud de un patio rectangular supera en 8 m los 3/2 de su anchura. Para cercarlo se utilizan 102 m de malla, dejando sin malla una puerta de 4 m de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del patio?

    Mostrar la solución del problema 9

    Incógnita. Sea x la anchura; la longitud es 3x/2 + 8.

    Ecuación. La puerta se excluye del perímetro cercado: 2[x + (3x/2 + 8)] − 4 = 102.

    Pasos. 5x + 12 = 102, así que 5x = 90 y x = 18. La longitud es 3 · 18/2 + 8 = 35 m.

    Comprobación. El perímetro es 2(18 + 35) = 106 m; al descontar los 4 m de la puerta se necesitan exactamente 102 m de malla.

    Respuesta. 18 m × 35 m

    Solución sin ecuación

    La malla y la puerta forman un perímetro de 102 + 4 = 106 m, de modo que anchura más longitud es 53 m. Tras quitar los 8 m adicionales de la longitud, quedan 45 m repartidos en 1 + 3/2 = 5/2 partes de anchura. La anchura es 45 : (5/2) = 18 m y la longitud, 35 m.

  10. El número con las cifras invertidas

    Un número de dos cifras tiene cifras cuya suma es 11. Al invertir el orden de las cifras, el número disminuye en 27. ¿Cuál es el número original?

    Mostrar la solución del problema 10

    Incógnita. Sea x la cifra de las decenas; la cifra de las unidades es 11 − x.

    El número original es 10x + (11 − x); el invertido es 10(11 − x) + x.

    Ecuación. [10x + (11 − x)] − [10(11 − x) + x] = 27.

    Pasos. 18x − 99 = 27, así que 18x = 126 y x = 7. La cifra de las unidades es 4.

    Comprobación. El número es 74: 7 + 4 = 11 y 74 − 47 = 27.

    Respuesta. 74

    Solución sin ecuación

    La diferencia entre un número de dos cifras y su inversión es nueve veces la diferencia entre sus cifras. Como 27 : 9 = 3, la cifra de las decenas supera en 3 a la de las unidades. Las dos cifras con suma 11 y diferencia 3 son 7 y 4; por tanto, el número es 74.

  11. Descuento e impuesto sucesivos

    Un artículo se vende con un descuento del 15 % sobre el precio de lista. Después se aplica un impuesto del 22 % al precio rebajado. El cliente paga 124,44 euros. ¿Cuál era el precio de lista?

    Mostrar la solución del problema 11

    Incógnita. Sea x el precio de lista en euros.

    El descuento deja el 85 % del precio y el impuesto multiplica el resultado por 1,22.

    Ecuación. 1,22 · 0,85x = 124,44.

    Pasos. 1,037x = 124,44, de modo que x = 124,44/1,037 = 120.

    Comprobación. El 15 % de 120 es 18, así que el precio rebajado es 102 euros. El 22 % de 102 es 22,44 euros y 102 + 22,44 = 124,44 euros.

    Respuesta. 120 euros

    Solución sin ecuación

    Se deshacen las operaciones en orden inverso. Al quitar el impuesto: 124,44 : 1,22 = 102 euros. Esos 102 euros son el 85 % del precio de lista, por lo que el precio inicial es 102 : 0,85 = 120 euros.

  12. Un capital dividido entre dos rendimientos

    Un capital de 15 000 euros se divide entre dos inversiones anuales: la primera rinde un 3,2 % y la segunda un 4,7 %. Después de un año, el interés total es de 592,50 euros. ¿Cuánto se invirtió en cada opción?

    Mostrar la solución del problema 12

    Incógnita. Sea x la cantidad invertida al 3,2 %; al 4,7 % se invierten 15 000 − x euros.

    Ecuación. 0,032x + 0,047(15 000 − x) = 592,50.

    Pasos. 0,032x + 705 − 0,047x = 592,50, así que 0,015x = 112,50 y x = 7500.

    Comprobación. 7500 · 0,032 = 240 euros y 7500 · 0,047 = 352,50 euros; la suma es 592,50 euros.

    Respuesta. 7500 euros al 3,2 % y 7500 euros al 4,7 %

    Solución sin ecuación

    El rendimiento medio obtenido es 592,50/15 000 = 3,95 %. El 3,95 % está exactamente a mitad de camino entre el 3,2 % y el 4,7 %, por lo que ambos tipos deben tener el mismo peso. El capital se divide en dos partes iguales de 7500 euros.

  13. Ida y vuelta por el río

    Una barca recorre el mismo tramo de río primero a favor de la corriente, a 18 km/h, y después contracorriente, a 12 km/h. El tiempo total de navegación es de 2 horas y 30 minutos. ¿Cuánto mide el tramo en un solo sentido?

    Mostrar la solución del problema 13

    Incógnita. Sea x la longitud, en kilómetros, recorrida en cada sentido.

    Ecuación. La suma de los tiempos es x/18 + x/12 = 5/2.

    Pasos. Al multiplicar por 36 se obtiene 2x + 3x = 90, de modo que 5x = 90 y x = 18.

    Comprobación. A favor de la corriente tarda 18/18 = 1 hora; contracorriente tarda 18/12 = 1,5 horas. El total es 2,5 horas.

    Respuesta. 18 km

  14. El punto de equilibrio entre dos tarifas

    Para quien utiliza más de 50 minutos al mes, la tarifa A cuesta 24 euros e incluye los primeros 50 minutos; cada minuto adicional cuesta 0,08 euros. La tarifa B cuesta 8 euros más 0,14 euros por cada minuto, desde el primero. ¿Con cuántos minutos mensuales cuestan lo mismo ambas tarifas?

    Mostrar la solución del problema 14

    Incógnita. Sea x el número de minutos mensuales, con x > 50.

    Ecuación. 24 + 0,08(x − 50) = 8 + 0,14x.

    Pasos. 20 + 0,08x = 8 + 0,14x, así que 12 = 0,06x y x = 200.

    Comprobación. La tarifa A cuesta 24 + 0,08 · 150 = 36 euros; la tarifa B cuesta 8 + 0,14 · 200 = 36 euros.

    Respuesta. 200 minutos; coste común de 36 euros

    Solución sin ecuación

    Con 50 minutos, la tarifa A cuesta 24 euros y la B 8 + 0,14 · 50 = 15 euros: A debe recuperar 9 euros. A partir del minuto 50, A cuesta 0,06 euros menos por minuto. Hacen falta 9/0,06 = 150 minutos adicionales para cerrar la diferencia, por lo que el equilibrio se alcanza con 200 minutos.

  15. Una herencia con partes encadenadas

    Una herencia de 108 000 euros se reparte entre Anna, Bruno y Carla. Bruno recibe 3000 euros más los 3/4 de la parte de Anna. Carla recibe 4000 euros más los 2/3 de la parte de Bruno. ¿Cuánto recibe cada uno?

    Mostrar la solución del problema 15

    Incógnita. Sea x la parte de Anna. Bruno recibe 3x/4 + 3000; Carla recibe 2/3(3x/4 + 3000) + 4000.

    Ecuación. x + (3x/4 + 3000) + [2/3(3x/4 + 3000) + 4000] = 108 000.

    Pasos. La parte de Carla se simplifica a x/2 + 6000; por tanto, 9x/4 + 9000 = 108 000, 9x/4 = 99 000 y x = 44 000. Bruno recibe 36 000 euros y Carla, 28 000.

    Comprobación. 3/4 · 44 000 + 3000 = 36 000; 2/3 · 36 000 + 4000 = 28 000; por último, 44 000 + 36 000 + 28 000 = 108 000.

    Respuesta. Anna 44 000 euros; Bruno 36 000 euros; Carla 28 000 euros

  16. La producción de las tres líneas

    Tres líneas producen juntas un lote de componentes. La línea A fabrica el 40 % del total; la línea B produce 120 componentes más que la A. A la línea C le quedan 520 componentes. ¿Cuántos componentes contiene el lote?

    Mostrar la solución del problema 16

    Incógnita. Sea x el número total de componentes. A produce 0,40x y B, 0,40x + 120.

    Ecuación. x − 0,40x − (0,40x + 120) = 520.

    Pasos. 0,20x − 120 = 520, por lo que 0,20x = 640 y x = 3200.

    Comprobación. A produce 0,40 · 3200 = 1280 componentes; B produce 1400 y C, 520. La suma es 1280 + 1400 + 520 = 3200.

    Respuesta. 3200 componentes

    Solución sin ecuación

    Sin los 120 componentes adicionales de B, A y B cubrirían juntas el 80 % del lote y a C le quedaría el 20 %. Esos 120 componentes se restan precisamente de la parte de C: al sumarlos a los 520 reales se obtienen 640 componentes, que son el 20 % del total. El lote contiene 640 · 5 = 3200 componentes.

  17. Los libros de tres estanterías

    En tres estanterías hay 249 libros en total. La segunda contiene 6 libros más que el 75 % de los libros de la primera. La tercera contiene 18 libros más que la mitad de los libros de la primera. ¿Cuántos libros hay en cada estantería?

    Mostrar la solución del problema 17

    Incógnita. Sea x el número de libros de la primera estantería. La segunda contiene 0,75x + 6 y la tercera, x/2 + 18.

    Ecuación. x + (0,75x + 6) + (x/2 + 18) = 249.

    Pasos. 2,25x + 24 = 249, de modo que 2,25x = 225 y x = 100. La segunda estantería tiene 81 libros y la tercera, 68.

    Comprobación. 75 % de 100 + 6 = 81; 100/2 + 18 = 68; finalmente, 100 + 81 + 68 = 249.

    Respuesta. 100, 81 y 68 libros

    Solución sin ecuación

    Al quitar del total los 6 y 18 libros adicionales quedan 225 libros. Estos corresponden a 1 + 3/4 + 1/2 = 9/4 veces el contenido de la primera estantería. Un cuarto de ese contenido equivale a 225 : 9 = 25 libros; por tanto, la primera estantería tiene 100.

  18. La reserva en el mapa

    En un mapa a escala 1:25 000, una reserva rectangular tiene una longitud 3,5 cm mayor que su anchura. En la realidad, su perímetro es de 6,75 km. ¿Cuáles son sus dimensiones en el mapa y en la realidad?

    Mostrar la solución del problema 18

    Incógnita. Sea x la anchura en el mapa, en centímetros; la longitud es x + 3,5. A escala 1:25 000, 1 cm representa 250 m.

    Ecuación. 2[x + (x + 3,5)] · 250 = 6750.

    Pasos. 500(2x + 3,5) = 6750, así que 2x + 3,5 = 13,5 y x = 5. La longitud en el mapa es de 8,5 cm.

    Comprobación. Las dimensiones reales son 5 · 250 = 1250 m y 8,5 · 250 = 2125 m. El perímetro es 2(1250 + 2125) = 6750 m, es decir, 6,75 km.

    Respuesta. Mapa: 5 cm × 8,5 cm; realidad: 1,25 km × 2,125 km

    Solución sin ecuación

    El perímetro real de 6750 m corresponde en el mapa a 6750 : 250 = 27 cm. El semiperímetro es 13,5 cm: anchura y longitud suman 13,5 cm y se diferencian en 3,5 cm. La medida menor es (13,5 − 3,5) : 2 = 5 cm y la mayor, 8,5 cm.

  19. Los asientos disponibles en la sala

    Una sala tiene 18 filas con el mismo número de asientos. Doce asientos no se pueden utilizar. De los restantes, un sexto está reservado para invitados y 260 están disponibles para el público. ¿Cuántos asientos hay en cada fila?

    Mostrar la solución del problema 19

    Incógnita. Sea x el número de asientos de cada fila. Hay 18x asientos en total y 18x − 12 utilizables.

    Como un sexto está reservado, los 260 asientos para el público representan los 5/6 de los asientos utilizables.

    Ecuación. 5/6(18x − 12) = 260.

    Pasos. 18x − 12 = 312, de modo que 18x = 324 y x = 18.

    Comprobación. Hay 18 · 18 = 324 asientos; al quitar los 12 inutilizables quedan 312. Un sexto, es decir, 52, está reservado y 312 − 52 = 260 asientos quedan disponibles.

    Respuesta. 18 asientos por fila

    Solución sin ecuación

    Los 260 asientos para el público son cinco sextos de los utilizables. Un sexto equivale a 260 : 5 = 52, por lo que hay 52 · 6 = 312 asientos utilizables. Al añadir los 12 inutilizables se obtienen 324 asientos en total; repartidos entre 18 filas, dan 18 asientos por fila.

  20. Las agujas se encuentran

    Entre las 3:00 y las 4:00, ¿a qué hora exacta alcanza por primera vez el minutero a la aguja horaria? Expresa también los segundos.

    Mostrar la solución del problema 20

    Incógnita. Sea x el número de minutos transcurridos después de las 3:00.

    El minutero forma un ángulo de 6x grados desde las 12; la aguja horaria parte de 90 grados y avanza 0,5x grados.

    Ecuación. 6x = 90 + 0,5x.

    Pasos. 5,5x = 90, por lo que x = 180/11 = 16 4/11 minutos. Los 4/11 de minuto restantes equivalen a 240/11 = 21 9/11 segundos.

    Comprobación. Para x = 180/11, ambas posiciones angulares son 6 · 180/11 = 1080/11 grados y 90 + 0,5 · 180/11 = 1080/11 grados.

    Respuesta. aproximadamente las 3:16:21,82 (exactamente 3:16:21 9/11)

    Solución sin ecuación

    A las 3:00 el minutero debe recuperar una separación de 90 grados. Su velocidad relativa respecto a la aguja horaria es 6 − 0,5 = 5,5 grados por minuto. Por tanto, tarda 90 : 5,5 = 180/11 minutos, es decir, 16 minutos y 21 9/11 segundos.

  21. El trabajo iniciado juntos

    Ada completa sola un trabajo en 12 días; Bruno, trabajando solo, tardaría 24 días. Trabajan juntos durante algunos días; después Bruno abandona el proyecto y Ada termina el trabajo en otros 3 días. ¿Durante cuántos días trabajaron juntos?

    Mostrar la solución del problema 21

    Incógnita. Sea x el número de días de trabajo conjunto. En un día Ada realiza 1/12 del trabajo y Bruno, 1/24.

    Ecuación. x(1/12 + 1/24) + 3/12 = 1.

    Pasos. x/8 + 1/4 = 1, así que x/8 = 3/4 y x = 6.

    Comprobación. Juntos completan 6 · (1/8) = 3/4 del trabajo; Ada completa 3 · (1/12) = 1/4 en los tres días finales. Las dos partes forman el trabajo entero.

    Respuesta. 6 días

    Solución sin ecuación

    Dividamos mentalmente el trabajo en 24 unidades. Ada realiza 2 al día y Bruno, 1. En los tres días finales Ada completa 6 unidades, por lo que antes se habían realizado 18. Juntos producen 3 unidades al día: para 18 unidades necesitan 18 : 3 = 6 días.

  22. Reconstruir los ingresos a partir del presupuesto

    De unos ingresos brutos mensuales se retiene el 28 % en impuestos. Después se pagan 720 euros de alquiler con los ingresos netos. Del dinero que queda tras el alquiler se destinan los 3/8 a otros gastos y sobran 990 euros. ¿Cuáles eran los ingresos brutos?

    Mostrar la solución del problema 22

    Incógnita. Sea x el ingreso bruto mensual. Después de los impuestos quedan 0,72x euros y, después del alquiler, 0,72x − 720.

    Como se gastan los 3/8, los 990 euros representan los 5/8 de la cantidad disponible tras pagar el alquiler.

    Ecuación. 5/8(0,72x − 720) = 990.

    Pasos. 0,72x − 720 = 1584, así que 0,72x = 2304 y x = 3200.

    Comprobación. El 28 % de 3200 es 896; el ingreso neto es de 2304 euros. Después de pagar 720 euros de alquiler quedan 1584; los 3/8 son 594 euros y 1584 − 594 = 990.

    Respuesta. 3200 euros brutos al mes

    Solución sin ecuación

    Se procede hacia atrás. Si 990 euros son los 5/8, la cantidad posterior al alquiler era 990 · 8/5 = 1584 euros. Antes del alquiler, el ingreso neto era 1584 + 720 = 2304 euros. El neto representa el 72 % del bruto, por lo que el ingreso bruto era 2304 : 0,72 = 3200 euros.

  23. Los ángulos del triángulo

    En un triángulo, el segundo ángulo supera en 18° el doble del primero; el tercer ángulo mide 12° menos que el triple del primero. Determina los tres ángulos.

    Mostrar la solución del problema 23

    Incógnita. Sea x la medida del primer ángulo. El segundo mide 2x + 18 grados y el tercero, 3x − 12 grados.

    Ecuación. La suma de los ángulos interiores es 180°: x + (2x + 18) + (3x − 12) = 180.

    Pasos. 6x + 6 = 180, por lo que 6x = 174 y x = 29. Los otros ángulos son 2 · 29 + 18 = 76 grados y 3 · 29 − 12 = 75 grados.

    Comprobación. 29 + 76 + 75 = 180; además, 76 = 2 · 29 + 18 y 75 = 3 · 29 − 12. Todos los ángulos son positivos.

    Respuesta. 29°, 76° y 75°

    Solución sin ecuación

    Ignoramos por un momento los ajustes de +18° y −12°. Los tres ángulos contienen entonces 1 + 2 + 3 = 6 partes básicas iguales. Los ajustes añaden en total 6°, así que las seis partes suman 180° − 6° = 174°. Cada parte mide 174° : 6 = 29°; de ahí se obtienen 76° y 75°.

  24. La población antes de los cambios

    La población de un municipio aumenta un 8 % durante un año. Justo después, 520 residentes se trasladan a otro lugar y la población baja a 19 352 habitantes. ¿Cuántos habitantes había al comenzar el año?

    Mostrar la solución del problema 24

    Incógnita. Sea x la población inicial. Después del aumento del 8 %, la población es 1,08x.

    Ecuación. 1,08x − 520 = 19 352.

    Pasos. 1,08x = 19 872, por lo que x = 19 872/1,08 = 18 400.

    Comprobación. El 8 % de 18 400 es 1472; después del aumento hay 18 400 + 1472 = 19 872 habitantes. Al restar 520 se obtienen 19 352.

    Respuesta. 18 400 habitantes

    Solución sin ecuación

    Se reconstruye la situación hacia atrás. Antes de los traslados había 19 352 + 520 = 19 872 habitantes. Esta cantidad es el 108 % de la población inicial; al dividir por 1,08 se obtiene 19 872 : 1,08 = 18 400.

  25. Compresión, cifrado y metadatos

    Un archivo digital se comprime, reduciendo su tamaño un 25 %. El cifrado aumenta después un 8 % el tamaño del archivo comprimido. Por último, se añaden 12 MB de metadatos; el paquete resultante ocupa 660 MB. ¿Cuál era el tamaño original?

    Mostrar la solución del problema 25

    Incógnita. Sea x el tamaño original en megabytes. Después de comprimir queda 0,75x; tras el cifrado pasa a ser 1,08 · 0,75x.

    Ecuación. 1,08 · 0,75x + 12 = 660.

    Pasos. 0,81x + 12 = 660, de modo que 0,81x = 648 y x = 800.

    Comprobación. La compresión lleva 800 MB a 800 · 0,75 = 600 MB. El cifrado aumenta el archivo a 600 · 1,08 = 648 MB; al añadir 12 MB se obtienen 660 MB.

    Respuesta. 800 MB

    Solución sin ecuación

    Se deshacen las transformaciones hacia atrás. Al quitar los metadatos quedan 660 − 12 = 648 MB. Antes del aumento del 8 %, el archivo ocupaba 648 : 1,08 = 600 MB. Estos son el 75 % del original, así que el tamaño inicial era 600 : 0,75 = 800 MB.

  26. El almacén de cuadernos

    Un almacén recibe un número desconocido de cajas, cada una con 24 cuadernos. El control de calidad descarta el 5 % de todos los cuadernos. Después llegan otros 180 cuadernos sueltos. Los cuadernos disponibles llenan 74 cajas nuevas de 30 y sobran 12. ¿Cuántas cajas llegaron inicialmente?

    Mostrar la solución del problema 26

    Incógnita: sea x el número inicial de cajas; contienen 24x cuadernos.

    Ecuación: después del control queda el 95 % y se añaden 180 cuadernos: 0,95 · 24x + 180 = 74 · 30 + 12.

    Pasos: 22,8x + 180 = 2232; por tanto, 22,8x = 2052 y x = 90.

    Comprobación: 90 cajas contienen 90 · 24 = 2160 cuadernos; el 5 % son 108, así que quedan 2.052. Al añadir 180 se obtienen 2.232 cuadernos, exactamente 74 · 30 + 12.

    Respuesta. Inicialmente llegaron 90 cajas, es decir, 2.160 cuadernos.

    Solución sin ecuación

    Al final hay 74 · 30 + 12 = 2232 cuadernos. Al quitar los 180 añadidos después del control quedan 2.052, que son el 95 % de la cantidad inicial. Dividir entre 0,95 da 2.160 cuadernos y dividir entre 24 da 90 cajas.

  27. La clasificación del torneo

    Un equipo disputa 38 partidos. Tiene 4 empates menos que el doble de derrotas; todos los demás partidos son victorias. Se conceden 3 puntos por victoria, 1 por empate y 0 por derrota. Tras una penalización de 5 puntos, el equipo termina con 82 puntos. ¿Cuántas victorias, empates y derrotas consiguió?

    Mostrar la solución del problema 27

    Incógnita: sea x el número de derrotas. Los empates son 2x − 4 y las victorias 38 − x − (2x − 4) = 42 − 3x.

    Ecuación: teniendo en cuenta la penalización, 3(42 − 3x) + (2x − 4) − 5 = 82.

    Pasos: 126 − 9x + 2x − 4 − 5 = 82; por tanto, 117 − 7x = 82, 7x = 35 y x = 5. Hay 6 empates y 27 victorias.

    Comprobación: 27 + 6 + 5 = 38 partidos y la puntuación final es 3 · 27 + 6 − 5 = 81 + 6 − 5 = 82.

    Respuesta. El equipo consiguió 27 victorias, 6 empates y 5 derrotas.

  28. El cambio con dos comisiones

    Un cliente lleva una cantidad en euros a una oficina de cambio. La oficina retiene el 2 % de la cantidad y una comisión fija de 6 €, y después convierte el resto a 1,08 dólares por euro. El banco corresponsal descuenta finalmente 9 $. El cliente recibe 1.042,92 $. ¿Cuántos euros había entregado?

    Mostrar la solución del problema 28

    Incógnita: sea x la cantidad inicial en euros. Después de las dos comisiones en euros quedan 0,98x − 6 euros.

    Ecuación: tras la conversión y la comisión en dólares, 1,08(0,98x − 6) − 9 = 1042,92.

    Pasos: 1,08(0,98x − 6) = 1051,92; por tanto, 0,98x − 6 = 974, 0,98x = 980 y x = 1000.

    Comprobación: el 2 % de 1.000 € son 20 €; al descontar además 6 € quedan 974 €. La conversión da 974 · 1,08 = 1051,92 $ y, tras restar los 9 $ finales, quedan 1.042,92 $.

    Respuesta. El cliente había entregado 1.000 €.

    Solución sin ecuación

    Se deshacen las operaciones: se suman 9 $ para obtener 1.051,92 $, se divide entre 1,08 para obtener 974 € y se añaden los 6 € fijos para obtener 980 €. Esta cantidad es el 98 % de la suma inicial; por tanto, 980 : 0,98 = 1000 €.

  29. El tren que recupera el retraso

    Un tren sale a las 8:15 a 72 km/h. Otro tren parte de la misma estación y sigue el mismo trayecto a las 9:05, a 96 km/h, pero realiza una parada de 10 minutos antes de alcanzar al primer tren. ¿A qué hora lo alcanza?

    Mostrar la solución del problema 29

    Incógnita: sea t el tiempo, en horas, desde las 9:05 hasta el encuentro. El primer tren viaja durante t + 5/6 horas; el segundo está en movimiento durante t − 1/6 horas.

    Ecuación: cuando lo alcanza, las distancias son iguales: 72(t + 5/6) = 96(t − 1/6).

    Pasos: 72t + 60 = 96t − 16; por tanto, 76 = 24t y t = 19/6 horas, es decir, 3 horas y 10 minutos. Sumándolas a las 9:05 se obtienen las 12:15.

    Comprobación: el primer tren ha viajado 4 horas y recorre 72 · 4 = 288 km. Sin contar la parada, el segundo ha viajado 3 horas y recorre 96 · 3 = 288 km.

    Respuesta. El segundo tren alcanza al primero a las 12:15, a 288 km de la estación.

  30. El rectángulo transformado

    La longitud de un rectángulo mide 12 cm menos que el triple de su anchura. Si la longitud se reduce 4 cm y la anchura aumenta 5 cm, el nuevo perímetro es de 130 cm. Halla las dimensiones originales.

    Mostrar la solución del problema 30

    Incógnita: sea x la anchura original, en centímetros; la longitud es 3x − 12.

    Ecuación: las nuevas dimensiones son x + 5 y 3x − 16, de modo que 2[(x + 5) + (3x − 16)] = 130.

    Pasos: 2(4x − 11) = 130; por tanto, 8x − 22 = 130, 8x = 152 y x = 19. La longitud original es 3 · 19 − 12 = 45 cm.

    Comprobación: las nuevas dimensiones son 24 cm y 41 cm; su perímetro es 2(24 + 41) = 130 cm.

    Respuesta. El rectángulo original mide 19 cm × 45 cm.

    Solución sin ecuación

    El nuevo semiperímetro es de 65 cm. Reducir un lado 4 cm y aumentar el otro 5 cm incrementa su suma en 1 cm, así que la suma original era de 64 cm. Como la longitud mide 12 cm menos que tres anchuras, se suman 12 a 64 y se dividen las cuatro anchuras resultantes entre 4: la anchura es 19 cm y la longitud 45 cm.

  31. La dosis en la simulación

    En un ejercicio veterinario simulado, la dosis teórica es de 5 mg por kilogramo de masa más una cantidad fija de 30 mg. Para la preparación se carga un 20 % más que la dosis teórica. Al final, quedan 18 mg en la línea y se han administrado realmente 462 mg. ¿Qué masa de animal representa la simulación?

    Mostrar la solución del problema 31

    Incógnita: sea x la masa simulada del animal, en kilogramos. La dosis teórica es 5x + 30 mg y la cantidad cargada 1,20(5x + 30) mg.

    Ecuación: al restar lo que queda en la línea, 1,20(5x + 30) − 18 = 462.

    Pasos: 1,20(5x + 30) = 480; por tanto, 5x + 30 = 400, 5x = 370 y x = 74.

    Comprobación: para 74 kg, la dosis teórica es 5 · 74 + 30 = 400 mg. El 20 % adicional eleva la cantidad cargada a 480 mg; al restar los 18 mg restantes se obtienen 462 mg.

    Respuesta. La masa simulada es de 74 kg.

    Solución sin ecuación

    Se reconstruye el cálculo hacia atrás: se suman los 18 mg restantes a los 462 mg administrados y se obtienen 480 mg cargados. Al dividir entre 1,20 se elimina el 20 % adicional y resulta una dosis teórica de 400 mg. Tras restar los 30 mg fijos, los 370 mg restantes corresponden a 5 mg/kg: 370 : 5 = 74 kg.

  32. El número de tres cifras

    En un número de tres cifras, la cifra de las centenas es el doble de la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es 3 menos que la de las centenas. Al invertir las cifras, el número disminuye en 396. ¿Cuál es el número?

    Mostrar la solución del problema 32

    Incógnita: sea x la cifra de las unidades. Las cifras de las centenas y las decenas son 2x y 2x − 3.

    Ecuación: el número es 100(2x) + 10(2x − 3) + x y el invertido es 100x + 10(2x − 3) + 2x. Por tanto, [100(2x) + 10(2x − 3) + x] − [100x + 10(2x − 3) + 2x] = 396.

    Pasos: los términos de las decenas se anulan y queda 99x = 396; así, x = 4. Las cifras son 8, 5 y 4.

    Comprobación: el número es 854, el invertido es 458 y 854 − 458 = 396; además, 8 = 2 · 4 y 5 = 8 − 3.

    Respuesta. El número es 854.

    Solución sin ecuación

    Al intercambiar centenas y unidades, la cifra de las decenas no afecta a la diferencia. Cada unidad de diferencia entre las cifras extremas vale 99; como 396 : 99 = 4, las cifras extremas difieren en 4. Pero la centena es el doble de la unidad, así que esa diferencia coincide con la propia cifra de las unidades: 4. Las otras cifras son 8 y 5.

  33. Las agujas perpendiculares

    Entre las 3:30 y las 4:00, ¿en qué instante están perpendiculares por primera vez las agujas de un reloj? Considera que la aguja horaria se mueve continuamente.

    Mostrar la solución del problema 33

    Incógnita: sea t el número de minutos transcurridos desde las 3:00. En el intervalo indicado, el minutero va por delante de la aguja horaria.

    Ecuación: sus ángulos desde las 12 son 6t grados para el minutero y 90 + 0,5t para la aguja horaria. La diferencia debe ser 90°: 6t − (90 + 0,5t) = 90.

    Pasos: 5,5t − 90 = 90; por tanto, 5,5t = 180 y t = 360/11 = 32 8/11 minutos. Los 8/11 de minuto equivalen a 480/11 = 43 7/11 segundos.

    Comprobación: en ese instante el minutero está a 2160/11° y la aguja horaria a 1170/11°; la diferencia es 990/11° = 90°.

    Respuesta. Aproximadamente a las 3:32:43,64 (exactamente 43 y 7/11 segundos).

  34. La barca y la corriente

    Una barca navega a 18 km/h en aguas tranquilas. Viaja durante 2 horas y 30 minutos contra la corriente y después durante 1 hora y 30 minutos a favor, recorriendo 69 km en total. ¿Cuál es la velocidad constante de la corriente?

    Mostrar la solución del problema 34

    Incógnita: sea x la velocidad de la corriente en km/h. Las velocidades efectivas son 18 − x contracorriente y 18 + x a favor.

    Ecuación: la suma de las distancias es 2,5(18 − x) + 1,5(18 + x) = 69.

    Pasos: 45 − 2,5x + 27 + 1,5x = 69; así, 72 − x = 69 y x = 3.

    Comprobación: contracorriente la barca va a 15 km/h y recorre 2,5 · 15 = 37,5 km; a favor va a 21 km/h y recorre 1,5 · 21 = 31,5 km. En total son 69 km.

    Respuesta. La corriente tiene una velocidad de 3 km/h.

    Solución sin ecuación

    Sin corriente, la barca recorrería 72 km en 4 horas. La corriente resta su velocidad durante 2,5 horas y la suma durante 1,5 horas: el efecto neto equivale a restar una vez la velocidad de la corriente. Como faltan 3 km respecto a 72, la corriente es de 3 km/h.

  35. Las entradas del espectáculo

    A un espectáculo asisten 180 personas. Hay 10 estudiantes más que el doble de adultos; los demás son niños. Las entradas cuestan 18 € para adultos, 12 € para estudiantes y 7 € para niños. La recaudación es de 2.150 €. ¿Cuántos asistentes hay en cada categoría?

    Mostrar la solución del problema 35

    Incógnita: sea x el número de adultos. Hay 2x + 10 estudiantes y 180 − x − (2x + 10) = 170 − 3x niños.

    Ecuación: la recaudación da 18x + 12(2x + 10) + 7(170 − 3x) = 2150.

    Pasos: 18x + 24x + 120 + 1190 − 21x = 2150; por tanto, 21x + 1310 = 2150, 21x = 840 y x = 40. Hay 90 estudiantes y 50 niños.

    Comprobación: 40 + 90 + 50 = 180 y la recaudación es 40 · 18 + 90 · 12 + 50 · 7 = 720 + 1080 + 350 = 2150 €.

    Respuesta. Hay 40 adultos, 90 estudiantes y 50 niños.

    Solución sin ecuación

    Si todos fueran niños, se recaudarían 1.260 €. Cada adulto en lugar de un niño añade 11 € y cada estudiante añade 5 €. Los 10 estudiantes fijos aportan 50 € más; por cada adulto hay además dos estudiantes, con un aumento de 11 + 2 · 5 = 21 € por grupo. Quedan 2150 − 1260 − 50 = 840 €, es decir, 40 grupos de 21 €. Así se obtienen 40 adultos, 90 estudiantes y 50 niños.

  36. El balance de energía de la batería

    Una batería de 80 kWh comienza con una cantidad desconocida de energía. Durante un viaje, la tracción consume el 30 % de la energía inicial y los sistemas de a bordo consumen otros 9 kWh. El frenado regenerativo devuelve el 40 % de la energía usada por la tracción. Al llegar se toman 20 kWh de la red, pero la eficiencia de carga es del 85 %. Al final, la batería contiene 49 kWh. ¿Con cuánta energía y con qué porcentaje de carga comenzó?

    Mostrar la solución del problema 36

    Incógnita: sea x la energía inicial, en kWh. La tracción consume 0,30x, la regeneración devuelve 0,40 · 0,30x y la recarga añade 0,85 · 20 kWh.

    Ecuación: x − 0,30x − 9 + 0,40(0,30x) + 0,85 · 20 = 49.

    Pasos: x − 0,30x + 0,12x − 9 + 17 = 49; por tanto, 0,82x + 8 = 49, 0,82x = 41 y x = 50.

    Comprobación: la tracción usa 15 kWh y los sistemas 9, por lo que quedan 26 kWh; la regeneración devuelve 6 y la recarga añade 17. Así, 26 + 6 + 17 = 49 kWh. La carga inicial era 50/80 = 62,5 %.

    Respuesta. La batería comenzó con 50 kWh, el 62,5 % de su capacidad.

  37. La cuota de la excursión

    Una excursión está reservada por 48 personas, todas con la misma cuota. Ocho renuncian; el organizador obtiene una reducción de 320 € en el coste total y cada una de las 40 personas restantes paga 4 € más que la cuota original. ¿Cuál era la cuota inicial?

    Mostrar la solución del problema 37

    Incógnita: sea x la cuota original, en euros. El coste inicial era 48x.

    Ecuación: tras la reducción, el coste es 48x − 320, cubierto por 40 pagos de x + 4: 40(x + 4) = 48x − 320.

    Pasos: 40x + 160 = 48x − 320; por tanto, 480 = 8x y x = 60.

    Comprobación: el coste inicial era 48 · 60 = 2880 €. El coste reducido es 2.560 € y las 40 personas pagan 40 · 64 = 2560 €.

    Respuesta. La cuota inicial era de 60 € por persona.

    Solución sin ecuación

    Las ocho renuncias eliminan ocho cuotas iniciales. Los participantes restantes aportan 160 € adicionales y el descuento cubre otros 320 €: en total sustituyen 480 €, que equivalen a las ocho cuotas que faltan. Cada cuota era, por tanto, de 480 : 8 = 60 €.

  38. Sal añadido y evaporación

    Un recipiente contiene 72 kg de disolución salina al 25 %. Se añaden 6 kg de sal pura y después se deja evaporar únicamente agua hasta que la concentración alcanza el 40 %. ¿Cuántos kilogramos de agua se evaporan?

    Mostrar la solución del problema 38

    Incógnita: sea x la masa de agua evaporada, en kilogramos. Al principio hay 0,25 · 72 = 18 kg de sal; tras añadirla hay 24 kg y la masa total antes de evaporar es de 78 kg.

    Ecuación: después de la evaporación, la masa total es 78 − x y la sal representa el 40 %: 24 = 0,40(78 − x).

    Pasos: 24 = 31,2 − 0,40x; por tanto, 0,40x = 7,2 y x = 18.

    Comprobación: quedan 78 − 18 = 60 kg de disolución con 24 kg de sal; 24/60 = 0,40, es decir, el 40 %.

    Respuesta. Se evaporan 18 kg de agua.

    Solución sin ecuación

    Tras la adición hay 24 kg de sal, que no se evapora. Para que sean el 40 % de la disolución final, su masa debe ser 24 : 0,40 = 60 kg. Antes de evaporar había 78 kg, así que se evaporan 18 kg de agua.

  39. Las dos impresoras

    Una impresora produce 40 páginas por minuto. Otra, que produce 55 páginas por minuto, se pone en marcha 6 minutos después. Ambas se detienen a la vez cuando han producido 2.520 páginas en total. ¿Cuánto tiempo funciona cada una?

    Mostrar la solución del problema 39

    Incógnita: sea t el tiempo de funcionamiento de la primera impresora, en minutos. La segunda funciona t − 6 minutos.

    Ecuación: la producción total es 40t + 55(t − 6) = 2520.

    Pasos: 40t + 55t − 330 = 2520; por tanto, 95t = 2850 y t = 30. La segunda funciona 24 minutos.

    Comprobación: la primera produce 40 · 30 = 1200 páginas y la segunda 55 · 24 = 1320; en total son 2.520 páginas.

    Respuesta. La primera impresora funciona 30 minutos y la segunda 24 minutos.

    Solución sin ecuación

    Durante los primeros 6 minutos, la primera impresora produce 240 páginas. Quedan 2.280 páginas, que después producen juntas a 40 + 55 = 95 páginas por minuto: necesitan 2280 : 95 = 24 minutos. La primera funciona 30 minutos y la segunda 24.

  40. Los ángulos del trapecio

    En un trapecio isósceles, cada ángulo agudo mide 8° menos que tres quintos de cada ángulo obtuso. Determina los cuatro ángulos.

    Mostrar la solución del problema 40

    Incógnita: sea x la medida, en grados, de un ángulo obtuso. Un ángulo agudo adyacente mide 180 − x, porque los ángulos situados sobre cada lado oblicuo son suplementarios.

    Ecuación: la relación dada se convierte en 180 − x = (3/5)x − 8.

    Pasos: 188 = x + (3/5)x = (8/5)x; así, x = 188 · 5/8 = 117,5. El ángulo agudo mide 180 − 117,5 = 62,5 grados.

    Comprobación: tres quintos de 117,5° son 70,5° y 70,5° − 8° = 62,5°; además, 117,5° + 62,5° = 180°.

    Respuesta. Los ángulos miden 62,5°, 62,5°, 117,5° y 117,5°.

  41. Los billetes de la caja

    Una caja contiene únicamente billetes de 5 €, 10 € y 20 €, 87 billetes en total. Hay 12 billetes de 5 € más que de 10 €, mientras que el número de billetes de 20 € es la mitad del de 10 €. ¿Cuántos billetes hay de cada clase y cuál es su valor total?

    Mostrar la solución del problema 41

    Incógnita: sea x el número de billetes de 10 €. Hay x + 12 billetes de 5 € y x/2 billetes de 20 €.

    Ecuación: al contar todos los billetes, x + (x + 12) + x/2 = 87.

    Pasos: (5/2)x + 12 = 87; por tanto, (5/2)x = 75 y x = 30. Hay 42 billetes de 5 € y 15 de 20 €.

    Comprobación: 42 + 30 + 15 = 87. Su valor es 42 · 5 + 30 · 10 + 15 · 20 = 210 + 300 + 300 = 810 €.

    Respuesta. Hay 42 billetes de 5 €, 30 de 10 € y 15 de 20 €, con un valor total de 810 €.

    Solución sin ecuación

    Al retirar los 12 billetes adicionales de 5 €, quedan 75 billetes. Se agrupan en lotes con dos billetes de 5 €, dos de 10 € y uno de 20 €: cinco billetes por lote, respetando la proporción. Hay 15 lotes, que dan 30, 30 y 15 billetes; al devolver los 12 de 5 € se obtienen 42, 30 y 15.

  42. Las edades de una familia

    En una familia de cuatro personas, el padre tiene 4 años más que el triple de la edad del hijo. La madre tiene 2 años menos que el padre y la hermana, 3 años menos que el hijo. La suma de las cuatro edades es 123 años. Determina la edad de cada uno.

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    Incógnita: sea x la edad del hijo. El padre tiene 3x + 4 años, la madre 3x + 2 y la hermana x − 3.

    Ecuación: la suma de las edades da x + (3x + 4) + (3x + 2) + (x − 3) = 123.

    Pasos: 8x + 3 = 123; por tanto, 8x = 120 y x = 15. El padre tiene 49 años, la madre 47 y la hermana 12.

    Comprobación: 15 + 49 + 47 + 12 = 123; además, 49 = 3 · 15 + 4, 47 = 49 − 2 y 12 = 15 − 3.

    Respuesta. El hijo tiene 15 años, la hermana 12, la madre 47 y el padre 49.

    Solución sin ecuación

    Las partes variables equivalen a ocho veces la edad del hijo, mientras que los ajustes fijos suman 4 + 2 − 3 = 3 años. Al quitar esos 3 años de 123 quedan 120, que son ocho edades del hijo: 120 : 8 = 15. Las demás edades se obtienen directamente.

  43. Un viaje en tres etapas

    Un turista camina a 5 km/h durante cierto tiempo. Después pedalea a 18 km/h durante media hora menos que el tiempo que caminó. Por último, viaja en autobús durante 45 minutos a 40 km/h. La distancia total es de 67 km. ¿Cuánto dura todo el viaje?

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    Incógnita: sea x el tiempo a pie, en horas. El tramo en bicicleta dura x − 0,5 horas y el de autobús 0,75 horas.

    Ecuación: al sumar las distancias, 5x + 18(x − 0,5) + 40 · 0,75 = 67.

    Pasos: 5x + 18x − 9 + 30 = 67; por tanto, 23x + 21 = 67, 23x = 46 y x = 2. El trayecto en bicicleta dura 1,5 horas.

    Comprobación: las distancias son 5 · 2 = 10 km, 18 · 1,5 = 27 km y 40 · 0,75 = 30 km; suman 67 km. El tiempo total es 2 + 1,5 + 0,75 = 4,25 horas.

    Respuesta. El viaje dura 4 horas y 15 minutos.

  44. La revisión de las papeletas

    En el recuento preliminar de 1.200 papeletas, todas consideradas válidas, el candidato A recibe un número desconocido de votos y B recibe el resto. La revisión anula el 5 % de las papeletas atribuidas inicialmente a A; además, 60 papeletas válidas asignadas por error a B se transfieren a A. Después de las correcciones, A posee los 7/13 de los votos válidos. ¿Cuántos votos se habían atribuido inicialmente a cada candidato?

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    Incógnita: sea x el número inicial de votos de A; B tenía 1200 − x. Tras la anulación y la transferencia, A tiene 19x/20 + 60 votos y el total válido es 1200 − x/20.

    Ecuación: 19x/20 + 60 = (7/13)(1200 − x/20).

    Pasos: al multiplicar por 260, 247x + 15600 = 168000 − 7x; por tanto, 254x = 152400 y x = 600. B también tenía inicialmente 600 votos.

    Comprobación: el 5 % de 600 son 30: tras la anulación, A baja a 570 votos y, después de la transferencia, sube a 630; B baja a 540. Hay 1.170 votos válidos y 630/1170 = 7/13.

    Respuesta. En el recuento preliminar, A y B tenían 600 votos cada uno.

  45. La carga de los palés

    Un camión vacío con su conductor pesa 9.080 kg y lleva un módulo frigorífico de 420 kg. Se carga con palés idénticos: cada palé tiene una tara de 30 kg y contiene 45 bultos, cada uno formado por 5,5 kg de producto y 0,5 kg de embalaje. La báscula indica 17.300 kg. ¿Cuántos palés y bultos transporta?

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    Incógnita: sea x el número de palés. Cada bulto pesa 5,5 + 0,5 = 6 kg, así que un palé cargado pesa 30 + 45 · 6 = 300 kg.

    Ecuación: 9080 + 420 + x[30 + 45(5,5 + 0,5)] = 17300.

    Pasos: 9500 + 300x = 17300; por tanto, 300x = 7800 y x = 26. El número de bultos es 26 · 45 = 1170.

    Comprobación: los palés cargados pesan 26 · 300 = 7800 kg; al sumar los 9.080 kg del camión y los 420 kg del módulo se obtienen 17.300 kg.

    Respuesta. El camión transporta 26 palés y 1.170 bultos.

    Solución sin ecuación

    Se restan de la masa total los 9.500 kg fijos del camión y el módulo: quedan 7.800 kg de carga. Cada unidad de palé pesa 30 kg de tara más 270 kg de bultos, es decir, 300 kg. Por tanto, hay 7800 : 300 = 26 palés y 26 · 45 = 1170 bultos.

  46. El sensor mal calibrado

    La temperatura real es de C grados Celsius, pero un sensor mal calibrado envía al programa el valor S = 0,95C + 2. El programa convierte el valor recibido S a Fahrenheit mediante F = (9/5)S + 32. En cierto instante, el número mostrado en Fahrenheit es 24 unidades mayor que el doble de la temperatura Celsius real. ¿Cuál es la temperatura real y qué muestra la pantalla?

    Mostrar la solución del problema 46

    Incógnita: sea x la temperatura real en grados Celsius. El sensor envía 0,95x + 2 y la pantalla muestra (9/5)(0,95x + 2) + 32.

    Ecuación: (9/5)(0,95x + 2) + 32 = 2x + 24.

    Pasos: 1,71x + 3,6 + 32 = 2x + 24; por tanto, 11,6 = 0,29x y x = 40.

    Comprobación: con 40 °C, el sensor envía 0,95 · 40 + 2 = 40. El programa muestra (9/5) · 40 + 32 = 104 °F y 2 · 40 + 24 = 104.

    Respuesta. La temperatura real es de 40 °C y la pantalla muestra 104 °F.

  47. El depósito con entrada y desagüe

    Un depósito contiene 240 litros de agua. Una tubería aporta 18 litros por minuto, mientras que un desagüe elimina 25 litros por minuto. Ambos funcionan juntos durante cierto tiempo; después se cierra el desagüe y queda abierta solo la entrada durante otros 6 minutos. Al final hay 264 litros. ¿Después de cuántos minutos se cerró el desagüe?

    Mostrar la solución del problema 47

    Incógnita: sea x el número de minutos durante los que funcionan juntos la entrada y el desagüe. En esta fase, el volumen disminuye 25 − 18 = 7 litros por minuto.

    Ecuación: al volumen inicial se resta la pérdida de la primera fase y se suman los 18 · 6 = 108 litros finales: 240 − 7x + 108 = 264.

    Pasos: 348 − 7x = 264; por tanto, 7x = 84 y x = 12.

    Comprobación: después de 12 minutos con ambos flujos quedan 240 − 7 · 12 = 156 litros; en los 6 minutos siguientes entran 108 litros y 156 + 108 = 264.

    Respuesta. El desagüe se cerró después de 12 minutos; todo el proceso dura 18 minutos.

    Solución sin ecuación

    Antes de los últimos 6 minutos, el depósito debía contener 264 − 108 = 156 litros. Había perdido 84 litros respecto a los 240 iniciales. Como con ambos flujos abiertos pierde 7 litros por minuto, el desagüe se cerró después de 84 : 7 = 12 minutos.

  48. La viga en equilibrio

    Una viga uniforme de 4 m y 18 kg de masa se apoya en un fulcro situado a 1,5 m del extremo izquierdo. En el extremo izquierdo se coloca una caja de masa desconocida; una carga de 30 kg está a 0,8 m de ese extremo y otra de 24 kg, en el extremo derecho. La viga permanece en equilibrio horizontal. ¿Cuál es la masa de la caja? Se desprecia el grosor de las cargas.

    Mostrar la solución del problema 48

    Incógnita: sea x la masa de la caja, en kilogramos. Respecto al fulcro, el brazo de la caja es de 1,5 m y el de la carga de 30 kg a la izquierda es 1,5 − 0,8 = 0,7 m. A la derecha, la carga de 24 kg tiene un brazo de 2,5 m y el peso de la viga, aplicado en su centro, un brazo de 0,5 m.

    Ecuación: al igualar los momentos y simplificar la aceleración de la gravedad, 1,5x + 0,7 · 30 = 2,5 · 24 + 0,5 · 18.

    Pasos: 1,5x + 21 = 60 + 9; por tanto, 1,5x = 48 y x = 32.

    Comprobación: el momento total a la izquierda es 1,5 · 32 + 0,7 · 30 = 48 + 21 = 69; a la derecha es 2,5 · 24 + 0,5 · 18 = 60 + 9 = 69.

    Respuesta. La caja tiene una masa de 32 kg.

    Solución sin ecuación

    Los momentos conocidos a la derecha suman 69 unidades, mientras que la carga conocida de la izquierda aporta 21. La caja debe aportar 48 unidades de momento. Como está a 1,5 m del fulcro, su masa es 48 : 1,5 = 32 kg.

  49. La producción tras el control de calidad

    La línea A fabrica un número desconocido de componentes; la línea B fabrica 400 más. El control de calidad rechaza el 3 % de la producción de A y el 8 % de la de B. De los componentes conformes, 120 se destinan después a pruebas destructivas. Quedan 3.272 componentes vendibles. ¿Cuántos componentes había fabricado cada línea?

    Mostrar la solución del problema 49

    Incógnita: sea x la producción de la línea A. La línea B fabrica x + 400; después del control quedan respectivamente 0,97x y 0,92(x + 400) componentes conformes.

    Ecuación: 0,97x + 0,92(x + 400) − 120 = 3272.

    Pasos: 0,97x + 0,92x + 368 − 120 = 3272; por tanto, 1,89x + 248 = 3272, 1,89x = 3024 y x = 1600. La línea B fabrica 2.000.

    Comprobación: A rechaza 3 % de 1600 = 48 componentes y conserva 1.552; B rechaza 8 % de 2000 = 160 y conserva 1.840. Hay 3.392 componentes conformes y, al retirar los 120 de las pruebas, quedan 3.272.

    Respuesta. La línea A había fabricado 1.600 componentes y la línea B 2.000.

  50. La media ponderada

    Cuatro pruebas aportan el 20 %, 25 %, 25 % y 30 % a la calificación final. Las notas son, respectivamente, 78, 84, una nota desconocida y 92. Después de calcular la media ponderada se añaden 2 puntos de bonificación y el resultado final es 85,2. ¿Cuál es la nota desconocida?

    Mostrar la solución del problema 50

    Incógnita: sea x la nota de la tercera prueba.

    Ecuación: 0,20 · 78 + 0,25 · 84 + 0,25x + 0,30 · 92 + 2 = 85,2.

    Pasos: las aportaciones conocidas, incluida la bonificación, suman 15,6 + 21 + 27,6 + 2 = 66,2. Por tanto, 66,2 + 0,25x = 85,2, 0,25x = 19 y x = 76.

    Comprobación: la media antes de la bonificación es 15,6 + 21 + 0,25 · 76 + 27,6 = 15,6 + 21 + 19 + 27,6 = 83,2; al sumar 2 se obtiene 85,2.

    Respuesta. La nota de la tercera prueba es 76.

    Solución sin ecuación

    Se restan del resultado final la bonificación y las tres aportaciones conocidas: 85,2 − 2 − 15,6 − 21 − 27,6 = 19. Esos 19 puntos son el 25 % de la nota que falta; al dividir entre 0,25 se obtiene 76.