Anteprima della struttura

50 problemi difficili di primo grado con soluzioni

Cinquanta problemi contestualizzati di difficoltà elevata, risolvibili con equazioni di primo grado. Le soluzioni sono nascoste e, quando utile, includono anche un metodo senza equazione.

Articoli /50-problemi-difficili-primo-grado-con-soluzioni

75 min

Questa raccolta propone cinquanta problemi di primo grado di difficoltà elevata. Percentuali, età, velocità, miscele, lavoro, geometria e ripartizioni nascondono tutti la stessa struttura: una relazione lineare con una sola incognita.

Come usare la raccolta. Prova prima a costruire autonomamente il modello. Apri poi la soluzione del singolo problema per confrontare equazione, passaggi e verifica. Quando esiste un ragionamento aritmetico naturale, trovi anche un metodo senza equazione.

Strategia di risoluzione

Scegli l’incognita e dichiarane unità e vincoli; esprimi ogni altra quantità in funzione di essa; traduci una sola relazione del testo in un’equazione; risolvi e infine controlla il risultato nel contesto. Un valore numericamente corretto può essere inaccettabile se rende negativa una quantità, viola una capacità o non è intero quando si contano oggetti.

I 50 problemi

  1. Il manoscritto in tre giorni

    Una redattrice rilegge un manoscritto in tre giorni. Il primo giorno legge i 3/8 delle pagine. Il secondo legge il 40% delle pagine rimaste dopo il primo giorno, più altre 12 pagine. Il terzo termina leggendo le ultime 69 pagine. Quante pagine ha il manoscritto?

    Mostra la soluzione del problema 1

    Incognita. Indichiamo con x il numero totale di pagine.

    Dopo il primo giorno rimangono 5x/8 pagine; il 40% di tale quantità è (2/5)(5x/8) = x/4. Il secondo giorno vengono quindi lette x/4 + 12 pagine.

    Equazione. x − 3x/8 − (x/4 + 12) = 69.

    Passaggi. 3x/8 − 12 = 69, dunque 3x/8 = 81 e x = 216.

    Verifica. Il primo giorno si leggono 81 pagine e ne restano 135; il secondo se ne leggono 40% di 135 + 12 = 54 + 12 = 66. Restano 216 − 81 − 66 = 69 pagine, come richiesto.

    Risposta. 216 pagine

    Soluzione senza equazione

    Il 40% dei 5/8 rimasti equivale a 1/4 del manoscritto. Senza le 12 pagine aggiuntive, al terzo giorno spetterebbero quindi 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8 del totale. Rimettendo idealmente quelle 12 pagine fra le ultime, 69 + 12 = 81 rappresenta i 3/8: un ottavo vale 27 pagine e l'intero ne contiene 216.

  2. Il serbatoio dopo due operazioni

    Un serbatoio può contenere 200 litri. Da una quantità iniziale sconosciuta vengono scaricati un quinto del contenuto e, subito dopo, altri 12 litri. Si immettono quindi 30 litri. Alla fine il serbatoio è pieno per i 3/4. Quanti litri conteneva all'inizio?

    Mostra la soluzione del problema 2

    Incognita. Indichiamo con x i litri iniziali.

    Lo scarico complessivo è x/5 + 12; il livello finale è 3/4 · 200 = 150 litri.

    Equazione. x − (x/5 + 12) + 30 = 150.

    Passaggi. 4x/5 + 18 = 150, quindi 4x/5 = 132 e x = 165.

    Verifica. Un quinto di 165 è 33; scaricando anche 12 litri restano 165 − 33 − 12 = 120 litri. Dopo averne aggiunti 30 si arriva a 150, cioè ai tre quarti di 200.

    Risposta. 165 litri

    Soluzione senza equazione

    Alla fine ci sono 150 litri; prima dell'aggiunta di 30 litri ce n'erano 120. Se si restituiscono idealmente i 12 litri dello scarico fisso, 132 litri rappresentano i 4/5 del contenuto iniziale. Un quinto vale quindi 33 litri e l'inizio era di 165 litri.

  3. Le età di Luca e di sua madre

    Oggi l'età della madre di Luca supera di 4 anni il triplo dell'età di Luca. Otto anni fa, la madre aveva esattamente cinque volte l'età che Luca aveva allora. Quanti anni hanno oggi?

    Mostra la soluzione del problema 3

    Incognita. Indichiamo con x l'età attuale di Luca; quella della madre è 3x + 4.

    Equazione. Otto anni fa le età erano x − 8 e 3x + 4 − 8, quindi 3x − 4 = 5(x − 8).

    Passaggi. 3x − 4 = 5x − 40, da cui 36 = 2x e x = 18. La madre ha 3 · 18 + 4 = 58 anni.

    Verifica. Otto anni fa Luca aveva 10 anni e la madre 50; effettivamente 50 = 5 · 10. Oggi 58 = 3 · 18 + 4.

    Risposta. Luca 18 anni; sua madre 58 anni

  4. Biglietti interi e ridotti

    Per uno spettacolo vengono venduti 340 biglietti. Un biglietto intero costa 12,50 euro e uno ridotto 8 euro. L'incasso complessivo è di 3512 euro. Quanti biglietti di ciascun tipo sono stati venduti?

    Mostra la soluzione del problema 4

    Incognita. Indichiamo con x i biglietti interi; quelli ridotti sono 340 − x.

    Equazione. 12,50x + 8(340 − x) = 3512.

    Passaggi. 12,50x + 2720 − 8x = 3512, quindi 4,50x = 792 e x = 176. I ridotti sono 340 − 176 = 164.

    Verifica. 176 · 12,50 = 2200 euro e 164 · 8 = 1312 euro; 2200 + 1312 = 3512 euro e i biglietti sono 176 + 164 = 340.

    Risposta. 176 interi e 164 ridotti

    Soluzione senza equazione

    Se tutti i 340 biglietti fossero ridotti, l'incasso sarebbe 340 · 8 = 2720 euro. Mancano 792 euro. Ogni sostituzione di un ridotto con un intero aggiunge 12,50 − 8 = 4,50 euro; servono quindi 792 : 4,50 = 176 sostituzioni. I restanti 164 biglietti sono ridotti.

  5. Una miscela alla concentrazione richiesta

    Quanti chilogrammi di una soluzione salina al 18% devono essere mescolati con 5 kg di soluzione al 42% per ottenere una soluzione al 24%?

    Mostra la soluzione del problema 5

    Incognita. Indichiamo con x i chilogrammi di soluzione al 18%.

    Equazione. La massa di sale prima e dopo la miscelazione coincide: 0,18x + 0,42 · 5 = 0,24(x + 5).

    Passaggi. 0,18x + 2,10 = 0,24x + 1,20, quindi 0,90 = 0,06x e x = 15.

    Verifica. La prima soluzione contiene 15 · 0,18 = 2,7 kg di sale e la seconda 2,1 kg. In totale sono 4,8 kg di sale su 20 kg di miscela: 4,8/20 = 0,24 = 24%.

    Risposta. 15 kg di soluzione al 18%

    Soluzione senza equazione

    Con la regola delle differenze, la soluzione al 18% dista 6 punti dal 24%, mentre quella al 42% ne dista 18. Le quantità devono essere nel rapporto opposto 18 : 6 = 3 : 1. Poiché la parte al 42% pesa 5 kg, quella al 18% deve pesare 3 · 5 = 15 kg.

  6. La media dopo una correzione

    Uno studente ha otto voti registrati con media 74. Uno di essi, segnato per errore come 52, deve essere sostituito dal voto corretto. Dopo la correzione lo studente sostiene una nona prova e ottiene 86; la media dei nove voti diventa 78. Qual era il voto corretto?

    Mostra la soluzione del problema 6

    Incognita. Indichiamo con x il voto corretto.

    La somma degli otto voti registrati è 8 · 74 = 592. Si elimina 52, si inserisce x e si aggiunge 86.

    Equazione. 592 − 52 + x + 86 = 9 · 78.

    Passaggi. 626 + x = 702, quindi x = 76.

    Verifica. La somma corretta dei primi otto voti è 592 − 52 + 76 = 616; con il nono voto diventa 616 + 86 = 702 e 702/9 = 78.

    Risposta. 76

    Soluzione senza equazione

    Per avere media 78 su nove prove servono complessivamente 702 punti. I sette voti non modificati valgono 592 − 52 = 540 punti e la nona prova ne aggiunge 86: sono già noti 626 punti. Il voto mancante è quindi 702 − 626 = 76.

  7. Due velocità e una sosta

    Un pullman percorre un itinerario di 180 km. Viaggia a 60 km/h nel primo tratto e a 90 km/h nel tratto restante. Durante il viaggio effettua una sosta di 20 minuti; dalla partenza all'arrivo trascorrono in tutto 2 ore e 50 minuti. Quanto è lungo il primo tratto?

    Mostra la soluzione del problema 7

    Incognita. Indichiamo con x i chilometri percorsi a 60 km/h; il secondo tratto misura 180 − x km.

    La sosta dura 1/3 d'ora e il tempo totale è 17/6 d'ora, quindi il tempo di guida è 5/2 ore.

    Equazione. x/60 + (180 − x)/90 = 5/2.

    Passaggi. Moltiplicando per 180: 3x + 2(180 − x) = 450; dunque x + 360 = 450 e x = 90.

    Verifica. I primi 90 km richiedono 1,5 ore e gli altri 90 km 1 ora. Aggiungendo 20 minuti si ottengono 2 ore e 50 minuti.

    Risposta. 90 km

    Soluzione senza equazione

    Se tutti i 180 km fossero percorsi a 90 km/h, la guida durerebbe 2 ore; dura invece 2 ore e 30 minuti, cioè mezz'ora in più. Ogni chilometro spostato dalla velocità di 90 a quella di 60 km/h aggiunge 1/60 − 1/90 = 1/180 d'ora. Per aggiungere mezz'ora servono (1/2) · 180 = 90 km al ritmo più lento.

  8. Compensi con tariffe diverse

    Due artigiani lavorano allo stesso progetto. Ada lavora 32 ore con una tariffa oraria sconosciuta. Bruno lavora 28 ore con una tariffa del 20% superiore a quella di Ada e riceve inoltre un premio fisso di 60 euro. Il compenso complessivo è di 1700 euro. Qual è la tariffa oraria di ciascuno?

    Mostra la soluzione del problema 8

    Incognita. Indichiamo con x la tariffa oraria di Ada; quella di Bruno è 1,20x.

    Equazione. 32x + 28(1,20x) + 60 = 1700.

    Passaggi. 32x + 33,6x = 1640, quindi 65,6x = 1640 e x = 25. Bruno guadagna 1,20 · 25 = 30 euro l'ora.

    Verifica. Ada riceve 32 · 25 = 800 euro; Bruno riceve 28 · 30 + 60 = 900 euro. Il totale è 800 + 900 = 1700 euro.

    Risposta. Ada 25 €/h; Bruno 30 €/h

  9. La recinzione con un cancello

    Un cortile rettangolare ha la lunghezza superiore di 8 m ai 3/2 della larghezza. Per recintarlo si usano 102 m di rete, lasciando senza rete un cancello largo 4 m. Quali sono le dimensioni del cortile?

    Mostra la soluzione del problema 9

    Incognita. Indichiamo con x la larghezza; la lunghezza è 3x/2 + 8.

    Equazione. Dal perimetro va escluso il cancello: 2[x + (3x/2 + 8)] − 4 = 102.

    Passaggi. 5x + 12 = 102, quindi 5x = 90 e x = 18. La lunghezza è 3 · 18/2 + 8 = 35 m.

    Verifica. Il perimetro è 2(18 + 35) = 106 m; togliendo i 4 m del cancello servono esattamente 102 m di rete.

    Risposta. 18 m × 35 m

    Soluzione senza equazione

    La rete e il cancello ricostruiscono un perimetro di 102 + 4 = 106 m, quindi larghezza più lunghezza vale 53 m. Tolti gli 8 m aggiuntivi della lunghezza, restano 45 m suddivisi in 1 + 3/2 = 5/2 parti della larghezza. La larghezza è 45 : (5/2) = 18 m e la lunghezza 35 m.

  10. Il numero con le cifre invertite

    Un numero di due cifre ha somma delle cifre uguale a 11. Invertendo l'ordine delle cifre, il numero diminuisce di 27. Qual è il numero originale?

    Mostra la soluzione del problema 10

    Incognita. Indichiamo con x la cifra delle decine; quella delle unità è 11 − x.

    Il numero originale è 10x + (11 − x); quello invertito è 10(11 − x) + x.

    Equazione. [10x + (11 − x)] − [10(11 − x) + x] = 27.

    Passaggi. 18x − 99 = 27, quindi 18x = 126 e x = 7. La cifra delle unità è 4.

    Verifica. Il numero è 74: 7 + 4 = 11 e 74 − 47 = 27.

    Risposta. 74

    Soluzione senza equazione

    La differenza fra un numero di due cifre e il suo inverso è nove volte la differenza fra le cifre. Poiché 27 : 9 = 3, la cifra delle decine supera quella delle unità di 3. Due cifre con somma 11 e differenza 3 sono 7 e 4; il numero è quindi 74.

  11. Sconto e imposta in successione

    Un articolo viene venduto con uno sconto del 15% sul prezzo di listino. Sul prezzo scontato viene poi applicata un'imposta del 22%. Il cliente paga 124,44 euro. Qual era il prezzo di listino?

    Mostra la soluzione del problema 11

    Incognita. Indichiamo con x il prezzo di listino in euro.

    Lo sconto lascia l'85% del prezzo e l'imposta moltiplica il risultato per 1,22.

    Equazione. 1,22 · 0,85x = 124,44.

    Passaggi. 1,037x = 124,44, quindi x = 124,44/1,037 = 120.

    Verifica. Il 15% di 120 è 18, perciò il prezzo scontato è 102 euro. Il 22% di 102 è 22,44 euro e 102 + 22,44 = 124,44 euro.

    Risposta. 120 euro

    Soluzione senza equazione

    Si annullano le operazioni in ordine inverso. Togliendo l'imposta: 124,44 : 1,22 = 102 euro. Questi 102 euro sono l'85% del listino, quindi il prezzo iniziale è 102 : 0,85 = 120 euro.

  12. Un capitale diviso fra due rendimenti

    Un capitale di 15 000 euro viene diviso fra due investimenti annuali: il primo rende il 3,2% e il secondo il 4,7%. Dopo un anno l'interesse complessivo è di 592,50 euro. Quanto è stato investito in ciascuna soluzione?

    Mostra la soluzione del problema 12

    Incognita. Indichiamo con x la somma investita al 3,2%; al 4,7% sono investiti 15 000 − x euro.

    Equazione. 0,032x + 0,047(15 000 − x) = 592,50.

    Passaggi. 0,032x + 705 − 0,047x = 592,50, dunque 0,015x = 112,50 e x = 7500.

    Verifica. 7500 · 0,032 = 240 euro e 7500 · 0,047 = 352,50 euro; la somma è 592,50 euro.

    Risposta. 7500 euro al 3,2% e 7500 euro al 4,7%

    Soluzione senza equazione

    Il rendimento medio ottenuto è 592,50/15 000 = 3,95%. Il 3,95% si trova esattamente a metà fra 3,2% e 4,7%; perciò i due tassi devono pesare allo stesso modo. Il capitale si divide quindi in due parti uguali da 7500 euro.

  13. Andata e ritorno sul fiume

    Una barca percorre lo stesso tratto di fiume prima a favore di corrente, alla velocità di 18 km/h, e poi controcorrente, alla velocità di 12 km/h. Il tempo totale di navigazione è di 2 ore e 30 minuti. Quanto è lungo il tratto, in una sola direzione?

    Mostra la soluzione del problema 13

    Incognita. Indichiamo con x la lunghezza in chilometri del tratto percorso in ciascuna direzione.

    Equazione. La somma dei tempi è x/18 + x/12 = 5/2.

    Passaggi. Moltiplicando per 36 si ottiene 2x + 3x = 90, quindi 5x = 90 e x = 18.

    Verifica. A favore di corrente la barca impiega 18/18 = 1 ora; controcorrente impiega 18/12 = 1,5 ore. Il totale è 2,5 ore.

    Risposta. 18 km

  14. Il punto di pareggio fra due tariffe

    Per chi usa più di 50 minuti al mese, il piano A costa 24 euro e comprende i primi 50 minuti; ogni minuto successivo costa 0,08 euro. Il piano B costa 8 euro più 0,14 euro per ogni minuto, dal primo. Per quanti minuti mensili i due piani hanno lo stesso costo?

    Mostra la soluzione del problema 14

    Incognita. Indichiamo con x i minuti mensili, con x > 50.

    Equazione. 24 + 0,08(x − 50) = 8 + 0,14x.

    Passaggi. 20 + 0,08x = 8 + 0,14x, quindi 12 = 0,06x e x = 200.

    Verifica. Il piano A costa 24 + 0,08 · 150 = 36 euro; il piano B costa 8 + 0,14 · 200 = 36 euro.

    Risposta. 200 minuti; costo comune 36 euro

    Soluzione senza equazione

    A 50 minuti il piano A costa 24 euro e il B 8 + 0,14 · 50 = 15 euro: A deve recuperare 9 euro. Dopo il cinquantesimo minuto, A costa 0,06 euro in meno al minuto. Occorrono 9/0,06 = 150 minuti ulteriori, quindi il pareggio avviene a 200 minuti.

  15. Un'eredità con quote concatenate

    Un'eredità di 108 000 euro viene divisa fra Anna, Bruno e Carla. Bruno riceve 3000 euro più i 3/4 della quota di Anna. Carla riceve 4000 euro più i 2/3 della quota di Bruno. Quanto riceve ciascuno?

    Mostra la soluzione del problema 15

    Incognita. Indichiamo con x la quota di Anna. Bruno riceve 3x/4 + 3000; Carla riceve 2/3(3x/4 + 3000) + 4000.

    Equazione. x + (3x/4 + 3000) + [2/3(3x/4 + 3000) + 4000] = 108 000.

    Passaggi. La quota di Carla si semplifica in x/2 + 6000; pertanto 9x/4 + 9000 = 108 000, 9x/4 = 99 000 e x = 44 000. Bruno riceve 36 000 euro e Carla 28 000 euro.

    Verifica. 3/4 · 44 000 + 3000 = 36 000; 2/3 · 36 000 + 4000 = 28 000; infine 44 000 + 36 000 + 28 000 = 108 000.

    Risposta. Anna 44 000 euro; Bruno 36 000 euro; Carla 28 000 euro

  16. La produzione delle tre linee

    Tre linee producono insieme un lotto di componenti. La linea A realizza il 40% del totale; la linea B produce 120 componenti più della linea A. Alla linea C restano 520 componenti. Quanti componenti contiene il lotto?

    Mostra la soluzione del problema 16

    Incognita. Indichiamo con x il numero totale di componenti. A produce 0,40x e B 0,40x + 120.

    Equazione. x − 0,40x − (0,40x + 120) = 520.

    Passaggi. 0,20x − 120 = 520, quindi 0,20x = 640 e x = 3200.

    Verifica. A produce 0,40 · 3200 = 1280 componenti; B ne produce 1400 e C 520. La somma è 1280 + 1400 + 520 = 3200.

    Risposta. 3200 componenti

    Soluzione senza equazione

    Se B non avesse i 120 pezzi aggiuntivi, A e B coprirebbero insieme l'80% del lotto e a C resterebbe il 20%. Quei 120 pezzi vengono sottratti proprio alla parte di C: aggiungendoli ai 520 effettivi si ottengono 640 pezzi, pari al 20% del totale. Il lotto è quindi 640 · 5 = 3200.

  17. I libri sui tre scaffali

    Su tre scaffali ci sono in totale 249 libri. Il secondo contiene 6 libri più del 75% dei libri del primo. Il terzo contiene 18 libri più della metà dei libri del primo. Quanti libri ci sono su ciascuno scaffale?

    Mostra la soluzione del problema 17

    Incognita. Indichiamo con x i libri del primo scaffale. Il secondo ne contiene 0,75x + 6 e il terzo x/2 + 18.

    Equazione. x + (0,75x + 6) + (x/2 + 18) = 249.

    Passaggi. 2,25x + 24 = 249, quindi 2,25x = 225 e x = 100. Il secondo scaffale ha 81 libri e il terzo 68.

    Verifica. 75% di 100 + 6 = 81; 100/2 + 18 = 68; infine 100 + 81 + 68 = 249.

    Risposta. 100, 81 e 68 libri

    Soluzione senza equazione

    Togliendo dal totale i 6 e i 18 libri aggiuntivi rimangono 225 libri. Essi corrispondono a 1 + 3/4 + 1/2 = 9/4 volte il contenuto del primo scaffale. Un quarto di tale contenuto vale 225 : 9 = 25 libri; il primo scaffale ne ha quindi 100.

  18. La riserva sulla carta geografica

    Su una carta in scala 1:25 000, una riserva rettangolare ha una lunghezza superiore di 3,5 cm alla larghezza. Nella realtà il suo perimetro è di 6,75 km. Quali sono le dimensioni sulla carta e quelle reali?

    Mostra la soluzione del problema 18

    Incognita. Indichiamo con x la larghezza sulla carta, in centimetri; la lunghezza è x + 3,5. In scala 1:25 000, 1 cm corrisponde a 250 m.

    Equazione. 2[x + (x + 3,5)] · 250 = 6750.

    Passaggi. 500(2x + 3,5) = 6750, dunque 2x + 3,5 = 13,5 e x = 5. La lunghezza sulla carta è 8,5 cm.

    Verifica. Le dimensioni reali sono 5 · 250 = 1250 m e 8,5 · 250 = 2125 m. Il perimetro è 2(1250 + 2125) = 6750 m, cioè 6,75 km.

    Risposta. Carta: 5 cm × 8,5 cm; realtà: 1,25 km × 2,125 km

    Soluzione senza equazione

    Il perimetro reale di 6750 m corrisponde sulla carta a 6750 : 250 = 27 cm. Il semiperimetro è 13,5 cm: larghezza e lunghezza sommano 13,5 cm e differiscono di 3,5 cm. La minore misura vale (13,5 − 3,5) : 2 = 5 cm e la maggiore 8,5 cm.

  19. I posti disponibili in sala

    Una sala ha 18 file con lo stesso numero di posti. Dodici posti sono inutilizzabili. Dei posti rimanenti, un sesto è riservato agli invitati e 260 sono disponibili per il pubblico. Quanti posti ci sono in ogni fila?

    Mostra la soluzione del problema 19

    Incognita. Indichiamo con x i posti di ogni fila. I posti totali sono 18x e quelli utilizzabili 18x − 12.

    Poiché un sesto è riservato, i 260 posti per il pubblico rappresentano i 5/6 dei posti utilizzabili.

    Equazione. 5/6(18x − 12) = 260.

    Passaggi. 18x − 12 = 312, quindi 18x = 324 e x = 18.

    Verifica. I posti totali sono 18 · 18 = 324; tolti i 12 inutilizzabili ne restano 312. Un sesto, cioè 52, è riservato e 312 − 52 = 260 posti sono disponibili.

    Risposta. 18 posti per fila

    Soluzione senza equazione

    I 260 posti per il pubblico sono i cinque sesti dei posti utilizzabili. Un sesto vale 260 : 5 = 52, quindi i posti utilizzabili sono 52 · 6 = 312. Aggiungendo i 12 inutilizzabili si ottengono 324 posti totali; divisi in 18 file danno 18 posti per fila.

  20. Le lancette si incontrano

    Fra le 3:00 e le 4:00, a quale ora esatta la lancetta dei minuti raggiunge per la prima volta quella delle ore? Esprimere anche i secondi.

    Mostra la soluzione del problema 20

    Incognita. Indichiamo con x i minuti trascorsi dopo le 3:00.

    La lancetta dei minuti forma un angolo di 6x gradi rispetto alle 12; quella delle ore parte da 90 gradi e avanza di 0,5x gradi.

    Equazione. 6x = 90 + 0,5x.

    Passaggi. 5,5x = 90, quindi x = 180/11 = 16 4/11 minuti. I 4/11 di minuto sono 240/11 = 21 9/11 secondi.

    Verifica. A x = 180/11, entrambe le posizioni angolari valgono 6 · 180/11 = 1080/11 gradi e 90 + 0,5 · 180/11 = 1080/11 gradi.

    Risposta. 3:16:21 9/11 circa (3:16:21,82)

    Soluzione senza equazione

    Alle 3:00 la lancetta dei minuti deve recuperare 90 gradi. La sua velocità relativa rispetto a quella delle ore è 6 − 0,5 = 5,5 gradi al minuto. Il recupero richiede quindi 90 : 5,5 = 180/11 minuti, cioè 16 minuti e 21 9/11 secondi.

  21. Il lavoro iniziato insieme

    Ada completa da sola un lavoro in 12 giorni; Bruno, lavorando da solo, impiega 24 giorni. Lavorano insieme per alcuni giorni, poi Bruno lascia il progetto e Ada termina il lavoro in altri 3 giorni. Per quanti giorni hanno lavorato insieme?

    Mostra la soluzione del problema 21

    Incognita. Indichiamo con x i giorni di lavoro congiunto. In un giorno Ada esegue 1/12 del lavoro e Bruno 1/24.

    Equazione. x(1/12 + 1/24) + 3/12 = 1.

    Passaggi. x/8 + 1/4 = 1, quindi x/8 = 3/4 e x = 6.

    Verifica. Insieme completano 6 · (1/8) = 3/4 del lavoro; Ada nei tre giorni finali completa 3 · (1/12) = 1/4. Le due parti formano l'intero lavoro.

    Risposta. 6 giorni

    Soluzione senza equazione

    Dividiamo idealmente il lavoro in 24 unità. Ada ne svolge 2 al giorno e Bruno 1. Nei tre giorni finali Ada completa 6 unità, quindi prima ne erano state completate 18. Insieme producono 3 unità al giorno: per 18 unità servono 18 : 3 = 6 giorni.

  22. Il reddito ricostruito dal bilancio

    Da un reddito mensile lordo viene trattenuto il 28% per imposte. Dal netto si pagano poi 720 euro di affitto. Dei soldi rimasti dopo l'affitto, i 3/8 vengono destinati alle altre spese e restano 990 euro. Qual era il reddito lordo?

    Mostra la soluzione del problema 22

    Incognita. Indichiamo con x il reddito lordo mensile. Dopo le imposte restano 0,72x euro e dopo l'affitto 0,72x − 720.

    Poiché si spendono i 3/8, i 990 euro rappresentano i 5/8 della somma disponibile dopo l'affitto.

    Equazione. 5/8(0,72x − 720) = 990.

    Passaggi. 0,72x − 720 = 1584, quindi 0,72x = 2304 e x = 3200.

    Verifica. Il 28% di 3200 è 896; il netto è 2304 euro. Dopo 720 euro d'affitto restano 1584 euro; i 3/8 sono 594 euro e 1584 − 594 = 990.

    Risposta. 3200 euro lordi al mese

    Soluzione senza equazione

    Si procede a ritroso. Se 990 euro sono i 5/8, la somma dopo l'affitto era 990 · 8/5 = 1584 euro. Prima dell'affitto il netto era 1584 + 720 = 2304 euro. Il netto è il 72% del lordo, quindi il lordo era 2304 : 0,72 = 3200 euro.

  23. Gli angoli del triangolo

    In un triangolo, il secondo angolo supera di 18° il doppio del primo; il terzo angolo è invece 12° meno del triplo del primo. Determinare i tre angoli.

    Mostra la soluzione del problema 23

    Incognita. Indichiamo con x la misura del primo angolo. Il secondo misura 2x + 18 gradi e il terzo 3x − 12 gradi.

    Equazione. La somma degli angoli interni è 180°: x + (2x + 18) + (3x − 12) = 180.

    Passaggi. 6x + 6 = 180, quindi 6x = 174 e x = 29. Gli altri angoli sono 2 · 29 + 18 = 76 gradi e 3 · 29 − 12 = 75 gradi.

    Verifica. 29 + 76 + 75 = 180; inoltre 76 = 2 · 29 + 18 e 75 = 3 · 29 − 12. Tutti gli angoli sono positivi.

    Risposta. 29°, 76° e 75°

    Soluzione senza equazione

    Ignorando per un momento le correzioni di +18° e −12°, i tre angoli conterrebbero in tutto 1 + 2 + 3 = 6 parti uguali. Le correzioni aggiungono complessivamente 6°, quindi le sei parti di base valgono 180° − 6° = 174°. Ogni parte misura 174° : 6 = 29°; da qui si ricavano 76° e 75°.

  24. La popolazione prima dei cambiamenti

    La popolazione di un comune aumenta dell'8% in un anno. Subito dopo, 520 residenti si trasferiscono altrove e la popolazione scende a 19 352 abitanti. Quanti abitanti c'erano all'inizio dell'anno?

    Mostra la soluzione del problema 24

    Incognita. Indichiamo con x la popolazione iniziale. Dopo l'aumento dell'8% gli abitanti sono 1,08x.

    Equazione. 1,08x − 520 = 19 352.

    Passaggi. 1,08x = 19 872, quindi x = 19 872/1,08 = 18 400.

    Verifica. L'8% di 18 400 è 1472; dopo l'aumento gli abitanti sono 18 400 + 1472 = 19 872. Sottraendo 520 si ottiene 19 352.

    Risposta. 18 400 abitanti

    Soluzione senza equazione

    Si ricostruisce la situazione a ritroso. Prima dei trasferimenti gli abitanti erano 19 352 + 520 = 19 872. Questa quantità è il 108% della popolazione iniziale; dividendo per 1,08 si ottiene 19 872 : 1,08 = 18 400.

  25. Compressione, cifratura e metadati

    Un archivio digitale viene compresso, riducendo la sua dimensione del 25%. La cifratura aumenta poi dell'8% la dimensione del file compresso. Infine vengono aggiunti 12 MB di metadati; il pacchetto risultante occupa 660 MB. Qual era la dimensione originale?

    Mostra la soluzione del problema 25

    Incognita. Indichiamo con x la dimensione originale in megabyte. Dopo la compressione rimane 0,75x; dopo la cifratura diventa 1,08 · 0,75x.

    Equazione. 1,08 · 0,75x + 12 = 660.

    Passaggi. 0,81x + 12 = 660, quindi 0,81x = 648 e x = 800.

    Verifica. La compressione porta 800 MB a 800 · 0,75 = 600 MB. La cifratura porta il file a 600 · 1,08 = 648 MB; aggiungendo 12 MB si ottengono 660 MB.

    Risposta. 800 MB

    Soluzione senza equazione

    Si annullano le trasformazioni a ritroso. Tolti i metadati rimangono 660 − 12 = 648 MB. Prima dell'aumento dell'8% il file occupava 648 : 1,08 = 600 MB. Questi sono il 75% dell'originale, quindi la dimensione iniziale era 600 : 0,75 = 800 MB.

  26. Il deposito di quaderni

    Un deposito riceve un numero sconosciuto di scatole, ciascuna contenente 24 quaderni. Al controllo di qualità viene scartato il 5% di tutti i quaderni. In seguito ne arrivano altri 180 sciolti. I quaderni disponibili riempiono 74 nuovi cartoni da 30, con 12 quaderni avanzati. Quante scatole erano arrivate inizialmente?

    Mostra la soluzione del problema 26

    Incognita: sia x il numero iniziale di scatole; i quaderni ricevuti sono 24x.

    Equazione: dopo lo scarto resta il 95%, poi si aggiungono 180 quaderni: 0,95 · 24x + 180 = 74 · 30 + 12.

    Passaggi: 22,8x + 180 = 2232, quindi 22,8x = 2052 e x = 90.

    Verifica: 90 scatole contengono 90 · 24 = 2160 quaderni; il 5% è 108, quindi ne restano 2.052. Aggiungendone 180 si ottengono 2.232 quaderni, cioè 74 · 30 + 12.

    Risposta. Erano arrivate 90 scatole, cioè 2.160 quaderni.

    Soluzione senza equazione

    Alla fine ci sono 74 · 30 + 12 = 2232 quaderni. Togliendo i 180 arrivati dopo il controllo ne restano 2.052, che sono il 95% della quantità iniziale. Dividendo per 0,95 si ottengono 2.160 quaderni e dividendo ancora per 24 si trovano 90 scatole.

  27. La classifica del torneo

    Una squadra disputa 38 partite. I pareggi sono 4 in meno del doppio delle sconfitte; tutte le altre partite sono vittorie. Si assegnano 3 punti per una vittoria, 1 per un pareggio e 0 per una sconfitta. Dopo una penalizzazione di 5 punti, la squadra chiude con 82 punti. Quante vittorie, pareggi e sconfitte ha ottenuto?

    Mostra la soluzione del problema 27

    Incognita: sia x il numero delle sconfitte. I pareggi sono 2x − 4 e le vittorie sono 38 − x − (2x − 4) = 42 − 3x.

    Equazione: tenendo conto della penalizzazione, 3(42 − 3x) + (2x − 4) − 5 = 82.

    Passaggi: 126 − 9x + 2x − 4 − 5 = 82, quindi 117 − 7x = 82, 7x = 35 e x = 5. I pareggi sono 6 e le vittorie 27.

    Verifica: 27 + 6 + 5 = 38 partite; il punteggio finale è 3 · 27 + 6 − 5 = 81 + 6 − 5 = 82.

    Risposta. La squadra ha ottenuto 27 vittorie, 6 pareggi e 5 sconfitte.

  28. Il cambio con due commissioni

    Un cliente porta una somma in euro a un ufficio di cambio. L’ufficio trattiene il 2% della somma e una commissione fissa di 6 €, quindi converte ciò che resta al cambio di 1,08 dollari per euro. La banca corrispondente trattiene infine 9 $. Il cliente riceve 1.042,92 $. Quanti euro aveva consegnato?

    Mostra la soluzione del problema 28

    Incognita: sia x la somma iniziale in euro. Dopo le due commissioni in euro restano 0,98x − 6 euro.

    Equazione: dopo la conversione e la commissione in dollari, 1,08(0,98x − 6) − 9 = 1042,92.

    Passaggi: 1,08(0,98x − 6) = 1051,92, quindi 0,98x − 6 = 974, 0,98x = 980 e x = 1000.

    Verifica: il 2% di 1.000 € è 20 €; sottraendo anche 6 € restano 974 €. La conversione dà 974 · 1,08 = 1051,92 $, e dopo i 9 $ finali restano 1.042,92 $.

    Risposta. Il cliente aveva consegnato 1.000 €.

    Soluzione senza equazione

    Si annullano le operazioni a ritroso: si aggiungono 9 $ ottenendo 1.051,92 $, si divide per 1,08 ottenendo 974 €, si aggiungono i 6 € fissi ottenendo 980 €. Questi sono il 98% della somma consegnata, quindi 980 : 0,98 = 1000 €.

  29. Il treno che recupera il ritardo

    Un treno parte alle 8:15 viaggiando a 72 km/h. Un secondo treno parte dalla stessa stazione e sullo stesso percorso alle 9:05, a 96 km/h, ma effettua una sosta di 10 minuti prima di raggiungere il primo treno. A che ora lo raggiunge?

    Mostra la soluzione del problema 29

    Incognita: sia t il tempo, in ore, trascorso dalle 9:05 fino all’incontro. Il primo treno viaggia da t + 5/6 ore; il secondo è in movimento per t − 1/6 ore.

    Equazione: al raggiungimento le distanze sono uguali: 72(t + 5/6) = 96(t − 1/6).

    Passaggi: 72t + 60 = 96t − 16, quindi 76 = 24t e t = 19/6 ore, cioè 3 ore e 10 minuti. Aggiungendoli alle 9:05 si ottengono le 12:15.

    Verifica: il primo ha viaggiato 4 ore e percorre 72 · 4 = 288 km. Il secondo, esclusa la sosta, ha viaggiato 3 ore e percorre 96 · 3 = 288 km.

    Risposta. Il secondo treno raggiunge il primo alle 12:15, a 288 km dalla stazione.

  30. Il rettangolo trasformato

    La lunghezza di un rettangolo è 12 cm meno del triplo della larghezza. Se la lunghezza viene ridotta di 4 cm e la larghezza aumentata di 5 cm, il nuovo perimetro è 130 cm. Trova le dimensioni originali.

    Mostra la soluzione del problema 30

    Incognita: sia x la larghezza originale, in centimetri; la lunghezza è 3x − 12.

    Equazione: le nuove dimensioni sono x + 5 e 3x − 16, perciò 2[(x + 5) + (3x − 16)] = 130.

    Passaggi: 2(4x − 11) = 130, quindi 8x − 22 = 130, 8x = 152 e x = 19. La lunghezza originale è 3 · 19 − 12 = 45 cm.

    Verifica: le nuove dimensioni sono 24 cm e 41 cm; il perimetro è 2(24 + 41) = 130 cm.

    Risposta. Il rettangolo originale misura 19 cm × 45 cm.

    Soluzione senza equazione

    Il nuovo semiperimetro è 65 cm. Ridurre un lato di 4 cm e aumentare l’altro di 5 cm fa crescere di 1 cm la somma dei lati, quindi la somma originale era 64 cm. Poiché la lunghezza è 12 cm meno di tre larghezze, quattro larghezze meno 12 valgono 64: aggiungendo 12 e dividendo per 4 si trova la larghezza di 19 cm, poi la lunghezza di 45 cm.

  31. Il dosaggio nella simulazione

    In un’esercitazione veterinaria simulata, la dose teorica è di 5 mg per chilogrammo di massa, più una quantità fissa di 30 mg. Per le operazioni di preparazione si carica il 20% in più della dose teorica. Al termine, 18 mg restano nella linea e la quantità effettivamente erogata è 462 mg. Quale massa rappresenta l’animale della simulazione?

    Mostra la soluzione del problema 31

    Incognita: sia x la massa simulata dell’animale, in chilogrammi. La dose teorica è 5x + 30 mg e la quantità caricata è 1,20(5x + 30) mg.

    Equazione: sottraendo ciò che resta nella linea, 1,20(5x + 30) − 18 = 462.

    Passaggi: 1,20(5x + 30) = 480, quindi 5x + 30 = 400, 5x = 370 e x = 74.

    Verifica: per 74 kg la dose teorica è 5 · 74 + 30 = 400 mg. Il 20% in più porta la quantità caricata a 480 mg; sottraendo i 18 mg rimasti si ottengono 462 mg.

    Risposta. La massa simulata è 74 kg.

    Soluzione senza equazione

    Si ricostruisce il calcolo al contrario: ai 462 mg erogati si aggiungono i 18 mg rimasti, ottenendo 480 mg caricati. Togliendo il 20% aggiuntivo mediante la divisione per 1,20 si ottiene una dose teorica di 400 mg. Tolti i 30 mg fissi, i 370 mg restanti corrispondono a 5 mg/kg: 370 : 5 = 74 kg.

  32. Il numero a tre cifre

    In un numero di tre cifre, la cifra delle centinaia è il doppio di quella delle unità e la cifra delle decine è 3 in meno di quella delle centinaia. Invertendo l’ordine delle cifre, il numero diminuisce di 396. Qual è il numero?

    Mostra la soluzione del problema 32

    Incognita: sia x la cifra delle unità. Le cifre delle centinaia e delle decine sono rispettivamente 2x e 2x − 3.

    Equazione: il numero è 100(2x) + 10(2x − 3) + x; quello invertito è 100x + 10(2x − 3) + 2x. La loro differenza dà [100(2x) + 10(2x − 3) + x] − [100x + 10(2x − 3) + 2x] = 396.

    Passaggi: i termini delle decine si eliminano e resta 99x = 396, quindi x = 4. Le cifre sono 8, 5 e 4.

    Verifica: il numero è 854, quello invertito è 458 e 854 − 458 = 396; inoltre 8 = 2 · 4 e 5 = 8 − 3.

    Risposta. Il numero è 854.

    Soluzione senza equazione

    Quando si invertono centinaia e unità, la cifra delle decine non influisce sulla differenza. Ogni unità di differenza tra le cifre estreme vale 99; poiché 396 : 99 = 4, la differenza tra centinaia e unità è 4. Ma la cifra delle centinaia è il doppio di quella delle unità, quindi tale differenza coincide con la cifra delle unità: 4. Seguono le cifre 8 e 5.

  33. Le lancette perpendicolari

    Tra le 3:30 e le 4:00, in quale istante le lancette di un orologio sono perpendicolari per la prima volta? Considera il movimento continuo della lancetta delle ore.

    Mostra la soluzione del problema 33

    Incognita: sia t il numero di minuti trascorsi dalle 3:00. Nell’intervallo indicato la lancetta dei minuti è avanti a quella delle ore.

    Equazione: gli angoli rispetto alle 12 sono 6t gradi per i minuti e 90 + 0,5t per le ore. La differenza deve essere 90°: 6t − (90 + 0,5t) = 90.

    Passaggi: 5,5t − 90 = 90, quindi 5,5t = 180 e t = 360/11 = 32 8/11 minuti. Gli 8/11 di minuto sono 480/11 = 43 7/11 secondi.

    Verifica: in quell’istante la lancetta dei minuti è a 2160/11° e quella delle ore a 1170/11°; la differenza è 990/11° = 90°.

    Risposta. Alle 3:32:43 e 7/11 di secondo circa (3:32:43,64).

  34. La barca e la corrente

    Una barca mantiene 18 km/h in acqua ferma. Naviga per 2 ore e 30 minuti controcorrente e poi per 1 ora e 30 minuti a favore di corrente, percorrendo complessivamente 69 km. Qual è la velocità della corrente, supposta costante?

    Mostra la soluzione del problema 34

    Incognita: sia x la velocità della corrente in km/h. Le velocità effettive sono 18 − x controcorrente e 18 + x a favore.

    Equazione: la somma delle distanze è 2,5(18 − x) + 1,5(18 + x) = 69.

    Passaggi: 45 − 2,5x + 27 + 1,5x = 69, quindi 72 − x = 69 e x = 3.

    Verifica: controcorrente la barca viaggia a 15 km/h e percorre 2,5 · 15 = 37,5 km; a favore viaggia a 21 km/h e percorre 1,5 · 21 = 31,5 km. In totale sono 69 km.

    Risposta. La corrente ha velocità 3 km/h.

    Soluzione senza equazione

    Senza corrente, in 4 ore la barca percorrerebbe 72 km. La corrente sottrae il proprio valore per 2,5 ore e lo aggiunge per 1,5 ore: l’effetto netto equivale a sottrarre una sola volta la velocità della corrente. Poiché mancano 3 km rispetto a 72, la corrente è di 3 km/h.

  35. I biglietti dello spettacolo

    A uno spettacolo partecipano 180 persone. Gli studenti sono 10 più del doppio degli adulti; tutti gli altri sono bambini. I biglietti costano 18 € per gli adulti, 12 € per gli studenti e 7 € per i bambini. L’incasso è 2.150 €. Quanti partecipanti ci sono in ciascuna categoria?

    Mostra la soluzione del problema 35

    Incognita: sia x il numero degli adulti. Gli studenti sono 2x + 10 e i bambini 180 − x − (2x + 10) = 170 − 3x.

    Equazione: dall’incasso si ricava 18x + 12(2x + 10) + 7(170 − 3x) = 2150.

    Passaggi: 18x + 24x + 120 + 1190 − 21x = 2150, quindi 21x + 1310 = 2150, 21x = 840 e x = 40. Gli studenti sono 90 e i bambini 50.

    Verifica: 40 + 90 + 50 = 180 e l’incasso è 40 · 18 + 90 · 12 + 50 · 7 = 720 + 1080 + 350 = 2150 €.

    Risposta. Ci sono 40 adulti, 90 studenti e 50 bambini.

    Soluzione senza equazione

    Se tutti fossero bambini, l’incasso sarebbe 1.260 €. Ogni adulto al posto di un bambino aggiunge 11 €; ogni studente aggiunge 5 €. I 10 studenti fissi aggiungono 50 €, mentre per ogni adulto ci sono anche due studenti, con un aumento complessivo di 11 + 2 · 5 = 21 €. Restano da spiegare 2150 − 1260 − 50 = 840 €, cioè 40 gruppi da 21 €: dunque 40 adulti, 90 studenti e 50 bambini.

  36. Il bilancio della batteria

    Una batteria da 80 kWh parte con una quantità iniziale sconosciuta di energia. Durante un viaggio, la trazione consuma il 30% dell’energia iniziale e i servizi di bordo consumano altri 9 kWh. La frenata rigenerativa restituisce il 40% dell’energia usata dalla trazione. All’arrivo si prelevano dalla rete 20 kWh, ma l’efficienza di ricarica è dell’85%. Alla fine la batteria contiene 49 kWh. Con quanta energia e con quale percentuale di carica era partita?

    Mostra la soluzione del problema 36

    Incognita: sia x l’energia iniziale, in kWh. La trazione consuma 0,30x e la rigenerazione restituisce 0,40 · 0,30x; la ricarica aggiunge 0,85 · 20 kWh.

    Equazione: x − 0,30x − 9 + 0,40(0,30x) + 0,85 · 20 = 49.

    Passaggi: x − 0,30x + 0,12x − 9 + 17 = 49, quindi 0,82x + 8 = 49, 0,82x = 41 e x = 50.

    Verifica: la trazione usa 15 kWh e i servizi 9, lasciando 26 kWh; la rigenerazione ne restituisce 6 e la ricarica 17. Si ottiene 26 + 6 + 17 = 49 kWh. La carica iniziale era 50/80 = 62,5%.

    Risposta. La batteria era partita con 50 kWh, pari al 62,5% della capacità.

  37. La quota della gita

    Una gita è prenotata da 48 persone, tutte con la stessa quota. Otto persone rinunciano; l’organizzatore ottiene una riduzione di 320 € sul costo totale e ciascuno dei 40 partecipanti rimasti paga 4 € in più della quota originaria. Qual era la quota iniziale?

    Mostra la soluzione del problema 37

    Incognita: sia x la quota originaria, in euro. Il costo iniziale era 48x.

    Equazione: dopo la riduzione il costo è 48x − 320, coperto da 40 quote di x + 4: 40(x + 4) = 48x − 320.

    Passaggi: 40x + 160 = 48x − 320, quindi 480 = 8x e x = 60.

    Verifica: il costo iniziale era 48 · 60 = 2880 €. Quello ridotto è 2.560 € e i 40 partecipanti pagano 40 · 64 = 2560 €.

    Risposta. La quota iniziale era 60 € a persona.

    Soluzione senza equazione

    Le otto rinunce eliminano otto quote iniziali. I partecipanti rimasti raccolgono 160 € in più e lo sconto copre altri 320 €: insieme sostituiscono 480 €, pari alle otto quote mancanti. Ogni quota vale quindi 480 : 8 = 60 €.

  38. Sale aggiunto ed evaporazione

    Un recipiente contiene 72 kg di soluzione salina al 25%. Si aggiungono 6 kg di sale puro e poi si lascia evaporare soltanto acqua finché la concentrazione raggiunge il 40%. Quanti chilogrammi d’acqua evaporano?

    Mostra la soluzione del problema 38

    Incognita: sia x la massa d’acqua evaporata, in chilogrammi. All’inizio ci sono 0,25 · 72 = 18 kg di sale; dopo l’aggiunta diventano 24 kg, mentre la massa totale prima dell’evaporazione è 78 kg.

    Equazione: dopo l’evaporazione la massa totale è 78 − x e il sale ne costituisce il 40%: 24 = 0,40(78 − x).

    Passaggi: 24 = 31,2 − 0,40x, quindi 0,40x = 7,2 e x = 18.

    Verifica: restano 78 − 18 = 60 kg di soluzione, contenenti 24 kg di sale; 24/60 = 0,40, cioè il 40%.

    Risposta. Evaporano 18 kg d’acqua.

    Soluzione senza equazione

    Dopo l’aggiunta ci sono 24 kg di sale, che non evaporano. Se questi devono rappresentare il 40% della soluzione finale, la massa finale è 24 : 0,40 = 60 kg. Prima dell’evaporazione erano 78 kg, quindi evaporano 18 kg d’acqua.

  39. Le due stampanti

    Una stampante produce 40 pagine al minuto. Una seconda, che produce 55 pagine al minuto, viene avviata 6 minuti dopo la prima. Le due stampanti si fermano nello stesso istante, quando hanno prodotto complessivamente 2.520 pagine. Per quanto tempo ha funzionato ciascuna?

    Mostra la soluzione del problema 39

    Incognita: sia t il tempo di funzionamento della prima stampante, in minuti. La seconda funziona per t − 6 minuti.

    Equazione: la produzione totale è 40t + 55(t − 6) = 2520.

    Passaggi: 40t + 55t − 330 = 2520, dunque 95t = 2850 e t = 30. La seconda funziona per 24 minuti.

    Verifica: la prima produce 40 · 30 = 1200 pagine e la seconda 55 · 24 = 1320; il totale è 2.520 pagine.

    Risposta. La prima stampante funziona 30 minuti e la seconda 24 minuti.

    Soluzione senza equazione

    Nei primi 6 minuti la prima stampante produce 240 pagine. Restano 2.280 pagine, prodotte poi insieme alla velocità di 40 + 55 = 95 pagine al minuto: occorrono 2280 : 95 = 24 minuti. La prima funziona quindi 30 minuti e la seconda 24.

  40. Gli angoli del trapezio

    In un trapezio isoscele, ogni angolo acuto misura 8° in meno dei tre quinti di ogni angolo ottuso. Determina l’ampiezza dei quattro angoli.

    Mostra la soluzione del problema 40

    Incognita: sia x la misura, in gradi, di un angolo ottuso. Un angolo acuto adiacente misura 180 − x, perché gli angoli lungo ciascun lato obliquo sono supplementari.

    Equazione: la relazione data diventa 180 − x = (3/5)x − 8.

    Passaggi: 188 = x + (3/5)x = (8/5)x, quindi x = 188 · 5/8 = 117,5. L’angolo acuto misura 180 − 117,5 = 62,5 gradi.

    Verifica: i tre quinti di 117,5° sono 70,5° e 70,5° − 8° = 62,5°; inoltre 117,5° + 62,5° = 180°.

    Risposta. Gli angoli sono 62,5°, 62,5°, 117,5° e 117,5°.

  41. Le banconote nella cassa

    Una cassa contiene soltanto banconote da 5 €, 10 € e 20 €, per un totale di 87 banconote. Le banconote da 5 € sono 12 più di quelle da 10 €, mentre quelle da 20 € sono la metà di quelle da 10 €. Quante banconote di ciascun tipo ci sono e qual è il valore complessivo?

    Mostra la soluzione del problema 41

    Incognita: sia x il numero di banconote da 10 €. Quelle da 5 € sono x + 12 e quelle da 20 € sono x/2.

    Equazione: contando le banconote, x + (x + 12) + x/2 = 87.

    Passaggi: (5/2)x + 12 = 87, quindi (5/2)x = 75 e x = 30. Ci sono 42 banconote da 5 € e 15 da 20 €.

    Verifica: 42 + 30 + 15 = 87. Il valore è 42 · 5 + 30 · 10 + 15 · 20 = 210 + 300 + 300 = 810 €.

    Risposta. Ci sono 42 banconote da 5 €, 30 da 10 € e 15 da 20 €, per un totale di 810 €.

    Soluzione senza equazione

    Tolte le 12 banconote da 5 € in più, restano 75 banconote. Queste si possono raggruppare in pacchetti formati da due banconote da 5 €, due da 10 € e una da 20 €: cinque banconote per pacchetto, rispettando il rapporto richiesto. I pacchetti sono 15, quindi le quantità di base sono 30, 30 e 15; riaggiungendo le 12 banconote da 5 € si ottengono 42, 30 e 15.

  42. Le età di una famiglia

    In una famiglia di quattro persone, il padre ha 4 anni più del triplo dell’età del figlio. La madre ha 2 anni meno del padre e la sorella ha 3 anni meno del figlio. La somma delle quattro età è 123 anni. Determina l’età di ciascuno.

    Mostra la soluzione del problema 42

    Incognita: sia x l’età del figlio. Il padre ha 3x + 4 anni, la madre 3x + 2 e la sorella x − 3.

    Equazione: la somma delle età dà x + (3x + 4) + (3x + 2) + (x − 3) = 123.

    Passaggi: 8x + 3 = 123, quindi 8x = 120 e x = 15. Il padre ha 49 anni, la madre 47 e la sorella 12.

    Verifica: 15 + 49 + 47 + 12 = 123; inoltre 49 = 3 · 15 + 4, 47 = 49 − 2 e 12 = 15 − 3.

    Risposta. Il figlio ha 15 anni, la sorella 12, la madre 47 e il padre 49.

    Soluzione senza equazione

    Considerando otto volte l’età del figlio, le correzioni fisse delle altre età sommano 4 + 2 − 3 = 3 anni. Tolti questi 3 anni dal totale, restano 120 anni, pari a otto età del figlio: 120 : 8 = 15. Le altre età seguono direttamente.

  43. Un viaggio in tre tappe

    Un turista cammina a 5 km/h per un certo tempo. Poi pedala a 18 km/h per mezz’ora meno del tempo trascorso a piedi. Infine viaggia in autobus per 45 minuti a 40 km/h. La distanza totale è 67 km. Quanto dura l’intero viaggio?

    Mostra la soluzione del problema 43

    Incognita: sia x il tempo a piedi, in ore. Il tratto in bicicletta dura x − 0,5 ore e quello in autobus 0,75 ore.

    Equazione: sommando le distanze, 5x + 18(x − 0,5) + 40 · 0,75 = 67.

    Passaggi: 5x + 18x − 9 + 30 = 67, quindi 23x + 21 = 67, 23x = 46 e x = 2. La bicicletta dura 1,5 ore.

    Verifica: le distanze sono 5 · 2 = 10 km, 18 · 1,5 = 27 km e 40 · 0,75 = 30 km; la somma è 67 km. Il tempo totale è 2 + 1,5 + 0,75 = 4,25 ore.

    Risposta. Il viaggio dura 4 ore e 15 minuti.

  44. La revisione delle schede elettorali

    Nel conteggio preliminare di 1.200 schede, tutte considerate valide, il candidato A riceve un numero sconosciuto di voti e B riceve i restanti. La revisione annulla il 5% delle schede inizialmente attribuite ad A; inoltre, 60 schede valide assegnate per errore a B vengono trasferite ad A. Dopo le correzioni, A possiede i 7/13 dei voti validi. Quanti voti erano stati attribuiti inizialmente a ciascun candidato?

    Mostra la soluzione del problema 44

    Incognita: sia x il numero iniziale di voti di A; B ne aveva 1200 − x. Dopo gli annullamenti e il trasferimento, A ha 19x/20 + 60 voti e il totale valido è 1200 − x/20.

    Equazione: 19x/20 + 60 = (7/13)(1200 − x/20).

    Passaggi: moltiplicando per 260, 247x + 15600 = 168000 − 7x; quindi 254x = 152400 e x = 600. Anche B aveva inizialmente 600 voti.

    Verifica: il 5% di 600 è 30: dopo l’annullamento A scende a 570 voti e, con il trasferimento, sale a 630; B scende a 540. I voti validi sono 1.170 e 630/1170 = 7/13.

    Risposta. Nel conteggio preliminare A e B avevano 600 voti ciascuno.

  45. Il carico dei pallet

    Un autocarro vuoto con il conducente pesa 9.080 kg e porta un modulo frigorifero da 420 kg. Viene caricato con pallet identici: ogni pallet ha una tara di 30 kg e contiene 45 colli, ciascuno formato da 5,5 kg di prodotto e 0,5 kg di imballaggio. Alla pesa il veicolo segna 17.300 kg. Quanti pallet e quanti colli trasporta?

    Mostra la soluzione del problema 45

    Incognita: sia x il numero dei pallet. Ogni collo pesa 5,5 + 0,5 = 6 kg, quindi un pallet carico pesa 30 + 45 · 6 = 300 kg.

    Equazione: 9080 + 420 + x[30 + 45(5,5 + 0,5)] = 17300.

    Passaggi: 9500 + 300x = 17300, quindi 300x = 7800 e x = 26. I colli sono 26 · 45 = 1170.

    Verifica: i pallet carichi pesano 26 · 300 = 7800 kg; aggiungendo i 9.080 kg del veicolo e i 420 kg del modulo si ottengono 17.300 kg.

    Risposta. L’autocarro trasporta 26 pallet e 1.170 colli.

    Soluzione senza equazione

    Si sottraggono dal peso totale i 9.500 kg fissi di veicolo e modulo: restano 7.800 kg di carico. Ogni unità pallet pesa 30 kg di tara più 270 kg di colli, cioè 300 kg. Sono quindi 7800 : 300 = 26 pallet e 26 · 45 = 1170 colli.

  46. Il sensore non calibrato

    La temperatura reale è C gradi Celsius, ma un sensore non calibrato invia al software il valore S = 0,95C + 2. Il software converte il valore ricevuto S in Fahrenheit mediante F = (9/5)S + 32. In un certo istante, il numero visualizzato in Fahrenheit è 24 in più del doppio della temperatura Celsius reale. Qual è la temperatura reale e che cosa mostra il display?

    Mostra la soluzione del problema 46

    Incognita: sia x la temperatura reale in gradi Celsius. Il sensore invia 0,95x + 2 e il display mostra (9/5)(0,95x + 2) + 32.

    Equazione: (9/5)(0,95x + 2) + 32 = 2x + 24.

    Passaggi: 1,71x + 3,6 + 32 = 2x + 24, quindi 11,6 = 0,29x e x = 40.

    Verifica: con 40 °C il sensore invia 0,95 · 40 + 2 = 40. Il software mostra (9/5) · 40 + 32 = 104 °F, e 2 · 40 + 24 = 104.

    Risposta. La temperatura reale è 40 °C e il display mostra 104 °F.

  47. La vasca con ingresso e scarico

    Una vasca contiene 240 litri d’acqua. Un tubo immette 18 litri al minuto, mentre uno scarico ne elimina 25 al minuto. I due flussi funzionano insieme per un certo tempo; poi lo scarico viene chiuso e il solo tubo di ingresso resta aperto per altri 6 minuti. Alla fine ci sono 264 litri. Dopo quanti minuti è stato chiuso lo scarico?

    Mostra la soluzione del problema 47

    Incognita: sia x il numero di minuti in cui ingresso e scarico funzionano insieme. In questa fase il volume diminuisce di 25 − 18 = 7 litri al minuto.

    Equazione: al volume iniziale si sottrae la perdita della prima fase e si aggiungono i 18 · 6 = 108 litri finali: 240 − 7x + 108 = 264.

    Passaggi: 348 − 7x = 264, quindi 7x = 84 e x = 12.

    Verifica: dopo 12 minuti con entrambi i flussi restano 240 − 7 · 12 = 156 litri; nei 6 minuti successivi entrano 108 litri e 156 + 108 = 264.

    Risposta. Lo scarico è stato chiuso dopo 12 minuti; l’intero processo dura 18 minuti.

    Soluzione senza equazione

    Prima degli ultimi 6 minuti la vasca doveva contenere 264 − 108 = 156 litri. Rispetto ai 240 iniziali ne aveva persi 84. Poiché con i due flussi aperti perde 7 litri al minuto, lo scarico è stato chiuso dopo 84 : 7 = 12 minuti.

  48. La trave in equilibrio

    Una trave uniforme lunga 4 m e di massa 18 kg è appoggiata su un fulcro posto a 1,5 m dall’estremità sinistra. Una cassa di massa sconosciuta è collocata all’estremità sinistra; un carico di 30 kg si trova a 0,8 m dalla stessa estremità e un carico di 24 kg all’estremità destra. La trave è in equilibrio orizzontale. Qual è la massa della cassa? Trascurare lo spessore dei carichi.

    Mostra la soluzione del problema 48

    Incognita: sia x la massa della cassa, in chilogrammi. Rispetto al fulcro, la cassa ha braccio 1,5 m e il carico da 30 kg ha braccio 1,5 − 0,8 = 0,7 m a sinistra. A destra, il carico da 24 kg ha braccio 2,5 m e il peso della trave, applicato al centro, ha braccio 0,5 m.

    Equazione: uguagliando i momenti e semplificando l’accelerazione di gravità, 1,5x + 0,7 · 30 = 2,5 · 24 + 0,5 · 18.

    Passaggi: 1,5x + 21 = 60 + 9, quindi 1,5x = 48 e x = 32.

    Verifica: il momento totale a sinistra è 1,5 · 32 + 0,7 · 30 = 48 + 21 = 69; a destra è 2,5 · 24 + 0,5 · 18 = 60 + 9 = 69.

    Risposta. La cassa ha massa 32 kg.

    Soluzione senza equazione

    I momenti noti a destra totalizzano 69 unità, mentre il carico noto a sinistra ne fornisce 21. Alla cassa spettano quindi 48 unità di momento. Poiché si trova a 1,5 m dal fulcro, la sua massa è 48 : 1,5 = 32 kg.

  49. La produzione dopo il controllo qualità

    La linea A produce un numero sconosciuto di componenti; la linea B ne produce 400 in più. Il controllo qualità scarta il 3% della produzione di A e l’8% di quella di B. Fra i componenti risultati conformi, 120 vengono poi destinati a prove distruttive. Restano 3.272 componenti vendibili. Quanti componenti aveva prodotto ciascuna linea?

    Mostra la soluzione del problema 49

    Incognita: sia x la produzione della linea A. La linea B produce x + 400; dopo il controllo restano rispettivamente 0,97x e 0,92(x + 400) componenti conformi.

    Equazione: 0,97x + 0,92(x + 400) − 120 = 3272.

    Passaggi: 0,97x + 0,92x + 368 − 120 = 3272, quindi 1,89x + 248 = 3272, 1,89x = 3024 e x = 1600. La linea B ne produce 2.000.

    Verifica: A scarta 3% di 1600 = 48 componenti e ne conserva 1.552; B scarta 8% di 2000 = 160 e ne conserva 1.840. I conformi sono 3.392 e, tolti i 120 per le prove, ne restano 3.272.

    Risposta. La linea A aveva prodotto 1.600 componenti e la linea B 2.000.

  50. La media ponderata

    Quattro prove contribuiscono al voto finale con pesi del 20%, 25%, 25% e 30%. I voti sono rispettivamente 78, 84, un voto incognito e 92. Dopo aver calcolato la media ponderata, vengono aggiunti 2 punti bonus e il risultato finale è 85,2. Qual è il voto incognito?

    Mostra la soluzione del problema 50

    Incognita: sia x il voto della terza prova.

    Equazione: 0,20 · 78 + 0,25 · 84 + 0,25x + 0,30 · 92 + 2 = 85,2.

    Passaggi: i contributi noti, bonus compreso, valgono 15,6 + 21 + 27,6 + 2 = 66,2. Quindi 66,2 + 0,25x = 85,2, 0,25x = 19 e x = 76.

    Verifica: la media prima del bonus è 15,6 + 21 + 0,25 · 76 + 27,6 = 15,6 + 21 + 19 + 27,6 = 83,2; aggiungendo 2 si ottiene 85,2.

    Risposta. Il voto della terza prova è 76.

    Soluzione senza equazione

    Dal risultato finale si sottraggono il bonus e i tre contributi noti: 85,2 − 2 − 15,6 − 21 − 27,6 = 19. Questi 19 punti sono il 25% del voto mancante; dividendo per 0,25 si trova 76.