Aperçu de la structure

50 problèmes difficiles du premier degré avec solutions

Cinquante problèmes contextualisés de niveau avancé, résolubles par des équations du premier degré. Les solutions sont masquées et proposent parfois une méthode sans équation.

Articles /50-problemes-difficiles-premier-degre-avec-solutions

75 min

Ce recueil propose cinquante problèmes difficiles du premier degré. Pourcentages, âges, vitesses, mélanges, travail, géométrie et partages cachent tous la même structure : une relation linéaire à une inconnue.

Comment utiliser le recueil. Essayez d’abord de construire vous-même le modèle. Ouvrez ensuite la solution du problème pour comparer l’équation, les étapes et la vérification. Lorsqu’un raisonnement arithmétique naturel existe, une méthode sans équation est également proposée.

Stratégie de résolution

Choisissez l’inconnue et précisez son unité et ses contraintes ; exprimez chaque autre quantité en fonction d’elle ; traduisez une seule relation du texte par une équation ; résolvez-la, puis vérifiez le résultat dans le contexte. Une valeur numériquement correcte peut être impossible si elle rend une quantité négative, dépasse une capacité ou n’est pas entière lorsqu’on compte des objets.

Les 50 problèmes

  1. Le manuscrit en trois jours

    Une correctrice relit un manuscrit en trois jours. Le premier jour, elle lit les 3/8 des pages. Le deuxième, elle lit 40 % des pages qui restaient après le premier jour, puis 12 pages supplémentaires. Le troisième, elle termine en lisant les 69 dernières pages. Combien de pages le manuscrit contient-il ?

    Afficher la solution du problème 1

    Inconnue. Notons x le nombre total de pages.

    Après le premier jour, il reste 5x/8 pages ; 40 % de cette quantité vaut (2/5)(5x/8) = x/4. Le deuxième jour, elle lit donc x/4 + 12 pages.

    Équation. x − 3x/8 − (x/4 + 12) = 69.

    Étapes. 3x/8 − 12 = 69, donc 3x/8 = 81 et x = 216.

    Vérification. Le premier jour, elle lit 81 pages et il en reste 135 ; le deuxième, elle en lit 40 % de 135 + 12 = 54 + 12 = 66. Il reste bien 216 − 81 − 66 = 69 pages.

    Réponse. 216 pages

    Solution sans équation

    Quarante pour cent des 5/8 restants représentent 1/4 du manuscrit. Sans les 12 pages supplémentaires, la part du troisième jour serait donc 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8 du total. En replaçant mentalement ces 12 pages parmi les dernières, 69 + 12 = 81 représente les 3/8. Un huitième vaut 27 pages, donc le manuscrit entier en compte 216.

  2. La cuve après deux opérations

    Une cuve peut contenir 200 litres. À partir d'une quantité initiale inconnue, on vide un cinquième du contenu, puis encore 12 litres. On ajoute ensuite 30 litres. À la fin, la cuve est remplie aux 3/4. Combien de litres contenait-elle au départ ?

    Afficher la solution du problème 2

    Inconnue. Notons x le nombre initial de litres.

    La quantité totale retirée vaut x/5 + 12 ; le niveau final est de 3/4 · 200 = 150 litres.

    Équation. x − (x/5 + 12) + 30 = 150.

    Étapes. 4x/5 + 18 = 150, donc 4x/5 = 132 et x = 165.

    Vérification. Un cinquième de 165 vaut 33 ; en retirant aussi 12 litres, il reste 165 − 33 − 12 = 120 litres. Après l'ajout de 30 litres, on obtient 150 litres, soit les trois quarts de 200.

    Réponse. 165 litres

    Solution sans équation

    À la fin, il y a 150 litres ; avant l'ajout de 30 litres, il y en avait donc 120. En restituant mentalement les 12 litres du retrait fixe, 132 litres représentent les 4/5 du contenu initial. Un cinquième vaut alors 33 litres et la quantité initiale était de 165 litres.

  3. Les âges de Luca et de sa mère

    Aujourd'hui, l'âge de la mère de Luca dépasse de 4 ans le triple de l'âge de Luca. Il y a huit ans, la mère avait exactement cinq fois l'âge que Luca avait alors. Quels âges ont-ils aujourd'hui ?

    Afficher la solution du problème 3

    Inconnue. Notons x l'âge actuel de Luca ; celui de sa mère est 3x + 4.

    Équation. Il y a huit ans, leurs âges étaient x − 8 et 3x + 4 − 8, donc 3x − 4 = 5(x − 8).

    Étapes. 3x − 4 = 5x − 40, d'où 36 = 2x et x = 18. Sa mère a 3 · 18 + 4 = 58 ans.

    Vérification. Il y a huit ans, Luca avait 10 ans et sa mère 50 ; on a bien 50 = 5 · 10. Aujourd'hui, 58 = 3 · 18 + 4.

    Réponse. Luca a 18 ans ; sa mère a 58 ans

  4. Billets plein tarif et tarif réduit

    Pour un spectacle, 340 billets sont vendus. Un billet plein tarif coûte 12,50 euros et un billet à tarif réduit 8 euros. La recette totale est de 3 512 euros. Combien de billets de chaque catégorie ont été vendus ?

    Afficher la solution du problème 4

    Inconnue. Notons x le nombre de billets plein tarif ; il y a 340 − x billets à tarif réduit.

    Équation. 12,50x + 8(340 − x) = 3512.

    Étapes. 12,50x + 2720 − 8x = 3512, donc 4,50x = 792 et x = 176. Le nombre de billets réduits est 340 − 176 = 164.

    Vérification. 176 · 12,50 = 2200 euros et 164 · 8 = 1312 euros ; 2200 + 1312 = 3512 euros et 176 + 164 = 340 billets.

    Réponse. 176 billets plein tarif et 164 billets réduits

    Solution sans équation

    Si les 340 billets étaient tous à tarif réduit, la recette serait de 340 · 8 = 2720 euros, soit 792 euros de moins. Remplacer un billet réduit par un billet plein tarif ajoute 12,50 − 8 = 4,50 euros ; il faut donc 792 : 4,50 = 176 remplacements. Les 164 autres billets sont à tarif réduit.

  5. Un mélange à la concentration demandée

    Combien de kilogrammes d'une solution saline à 18 % faut-il mélanger avec 5 kg d'une solution à 42 % pour obtenir une solution à 24 % ?

    Afficher la solution du problème 5

    Inconnue. Notons x la masse, en kilogrammes, de solution à 18 %.

    Équation. La masse de sel avant et après le mélange est la même : 0,18x + 0,42 · 5 = 0,24(x + 5).

    Étapes. 0,18x + 2,10 = 0,24x + 1,20, donc 0,90 = 0,06x et x = 15.

    Vérification. La première solution contient 15 · 0,18 = 2,7 kg de sel et la seconde 2,1 kg. Cela donne 4,8 kg de sel dans 20 kg de mélange : 4,8/20 = 0,24 = 24 %.

    Réponse. 15 kg de solution à 18 %

    Solution sans équation

    Par la règle des écarts, 18 % se trouve 6 points sous 24 %, tandis que 42 % se trouve 18 points au-dessus. Les quantités doivent être dans le rapport inverse 18 : 6 = 3 : 1. Comme la part à 42 % pèse 5 kg, celle à 18 % doit peser 3 · 5 = 15 kg.

  6. La moyenne après une correction

    Un élève a huit notes enregistrées dont la moyenne est 74. L'une d'elles, saisie par erreur comme 52, doit être remplacée par la note correcte. Après la correction, l'élève passe une neuvième épreuve et obtient 86 ; la moyenne des neuf notes devient 78. Quelle était la note correcte ?

    Afficher la solution du problème 6

    Inconnue. Notons x la note correcte.

    La somme des huit notes enregistrées vaut 8 · 74 = 592. On retire 52, on insère x et on ajoute 86.

    Équation. 592 − 52 + x + 86 = 9 · 78.

    Étapes. 626 + x = 702, donc x = 76.

    Vérification. Le total corrigé des huit premières notes vaut 592 − 52 + 76 = 616 ; avec la neuvième, il devient 616 + 86 = 702, et 702/9 = 78.

    Réponse. 76

    Solution sans équation

    Une moyenne de 78 sur neuf épreuves exige 702 points au total. Les sept notes inchangées apportent 592 − 52 = 540 points et la neuvième épreuve en ajoute 86 : 626 points sont déjà connus. La note manquante est donc 702 − 626 = 76.

  7. Deux vitesses et un arrêt

    Un autocar parcourt un itinéraire de 180 km. Il roule à 60 km/h sur le premier tronçon et à 90 km/h sur le reste du trajet. Il effectue un arrêt de 20 minutes ; entre le départ et l'arrivée, il s'écoule au total 2 heures et 50 minutes. Quelle est la longueur du premier tronçon ?

    Afficher la solution du problème 7

    Inconnue. Notons x les kilomètres parcourus à 60 km/h ; le second tronçon mesure 180 − x km.

    L'arrêt dure 1/3 d'heure et le temps total est de 17/6 d'heure ; le temps de conduite est donc de 5/2 heures.

    Équation. x/60 + (180 − x)/90 = 5/2.

    Étapes. En multipliant par 180 : 3x + 2(180 − x) = 450 ; ainsi x + 360 = 450 et x = 90.

    Vérification. Les 90 premiers kilomètres demandent 1,5 heure et les 90 autres 1 heure. Avec l'arrêt de 20 minutes, on obtient 2 heures et 50 minutes.

    Réponse. 90 km

    Solution sans équation

    Si les 180 km étaient tous parcourus à 90 km/h, la conduite durerait 2 heures ; elle dure en réalité 2 heures 30 minutes, soit une demi-heure de plus. Chaque kilomètre transféré de la vitesse de 90 à celle de 60 km/h ajoute 1/60 − 1/90 = 1/180 d'heure. Pour ajouter une demi-heure, il faut donc (1/2) · 180 = 90 km à la vitesse la plus faible.

  8. Rémunérations à des tarifs différents

    Deux artisans travaillent sur le même projet. Ada travaille 32 heures à un tarif horaire inconnu. Bruno travaille 28 heures à un tarif supérieur de 20 % à celui d'Ada et reçoit en plus une prime fixe de 60 euros. Leur rémunération totale est de 1 700 euros. Quel est le tarif horaire de chacun ?

    Afficher la solution du problème 8

    Inconnue. Notons x le tarif horaire d'Ada ; celui de Bruno vaut 1,20x.

    Équation. 32x + 28(1,20x) + 60 = 1700.

    Étapes. 32x + 33,6x = 1640, donc 65,6x = 1640 et x = 25. Bruno gagne 1,20 · 25 = 30 euros par heure.

    Vérification. Ada reçoit 32 · 25 = 800 euros ; Bruno reçoit 28 · 30 + 60 = 900 euros. Le total vaut 800 + 900 = 1700 euros.

    Réponse. Ada 25 €/h ; Bruno 30 €/h

  9. La clôture et son portail

    La longueur d'une cour rectangulaire dépasse de 8 m les 3/2 de sa largeur. Pour la clôturer, on utilise 102 m de grillage en laissant sans grillage un portail large de 4 m. Quelles sont les dimensions de la cour ?

    Afficher la solution du problème 9

    Inconnue. Notons x la largeur ; la longueur vaut 3x/2 + 8.

    Équation. Le portail est exclu du périmètre grillagé : 2[x + (3x/2 + 8)] − 4 = 102.

    Étapes. 5x + 12 = 102, donc 5x = 90 et x = 18. La longueur vaut 3 · 18/2 + 8 = 35 m.

    Vérification. Le périmètre est de 2(18 + 35) = 106 m ; sans les 4 m du portail, il faut exactement 102 m de grillage.

    Réponse. 18 m × 35 m

    Solution sans équation

    Le grillage et le portail reconstituent un périmètre de 102 + 4 = 106 m ; largeur plus longueur vaut donc 53 m. Après avoir retiré les 8 m supplémentaires de la longueur, 45 m correspondent à 1 + 3/2 = 5/2 parts de largeur. La largeur vaut 45 : (5/2) = 18 m et la longueur 35 m.

  10. Le nombre aux chiffres inversés

    Un nombre à deux chiffres a des chiffres dont la somme vaut 11. Lorsqu'on inverse l'ordre des chiffres, le nombre diminue de 27. Quel est le nombre initial ?

    Afficher la solution du problème 10

    Inconnue. Notons x le chiffre des dizaines ; le chiffre des unités est 11 − x.

    Le nombre initial est 10x + (11 − x) ; le nombre inversé est 10(11 − x) + x.

    Équation. [10x + (11 − x)] − [10(11 − x) + x] = 27.

    Étapes. 18x − 99 = 27, donc 18x = 126 et x = 7. Le chiffre des unités est 4.

    Vérification. Le nombre est 74 : 7 + 4 = 11 et 74 − 47 = 27.

    Réponse. 74

    Solution sans équation

    La différence entre un nombre à deux chiffres et son renversé vaut neuf fois la différence entre ses chiffres. Comme 27 : 9 = 3, le chiffre des dizaines dépasse celui des unités de 3. Les deux chiffres dont la somme vaut 11 et la différence 3 sont 7 et 4 ; le nombre est donc 74.

  11. Réduction et taxe successives

    Un article est vendu avec une réduction de 15 % sur son prix catalogue. Une taxe de 22 % est ensuite appliquée au prix réduit. Le client paie 124,44 euros. Quel était le prix catalogue ?

    Afficher la solution du problème 11

    Inconnue. Notons x le prix catalogue en euros.

    La réduction laisse 85 % du prix, puis la taxe multiplie ce résultat par 1,22.

    Équation. 1,22 · 0,85x = 124,44.

    Étapes. 1,037x = 124,44, donc x = 124,44/1,037 = 120.

    Vérification. Quinze pour cent de 120 valent 18, donc le prix réduit est de 102 euros. Vingt-deux pour cent de 102 valent 22,44 euros et 102 + 22,44 = 124,44 euros.

    Réponse. 120 euros

    Solution sans équation

    On annule les opérations dans l'ordre inverse. Sans la taxe : 124,44 : 1,22 = 102 euros. Ces 102 euros représentent 85 % du prix catalogue, donc le prix initial est 102 : 0,85 = 120 euros.

  12. Un capital partagé entre deux rendements

    Un capital de 15 000 euros est partagé entre deux placements annuels : le premier rapporte 3,2 % et le second 4,7 %. Après un an, les intérêts totaux s'élèvent à 592,50 euros. Quelle somme a été placée dans chaque solution ?

    Afficher la solution du problème 12

    Inconnue. Notons x la somme placée à 3,2 % ; la somme placée à 4,7 % vaut 15 000 − x euros.

    Équation. 0,032x + 0,047(15 000 − x) = 592,50.

    Étapes. 0,032x + 705 − 0,047x = 592,50, donc 0,015x = 112,50 et x = 7500.

    Vérification. 7500 · 0,032 = 240 euros et 7500 · 0,047 = 352,50 euros ; leur somme vaut 592,50 euros.

    Réponse. 7 500 euros à 3,2 % et 7 500 euros à 4,7 %

    Solution sans équation

    Le rendement moyen obtenu est 592,50/15 000 = 3,95 %. Comme 3,95 % se trouve exactement à mi-chemin entre 3,2 % et 4,7 %, les deux taux doivent avoir le même poids. Le capital se partage donc en deux sommes égales de 7 500 euros.

  13. Aller-retour sur la rivière

    Un bateau parcourt le même tronçon de rivière d'abord dans le sens du courant, à 18 km/h, puis à contre-courant, à 12 km/h. Le temps total de navigation est de 2 heures et 30 minutes. Quelle est la longueur du tronçon dans un seul sens ?

    Afficher la solution du problème 13

    Inconnue. Notons x la longueur, en kilomètres, parcourue dans chaque sens.

    Équation. La somme des durées est x/18 + x/12 = 5/2.

    Étapes. En multipliant par 36, on obtient 2x + 3x = 90, donc 5x = 90 et x = 18.

    Vérification. Dans le sens du courant, le bateau met 18/18 = 1 heure ; à contre-courant, il met 18/12 = 1,5 heure. Le total est de 2,5 heures.

    Réponse. 18 km

  14. Le seuil d'égalité entre deux forfaits

    Pour une utilisation supérieure à 50 minutes par mois, le forfait A coûte 24 euros et comprend les 50 premières minutes ; chaque minute suivante coûte 0,08 euro. Le forfait B coûte 8 euros plus 0,14 euro pour chaque minute, dès la première. Pour combien de minutes mensuelles les deux forfaits ont-ils le même coût ?

    Afficher la solution du problème 14

    Inconnue. Notons x le nombre de minutes mensuelles, avec x > 50.

    Équation. 24 + 0,08(x − 50) = 8 + 0,14x.

    Étapes. 20 + 0,08x = 8 + 0,14x, donc 12 = 0,06x et x = 200.

    Vérification. Le forfait A coûte 24 + 0,08 · 150 = 36 euros ; le forfait B coûte 8 + 0,14 · 200 = 36 euros.

    Réponse. 200 minutes ; coût commun de 36 euros

    Solution sans équation

    À 50 minutes, le forfait A coûte 24 euros et le B 8 + 0,14 · 50 = 15 euros : A doit rattraper 9 euros. Après la cinquantième minute, A coûte 0,06 euro de moins par minute. Il faut 9/0,06 = 150 minutes supplémentaires pour combler l'écart ; l'égalité se produit donc à 200 minutes.

  15. Un héritage aux parts enchaînées

    Un héritage de 108 000 euros est partagé entre Anna, Bruno et Carla. Bruno reçoit 3 000 euros plus les 3/4 de la part d'Anna. Carla reçoit 4 000 euros plus les 2/3 de la part de Bruno. Combien chacun reçoit-il ?

    Afficher la solution du problème 15

    Inconnue. Notons x la part d'Anna. Bruno reçoit 3x/4 + 3000 ; Carla reçoit 2/3(3x/4 + 3000) + 4000.

    Équation. x + (3x/4 + 3000) + [2/3(3x/4 + 3000) + 4000] = 108 000.

    Étapes. La part de Carla se simplifie en x/2 + 6000 ; ainsi 9x/4 + 9000 = 108 000, 9x/4 = 99 000 et x = 44 000. Bruno reçoit 36 000 euros et Carla 28 000 euros.

    Vérification. 3/4 · 44 000 + 3000 = 36 000 ; 2/3 · 36 000 + 4000 = 28 000 ; enfin 44 000 + 36 000 + 28 000 = 108 000.

    Réponse. Anna 44 000 euros ; Bruno 36 000 euros ; Carla 28 000 euros

  16. La production des trois lignes

    Trois lignes fabriquent ensemble un lot de composants. La ligne A réalise 40 % du total ; la ligne B produit 120 composants de plus que la ligne A. Il reste 520 composants à fabriquer par la ligne C. Combien de composants le lot contient-il ?

    Afficher la solution du problème 16

    Inconnue. Notons x le nombre total de composants. A en produit 0,40x et B 0,40x + 120.

    Équation. x − 0,40x − (0,40x + 120) = 520.

    Étapes. 0,20x − 120 = 520, donc 0,20x = 640 et x = 3200.

    Vérification. A produit 0,40 · 3200 = 1280 composants ; B en produit 1 400 et C 520. La somme vaut 1280 + 1400 + 520 = 3200.

    Réponse. 3 200 composants

    Solution sans équation

    Sans les 120 composants supplémentaires de B, A et B couvriraient ensemble 80 % du lot et il resterait 20 % à C. Ces 120 composants sont précisément retirés de la part de C : en les ajoutant aux 520 réels, on obtient 640 composants, soit 20 % du total. Le lot contient donc 640 · 5 = 3200 composants.

  17. Les livres sur trois étagères

    Trois étagères contiennent au total 249 livres. La deuxième contient 6 livres de plus que 75 % du nombre de livres de la première. La troisième contient 18 livres de plus que la moitié du nombre de la première. Combien de livres y a-t-il sur chaque étagère ?

    Afficher la solution du problème 17

    Inconnue. Notons x le nombre de livres de la première étagère. La deuxième en contient 0,75x + 6 et la troisième x/2 + 18.

    Équation. x + (0,75x + 6) + (x/2 + 18) = 249.

    Étapes. 2,25x + 24 = 249, donc 2,25x = 225 et x = 100. La deuxième étagère a 81 livres et la troisième 68.

    Vérification. 75 % de 100 + 6 = 81 ; 100/2 + 18 = 68 ; enfin 100 + 81 + 68 = 249.

    Réponse. 100, 81 et 68 livres

    Solution sans équation

    Après avoir retiré du total les 6 et 18 livres supplémentaires, il reste 225 livres. Ils représentent 1 + 3/4 + 1/2 = 9/4 fois le contenu de la première étagère. Un quart de ce contenu vaut 225 : 9 = 25 livres ; la première étagère en porte donc 100.

  18. La réserve sur la carte

    Sur une carte à l'échelle 1:25 000, une réserve rectangulaire a une longueur supérieure de 3,5 cm à sa largeur. Dans la réalité, son périmètre est de 6,75 km. Quelles sont ses dimensions sur la carte et dans la réalité ?

    Afficher la solution du problème 18

    Inconnue. Notons x la largeur sur la carte, en centimètres ; la longueur est x + 3,5. À l'échelle 1:25 000, 1 cm représente 250 m.

    Équation. 2[x + (x + 3,5)] · 250 = 6750.

    Étapes. 500(2x + 3,5) = 6750, donc 2x + 3,5 = 13,5 et x = 5. La longueur sur la carte est de 8,5 cm.

    Vérification. Les dimensions réelles sont 5 · 250 = 1250 m et 8,5 · 250 = 2125 m. Le périmètre vaut 2(1250 + 2125) = 6750 m, soit 6,75 km.

    Réponse. Carte : 5 cm × 8,5 cm ; réalité : 1,25 km × 2,125 km

    Solution sans équation

    Le périmètre réel de 6 750 m correspond sur la carte à 6750 : 250 = 27 cm. Le demi-périmètre est de 13,5 cm : largeur et longueur totalisent 13,5 cm et diffèrent de 3,5 cm. La petite dimension vaut (13,5 − 3,5) : 2 = 5 cm et la grande 8,5 cm.

  19. Les places disponibles dans la salle

    Une salle comporte 18 rangées ayant toutes le même nombre de places. Douze places sont inutilisables. Parmi les places restantes, un sixième est réservé aux invités et 260 sont disponibles pour le public. Combien y a-t-il de places dans chaque rangée ?

    Afficher la solution du problème 19

    Inconnue. Notons x le nombre de places par rangée. Il y a 18x places au total et 18x − 12 places utilisables.

    Comme un sixième est réservé, les 260 places destinées au public représentent les 5/6 des places utilisables.

    Équation. 5/6(18x − 12) = 260.

    Étapes. 18x − 12 = 312, donc 18x = 324 et x = 18.

    Vérification. Il y a 18 · 18 = 324 places ; sans les 12 inutilisables, il en reste 312. Un sixième, soit 52, est réservé et 312 − 52 = 260 places restent disponibles.

    Réponse. 18 places par rangée

    Solution sans équation

    Les 260 places destinées au public représentent cinq sixièmes des places utilisables. Un sixième vaut 260 : 5 = 52, donc il y a 52 · 6 = 312 places utilisables. En ajoutant les 12 places inutilisables, on obtient 324 places au total ; réparties en 18 rangées, cela donne 18 places par rangée.

  20. Les aiguilles se rejoignent

    Entre 3 h 00 et 4 h 00, à quelle heure exacte l'aiguille des minutes rattrape-t-elle pour la première fois celle des heures ? Donner aussi les secondes.

    Afficher la solution du problème 20

    Inconnue. Notons x le nombre de minutes écoulées après 3 h 00.

    L'aiguille des minutes forme un angle de 6x degrés à partir de 12 h ; celle des heures part de 90 degrés et avance de 0,5x degré.

    Équation. 6x = 90 + 0,5x.

    Étapes. 5,5x = 90, donc x = 180/11 = 16 4/11 minutes. Les 4/11 de minute restants valent 240/11 = 21 9/11 secondes.

    Vérification. Pour x = 180/11, les deux positions angulaires valent 6 · 180/11 = 1080/11 degrés et 90 + 0,5 · 180/11 = 1080/11 degrés.

    Réponse. environ 3 h 16 min 21,82 s (exactement 3 h 16 min 21 9/11 s)

    Solution sans équation

    À 3 h 00, l'aiguille des minutes doit combler un écart de 90 degrés. Sa vitesse relative par rapport à celle des heures vaut 6 − 0,5 = 5,5 degrés par minute. Le rattrapage demande donc 90 : 5,5 = 180/11 minutes, soit 16 minutes et 21 9/11 secondes.

  21. Le travail commencé ensemble

    Ada termine seule un travail en 12 jours ; Bruno, travaillant seul, mettrait 24 jours. Ils travaillent ensemble pendant plusieurs jours, puis Bruno quitte le projet et Ada achève le travail en 3 jours supplémentaires. Pendant combien de jours ont-ils travaillé ensemble ?

    Afficher la solution du problème 21

    Inconnue. Notons x le nombre de jours de travail en commun. En un jour, Ada réalise 1/12 du travail et Bruno 1/24.

    Équation. x(1/12 + 1/24) + 3/12 = 1.

    Étapes. x/8 + 1/4 = 1, donc x/8 = 3/4 et x = 6.

    Vérification. Ensemble, ils accomplissent 6 · (1/8) = 3/4 du travail ; Ada réalise 3 · (1/12) = 1/4 pendant les trois derniers jours. Les deux parts forment le travail entier.

    Réponse. 6 jours

    Solution sans équation

    Partageons mentalement le travail en 24 unités. Ada en réalise 2 par jour et Bruno 1. Pendant les trois derniers jours, Ada accomplit 6 unités ; 18 unités avaient donc déjà été réalisées. Ensemble, ils produisent 3 unités par jour : il faut 18 : 3 = 6 jours.

  22. Retrouver le revenu à partir du budget

    Sur un revenu mensuel brut, 28 % sont prélevés au titre des impôts. Un loyer de 720 euros est ensuite payé avec le revenu net. Parmi l'argent restant après le loyer, les 3/8 sont consacrés aux autres dépenses et il reste 990 euros. Quel était le revenu brut ?

    Afficher la solution du problème 22

    Inconnue. Notons x le revenu mensuel brut. Après les impôts, il reste 0,72x euros et, après le loyer, 0,72x − 720.

    Comme les 3/8 sont dépensés, les 990 euros représentent les 5/8 de la somme disponible après le loyer.

    Équation. 5/8(0,72x − 720) = 990.

    Étapes. 0,72x − 720 = 1584, donc 0,72x = 2304 et x = 3200.

    Vérification. Vingt-huit pour cent de 3 200 valent 896 ; le revenu net est de 2 304 euros. Après le loyer de 720 euros, il reste 1 584 euros ; les 3/8 valent 594 euros et 1584 − 594 = 990.

    Réponse. 3 200 euros bruts par mois

    Solution sans équation

    Procédons à rebours. Si 990 euros représentent les 5/8, la somme après le loyer était de 990 · 8/5 = 1584 euros. Avant le loyer, le revenu net était de 1584 + 720 = 2304 euros. Le net représente 72 % du brut ; le revenu brut était donc de 2304 : 0,72 = 3200 euros.

  23. Les angles du triangle

    Dans un triangle, le deuxième angle dépasse de 18° le double du premier ; le troisième angle mesure 12° de moins que le triple du premier. Déterminer les trois angles.

    Afficher la solution du problème 23

    Inconnue. Notons x la mesure du premier angle. Le deuxième mesure 2x + 18 degrés et le troisième 3x − 12 degrés.

    Équation. La somme des angles intérieurs vaut 180° : x + (2x + 18) + (3x − 12) = 180.

    Étapes. 6x + 6 = 180, donc 6x = 174 et x = 29. Les autres angles mesurent 2 · 29 + 18 = 76 degrés et 3 · 29 − 12 = 75 degrés.

    Vérification. 29 + 76 + 75 = 180 ; de plus, 76 = 2 · 29 + 18 et 75 = 3 · 29 − 12. Tous les angles sont positifs.

    Réponse. 29°, 76° et 75°

    Solution sans équation

    Ignorons provisoirement les corrections de +18° et −12°. Les trois angles contiennent alors 1 + 2 + 3 = 6 parts de base égales. Les corrections ajoutent globalement 6° ; les six parts totalisent donc 180° − 6° = 174°. Chaque part mesure 174° : 6 = 29°, d'où les angles de 76° et 75°.

  24. La population avant les changements

    La population d'une commune augmente de 8 % en un an. Juste après, 520 habitants déménagent ailleurs et la population descend à 19 352 habitants. Combien d'habitants y avait-il au début de l'année ?

    Afficher la solution du problème 24

    Inconnue. Notons x la population initiale. Après l'augmentation de 8 %, elle vaut 1,08x.

    Équation. 1,08x − 520 = 19 352.

    Étapes. 1,08x = 19 872, donc x = 19 872/1,08 = 18 400.

    Vérification. Huit pour cent de 18 400 valent 1 472 ; après l'augmentation, il y a 18 400 + 1472 = 19 872 habitants. En retirant 520, on obtient 19 352.

    Réponse. 18 400 habitants

    Solution sans équation

    Reconstituons la situation à rebours. Avant les déménagements, la population était de 19 352 + 520 = 19 872 habitants. Cette quantité représente 108 % de la population initiale ; en divisant par 1,08, on obtient 19 872 : 1,08 = 18 400.

  25. Compression, chiffrement et métadonnées

    Une archive numérique est compressée, ce qui réduit sa taille de 25 %. Le chiffrement augmente ensuite de 8 % la taille du fichier compressé. Enfin, 12 Mo de métadonnées sont ajoutés ; le paquet obtenu occupe 660 Mo. Quelle était la taille initiale ?

    Afficher la solution du problème 25

    Inconnue. Notons x la taille initiale en mégaoctets. Après compression, il reste 0,75x ; après chiffrement, la taille devient 1,08 · 0,75x.

    Équation. 1,08 · 0,75x + 12 = 660.

    Étapes. 0,81x + 12 = 660, donc 0,81x = 648 et x = 800.

    Vérification. La compression fait passer 800 Mo à 800 · 0,75 = 600 Mo. Le chiffrement porte la taille à 600 · 1,08 = 648 Mo ; avec 12 Mo supplémentaires, on obtient 660 Mo.

    Réponse. 800 Mo

    Solution sans équation

    Annulons les transformations en sens inverse. Sans les métadonnées, il reste 660 − 12 = 648 Mo. Avant l'augmentation de 8 %, le fichier occupait 648 : 1,08 = 600 Mo. Ces 600 Mo représentent 75 % de l'original ; la taille initiale était donc de 600 : 0,75 = 800 Mo.

  26. L’entrepôt de cahiers

    Un entrepôt reçoit un nombre inconnu de boîtes contenant chacune 24 cahiers. Le contrôle qualité élimine 5 % de tous les cahiers. On en reçoit ensuite 180 autres en vrac. Les cahiers disponibles remplissent 74 nouveaux cartons de 30, et il en reste 12. Combien de boîtes étaient arrivées au départ ?

    Afficher la solution du problème 26

    Inconnue : soit x le nombre initial de boîtes ; elles contiennent 24x cahiers.

    Équation : après le contrôle, il reste 95 % des cahiers, puis on en ajoute 180 : 0,95 · 24x + 180 = 74 · 30 + 12.

    Étapes : 22,8x + 180 = 2232, donc 22,8x = 2052 et x = 90.

    Vérification : 90 boîtes contiennent 90 · 24 = 2160 cahiers ; 5 % représentent 108 cahiers, il en reste donc 2 052. En ajoutant 180, on obtient 2 232 cahiers, soit 74 · 30 + 12.

    Réponse. Il y avait initialement 90 boîtes, soit 2 160 cahiers.

    Solution sans équation

    À la fin, il y a 74 · 30 + 12 = 2232 cahiers. En retirant les 180 ajoutés après le contrôle, il en reste 2 052, soit 95 % de la quantité initiale. La division par 0,95 donne 2 160 cahiers, puis la division par 24 donne 90 boîtes.

  27. Le classement du tournoi

    Une équipe dispute 38 matchs. Elle compte 4 matchs nuls de moins que le double de ses défaites ; tous les autres matchs sont des victoires. Une victoire rapporte 3 points, un match nul 1 point et une défaite 0. Après une pénalité de 5 points, l’équipe termine avec 82 points. Combien a-t-elle obtenu de victoires, de matchs nuls et de défaites ?

    Afficher la solution du problème 27

    Inconnue : soit x le nombre de défaites. Les matchs nuls sont au nombre de 2x − 4 et les victoires de 38 − x − (2x − 4) = 42 − 3x.

    Équation : en tenant compte de la pénalité, 3(42 − 3x) + (2x − 4) − 5 = 82.

    Étapes : 126 − 9x + 2x − 4 − 5 = 82, donc 117 − 7x = 82, 7x = 35 et x = 5. Il y a 6 matchs nuls et 27 victoires.

    Vérification : 27 + 6 + 5 = 38 matchs ; le score final est 3 · 27 + 6 − 5 = 81 + 6 − 5 = 82.

    Réponse. L’équipe a obtenu 27 victoires, 6 matchs nuls et 5 défaites.

  28. Le change avec deux commissions

    Un client apporte une somme en euros à un bureau de change. Le bureau retient 2 % de la somme et une commission fixe de 6 €, puis convertit le reste au taux de 1,08 dollar pour un euro. La banque correspondante retient enfin 9 $. Le client reçoit 1 042,92 $. Combien d’euros avait-il remis au départ ?

    Afficher la solution du problème 28

    Inconnue : soit x la somme initiale en euros. Après les deux frais en euros, il reste 0,98x − 6 euros.

    Équation : après la conversion et les frais en dollars, 1,08(0,98x − 6) − 9 = 1042,92.

    Étapes : 1,08(0,98x − 6) = 1051,92, donc 0,98x − 6 = 974, 0,98x = 980 et x = 1000.

    Vérification : 2 % de 1 000 € valent 20 € ; après les 6 € fixes, il reste 974 €. La conversion donne 974 · 1,08 = 1051,92 $, puis les 9 $ finaux laissent 1 042,92 $.

    Réponse. Le client avait remis 1 000 €.

    Solution sans équation

    On remonte les opérations : ajouter 9 $ donne 1 051,92 $, diviser par 1,08 donne 974 €, puis ajouter les 6 € fixes donne 980 €. Ces 980 € représentent 98 % de la somme initiale ; ainsi, 980 : 0,98 = 1000 €.

  29. Le train qui rattrape son retard

    Un train part à 8 h 15 à 72 km/h. Un second train quitte la même gare sur le même trajet à 9 h 05, à 96 km/h, mais effectue un arrêt de 10 minutes avant de rattraper le premier train. À quelle heure le rattrape-t-il ?

    Afficher la solution du problème 29

    Inconnue : soit t le nombre d’heures écoulées entre 9 h 05 et la rencontre. Le premier train roule pendant t + 5/6 heures ; le second est en mouvement pendant t − 1/6 heures.

    Équation : au rattrapage, les distances sont égales : 72(t + 5/6) = 96(t − 1/6).

    Étapes : 72t + 60 = 96t − 16, donc 76 = 24t et t = 19/6 heures, soit 3 heures et 10 minutes. En les ajoutant à 9 h 05, on obtient 12 h 15.

    Vérification : le premier a roulé 4 heures et parcourt 72 · 4 = 288 km. Hors arrêt, le second a roulé 3 heures et parcourt 96 · 3 = 288 km.

    Réponse. Le second train rattrape le premier à 12 h 15, à 288 km de la gare.

  30. Le rectangle transformé

    La longueur d’un rectangle mesure 12 cm de moins que le triple de sa largeur. Si l’on réduit la longueur de 4 cm et augmente la largeur de 5 cm, le nouveau périmètre vaut 130 cm. Trouver les dimensions initiales.

    Afficher la solution du problème 30

    Inconnue : soit x la largeur initiale en centimètres ; la longueur vaut 3x − 12.

    Équation : les nouvelles dimensions sont x + 5 et 3x − 16, donc 2[(x + 5) + (3x − 16)] = 130.

    Étapes : 2(4x − 11) = 130, d’où 8x − 22 = 130, 8x = 152 et x = 19. La longueur initiale est 3 · 19 − 12 = 45 cm.

    Vérification : les nouvelles dimensions sont 24 cm et 41 cm ; le périmètre vaut 2(24 + 41) = 130 cm.

    Réponse. Le rectangle initial mesure 19 cm sur 45 cm.

    Solution sans équation

    Le nouveau demi-périmètre vaut 65 cm. Réduire un côté de 4 cm et augmenter l’autre de 5 cm accroît leur somme de 1 cm ; la somme initiale était donc 64 cm. La longueur étant inférieure de 12 cm à trois largeurs, on ajoute 12 à 64 puis on divise les quatre largeurs obtenues par 4 : la largeur vaut 19 cm et la longueur 45 cm.

  31. Le dosage dans la simulation

    Dans un exercice vétérinaire simulé, la dose théorique est de 5 mg par kilogramme de masse, plus une quantité fixe de 30 mg. Pour la préparation, on charge 20 % de plus que la dose théorique. À la fin, 18 mg restent dans la ligne et 462 mg ont effectivement été administrés. Quelle masse d’animal la simulation représente-t-elle ?

    Afficher la solution du problème 31

    Inconnue : soit x la masse simulée de l’animal en kilogrammes. La dose théorique vaut 5x + 30 mg et la quantité chargée 1,20(5x + 30) mg.

    Équation : après avoir retranché ce qui reste dans la ligne, 1,20(5x + 30) − 18 = 462.

    Étapes : 1,20(5x + 30) = 480, donc 5x + 30 = 400, 5x = 370 et x = 74.

    Vérification : pour 74 kg, la dose théorique vaut 5 · 74 + 30 = 400 mg. Une augmentation de 20 % porte la quantité chargée à 480 mg ; en retranchant les 18 mg restants, on obtient 462 mg.

    Réponse. La masse simulée est de 74 kg.

    Solution sans équation

    On remonte le calcul : ajouter les 18 mg restants aux 462 mg administrés donne 480 mg chargés. La division par 1,20 retire les 20 % supplémentaires et donne une dose théorique de 400 mg. Après retrait des 30 mg fixes, les 370 mg restants correspondent à 5 mg/kg : 370 : 5 = 74 kg.

  32. Le nombre à trois chiffres

    Dans un nombre à trois chiffres, le chiffre des centaines est le double de celui des unités et le chiffre des dizaines vaut 3 de moins que celui des centaines. En inversant l’ordre des chiffres, le nombre diminue de 396. Quel est ce nombre ?

    Afficher la solution du problème 32

    Inconnue : soit x le chiffre des unités. Les chiffres des centaines et des dizaines sont 2x et 2x − 3.

    Équation : le nombre est 100(2x) + 10(2x − 3) + x et son renversé est 100x + 10(2x − 3) + 2x. Ainsi, [100(2x) + 10(2x − 3) + x] − [100x + 10(2x − 3) + 2x] = 396.

    Étapes : les termes des dizaines s’annulent et il reste 99x = 396, donc x = 4. Les chiffres sont 8, 5 et 4.

    Vérification : le nombre est 854, son renversé 458 et 854 − 458 = 396 ; de plus, 8 = 2 · 4 et 5 = 8 − 3.

    Réponse. Le nombre est 854.

    Solution sans équation

    Lorsqu’on inverse centaines et unités, le chiffre des dizaines n’influe pas sur la différence. Chaque unité d’écart entre les chiffres extrêmes vaut 99 ; comme 396 : 99 = 4, leur écart est 4. Or le chiffre des centaines est le double de celui des unités : cet écart est donc le chiffre des unités lui-même, soit 4. On obtient ensuite 8 et 5.

  33. Les aiguilles perpendiculaires

    Entre 3 h 30 et 4 h, à quel instant les aiguilles d’une horloge sont-elles perpendiculaires pour la première fois ? On considère le mouvement continu de l’aiguille des heures.

    Afficher la solution du problème 33

    Inconnue : soit t le nombre de minutes écoulées depuis 3 h. Dans l’intervalle donné, l’aiguille des minutes est en avance sur celle des heures.

    Équation : leurs angles depuis 12 h sont 6t degrés pour les minutes et 90 + 0,5t pour les heures. Leur écart doit valoir 90° : 6t − (90 + 0,5t) = 90.

    Étapes : 5,5t − 90 = 90, donc 5,5t = 180 et t = 360/11 = 32 8/11 minutes. Les 8/11 de minute valent 480/11 = 43 7/11 secondes.

    Vérification : à cet instant, l’aiguille des minutes est à 2160/11° et celle des heures à 1170/11° ; l’écart vaut 990/11° = 90°.

    Réponse. Vers 3 h 32 min 43,64 s (exactement 43 s et 7/11 de seconde).

  34. Le bateau et le courant

    Un bateau avance à 18 km/h en eau calme. Il navigue pendant 2 h 30 à contre-courant, puis pendant 1 h 30 dans le sens du courant, et parcourt 69 km au total. Quelle est la vitesse constante du courant ?

    Afficher la solution du problème 34

    Inconnue : soit x la vitesse du courant en km/h. Les vitesses effectives sont 18 − x à contre-courant et 18 + x dans le sens du courant.

    Équation : la somme des distances donne 2,5(18 − x) + 1,5(18 + x) = 69.

    Étapes : 45 − 2,5x + 27 + 1,5x = 69, donc 72 − x = 69 et x = 3.

    Vérification : à contre-courant, le bateau avance à 15 km/h et parcourt 2,5 · 15 = 37,5 km ; dans l’autre sens, il avance à 21 km/h et parcourt 1,5 · 21 = 31,5 km. Le total est 69 km.

    Réponse. La vitesse du courant est de 3 km/h.

    Solution sans équation

    Sans courant, le bateau parcourrait 72 km en 4 heures. Le courant retranche sa vitesse pendant 2,5 heures et l’ajoute pendant 1,5 heure : son effet net revient à retrancher une fois sa vitesse. Comme il manque 3 km par rapport à 72, le courant vaut 3 km/h.

  35. Les billets du spectacle

    Un spectacle réunit 180 personnes. Il y a 10 étudiants de plus que le double du nombre d’adultes ; tous les autres sont des enfants. Les billets coûtent 18 € pour un adulte, 12 € pour un étudiant et 7 € pour un enfant. La recette est de 2 150 €. Combien y a-t-il de personnes dans chaque catégorie ?

    Afficher la solution du problème 35

    Inconnue : soit x le nombre d’adultes. Il y a 2x + 10 étudiants et 180 − x − (2x + 10) = 170 − 3x enfants.

    Équation : la recette donne 18x + 12(2x + 10) + 7(170 − 3x) = 2150.

    Étapes : 18x + 24x + 120 + 1190 − 21x = 2150, donc 21x + 1310 = 2150, 21x = 840 et x = 40. Il y a 90 étudiants et 50 enfants.

    Vérification : 40 + 90 + 50 = 180 et la recette vaut 40 · 18 + 90 · 12 + 50 · 7 = 720 + 1080 + 350 = 2150 €.

    Réponse. Il y a 40 adultes, 90 étudiants et 50 enfants.

    Solution sans équation

    Si tout le monde était enfant, la recette serait de 1 260 €. Un adulte à la place d’un enfant ajoute 11 € et un étudiant ajoute 5 €. Les 10 étudiants fixes ajoutent 50 € ; chaque adulte s’accompagne aussi de deux étudiants, soit 11 + 2 · 5 = 21 € de plus par groupe. Il reste 2150 − 1260 − 50 = 840 €, soit 40 groupes de 21 €. On obtient 40 adultes, 90 étudiants et 50 enfants.

  36. Le bilan énergétique de la batterie

    Une batterie de 80 kWh démarre avec une quantité d’énergie inconnue. Pendant un trajet, la traction consomme 30 % de l’énergie initiale et les équipements de bord consomment encore 9 kWh. Le freinage régénératif restitue 40 % de l’énergie utilisée par la traction. À l’arrivée, on prélève 20 kWh sur le réseau, mais le rendement de charge est de 85 %. La batterie contient finalement 49 kWh. Avec quelle énergie et quel pourcentage de charge avait-elle démarré ?

    Afficher la solution du problème 36

    Inconnue : soit x l’énergie initiale en kWh. La traction consomme 0,30x, la régénération restitue 0,40 · 0,30x et la recharge ajoute 0,85 · 20 kWh.

    Équation : x − 0,30x − 9 + 0,40(0,30x) + 0,85 · 20 = 49.

    Étapes : x − 0,30x + 0,12x − 9 + 17 = 49, donc 0,82x + 8 = 49, 0,82x = 41 et x = 50.

    Vérification : la traction utilise 15 kWh et les équipements 9, ce qui laisse 26 kWh ; la régénération restitue 6 kWh et la recharge en ajoute 17. On obtient 26 + 6 + 17 = 49 kWh. La charge initiale était 50/80 = 62,5 %.

    Réponse. La batterie avait démarré avec 50 kWh, soit 62,5 % de sa capacité.

  37. La participation au voyage

    Un voyage est réservé par 48 personnes qui paient toutes la même somme. Huit se désistent ; l’organisateur obtient une réduction de 320 € sur le coût total et chacune des 40 personnes restantes paie 4 € de plus que la participation initiale. Quel était son montant ?

    Afficher la solution du problème 37

    Inconnue : soit x la participation initiale en euros. Le coût initial était 48x.

    Équation : après la réduction, le coût est 48x − 320, couvert par 40 paiements de x + 4 : 40(x + 4) = 48x − 320.

    Étapes : 40x + 160 = 48x − 320, donc 480 = 8x et x = 60.

    Vérification : le coût initial était 48 · 60 = 2880 €. Le coût réduit est de 2 560 € et les 40 participants versent 40 · 64 = 2560 €.

    Réponse. La participation initiale était de 60 € par personne.

    Solution sans équation

    Les huit désistements suppriment huit participations initiales. Les personnes restantes versent 160 € de plus et la réduction couvre 320 € supplémentaires : les 480 € obtenus remplacent exactement les huit participations manquantes. Chacune valait donc 480 : 8 = 60 €.

  38. Ajout de sel et évaporation

    Un récipient contient 72 kg d’une solution saline à 25 %. On ajoute 6 kg de sel pur, puis on laisse uniquement l’eau s’évaporer jusqu’à atteindre une concentration de 40 %. Combien de kilogrammes d’eau s’évaporent ?

    Afficher la solution du problème 38

    Inconnue : soit x la masse d’eau évaporée en kilogrammes. Au départ, il y a 0,25 · 72 = 18 kg de sel ; après l’ajout, il y en a 24 kg et la masse totale avant évaporation est de 78 kg.

    Équation : après évaporation, la masse totale est 78 − x, dont le sel représente 40 % : 24 = 0,40(78 − x).

    Étapes : 24 = 31,2 − 0,40x, donc 0,40x = 7,2 et x = 18.

    Vérification : il reste 78 − 18 = 60 kg de solution contenant 24 kg de sel ; 24/60 = 0,40, soit 40 %.

    Réponse. Il s’évapore 18 kg d’eau.

    Solution sans équation

    Après l’ajout, il y a 24 kg de sel, qui ne s’évapore pas. Pour que ces 24 kg représentent 40 % de la solution finale, sa masse doit être 24 : 0,40 = 60 kg. Avant l’évaporation, elle était de 78 kg : 18 kg d’eau s’évaporent.

  39. Les deux imprimantes

    Une imprimante produit 40 pages par minute. Une seconde, qui produit 55 pages par minute, démarre 6 minutes après la première. Elles s’arrêtent au même instant, après avoir produit 2 520 pages au total. Combien de temps chacune a-t-elle fonctionné ?

    Afficher la solution du problème 39

    Inconnue : soit t le temps de fonctionnement de la première imprimante en minutes. La seconde fonctionne pendant t − 6 minutes.

    Équation : la production totale donne 40t + 55(t − 6) = 2520.

    Étapes : 40t + 55t − 330 = 2520, donc 95t = 2850 et t = 30. La seconde fonctionne 24 minutes.

    Vérification : la première produit 40 · 30 = 1200 pages et la seconde 55 · 24 = 1320 ; le total est de 2 520 pages.

    Réponse. La première imprimante fonctionne 30 minutes et la seconde 24 minutes.

    Solution sans équation

    Pendant les 6 premières minutes, la première imprimante produit 240 pages. Il reste 2 280 pages, ensuite produites ensemble à 40 + 55 = 95 pages par minute : il faut 2280 : 95 = 24 minutes. La première fonctionne donc 30 minutes et la seconde 24.

  40. Les angles du trapèze

    Dans un trapèze isocèle, chaque angle aigu mesure 8° de moins que les trois cinquièmes de chaque angle obtus. Déterminer les quatre angles.

    Afficher la solution du problème 40

    Inconnue : soit x la mesure d’un angle obtus en degrés. Un angle aigu adjacent vaut 180 − x, car les angles situés le long de chaque côté oblique sont supplémentaires.

    Équation : la relation donnée devient 180 − x = (3/5)x − 8.

    Étapes : 188 = x + (3/5)x = (8/5)x, donc x = 188 · 5/8 = 117,5. L’angle aigu mesure 180 − 117,5 = 62,5 degrés.

    Vérification : les trois cinquièmes de 117,5° valent 70,5° et 70,5° − 8° = 62,5° ; de plus, 117,5° + 62,5° = 180°.

    Réponse. Les angles mesurent 62,5°, 62,5°, 117,5° et 117,5°.

  41. Les billets dans la caisse

    Une caisse ne contient que des billets de 5 €, 10 € et 20 €, soit 87 billets au total. Il y a 12 billets de 5 € de plus que de billets de 10 €, tandis que le nombre de billets de 20 € est la moitié de celui des billets de 10 €. Combien y a-t-il de billets de chaque sorte et quelle est leur valeur totale ?

    Afficher la solution du problème 41

    Inconnue : soit x le nombre de billets de 10 €. Il y a x + 12 billets de 5 € et x/2 billets de 20 €.

    Équation : le décompte donne x + (x + 12) + x/2 = 87.

    Étapes : (5/2)x + 12 = 87, donc (5/2)x = 75 et x = 30. Il y a 42 billets de 5 € et 15 billets de 20 €.

    Vérification : 42 + 30 + 15 = 87. Leur valeur est 42 · 5 + 30 · 10 + 15 · 20 = 210 + 300 + 300 = 810 €.

    Réponse. Il y a 42 billets de 5 €, 30 de 10 € et 15 de 20 €, pour une valeur totale de 810 €.

    Solution sans équation

    Après avoir retiré les 12 billets de 5 € supplémentaires, il reste 75 billets. On les groupe en paquets de deux billets de 5 €, deux de 10 € et un de 20 € : cinq billets par paquet, dans le rapport demandé. Il y a 15 paquets, soit 30, 30 et 15 billets ; en remettant les 12 billets de 5 €, on obtient 42, 30 et 15.

  42. Les âges d’une famille

    Dans une famille de quatre personnes, le père a 4 ans de plus que le triple de l’âge du fils. La mère a 2 ans de moins que le père et la sœur a 3 ans de moins que le fils. La somme de leurs quatre âges est de 123 ans. Déterminer l’âge de chacun.

    Afficher la solution du problème 42

    Inconnue : soit x l’âge du fils. Le père a 3x + 4 ans, la mère 3x + 2 et la sœur x − 3.

    Équation : la somme des âges donne x + (3x + 4) + (3x + 2) + (x − 3) = 123.

    Étapes : 8x + 3 = 123, donc 8x = 120 et x = 15. Le père a 49 ans, la mère 47 ans et la sœur 12 ans.

    Vérification : 15 + 49 + 47 + 12 = 123 ; de plus, 49 = 3 · 15 + 4, 47 = 49 − 2 et 12 = 15 − 3.

    Réponse. Le fils a 15 ans, la sœur 12 ans, la mère 47 ans et le père 49 ans.

    Solution sans équation

    Les parties variables représentent huit fois l’âge du fils, tandis que les corrections fixes totalisent 4 + 2 − 3 = 3 ans. En retirant ces 3 ans de 123, il reste 120 ans, soit huit âges du fils : 120 : 8 = 15. Les autres âges en découlent.

  43. Un trajet en trois étapes

    Un touriste marche à 5 km/h pendant un certain temps. Il roule ensuite à vélo à 18 km/h pendant une demi-heure de moins que le temps de marche. Enfin, il prend un autobus pendant 45 minutes à 40 km/h. La distance totale est de 67 km. Combien de temps dure le trajet complet ?

    Afficher la solution du problème 43

    Inconnue : soit x le temps de marche en heures. Le vélo dure x − 0,5 heure et le trajet en autobus 0,75 heure.

    Équation : la somme des distances donne 5x + 18(x − 0,5) + 40 · 0,75 = 67.

    Étapes : 5x + 18x − 9 + 30 = 67, donc 23x + 21 = 67, 23x = 46 et x = 2. Le vélo dure 1,5 heure.

    Vérification : les distances sont 5 · 2 = 10 km, 18 · 1,5 = 27 km et 40 · 0,75 = 30 km, soit 67 km. Le temps total est 2 + 1,5 + 0,75 = 4,25 heures.

    Réponse. Le trajet dure 4 heures et 15 minutes.

  44. La révision des bulletins de vote

    Lors du décompte provisoire de 1 200 bulletins, tous considérés comme valides, le candidat A reçoit un nombre inconnu de voix et B reçoit le reste. La révision annule 5 % des bulletins initialement attribués à A ; en outre, 60 bulletins valides attribués par erreur à B sont transférés à A. Après les corrections, A détient les 7/13 des suffrages valides. Combien de voix avaient été initialement attribuées à chaque candidat ?

    Afficher la solution du problème 44

    Inconnue : soit x le nombre initial de voix de A ; B en avait 1200 − x. Après l’annulation et le transfert, A a 19x/20 + 60 voix et le total valide vaut 1200 − x/20.

    Équation : 19x/20 + 60 = (7/13)(1200 − x/20).

    Étapes : en multipliant par 260, 247x + 15600 = 168000 − 7x ; donc 254x = 152400 et x = 600. B avait aussi 600 voix au départ.

    Vérification : 5 % de 600 valent 30 : après l’annulation, A descend à 570 voix, puis remonte à 630 après le transfert ; B descend à 540. Il y a 1 170 voix valides et 630/1170 = 7/13.

    Réponse. Lors du décompte provisoire, A et B avaient chacun 600 voix.

  45. Le chargement des palettes

    Un camion vide avec son conducteur pèse 9 080 kg et porte un groupe frigorifique de 420 kg. Il est chargé de palettes identiques : chaque palette a une tare de 30 kg et contient 45 colis, composés chacun de 5,5 kg de produit et de 0,5 kg d’emballage. Le pont-bascule indique 17 300 kg. Combien de palettes et de colis le camion transporte-t-il ?

    Afficher la solution du problème 45

    Inconnue : soit x le nombre de palettes. Chaque colis pèse 5,5 + 0,5 = 6 kg ; une palette chargée pèse donc 30 + 45 · 6 = 300 kg.

    Équation : 9080 + 420 + x[30 + 45(5,5 + 0,5)] = 17300.

    Étapes : 9500 + 300x = 17300, donc 300x = 7800 et x = 26. Le nombre de colis est 26 · 45 = 1170.

    Vérification : les palettes chargées pèsent 26 · 300 = 7800 kg ; avec les 9 080 kg du camion et les 420 kg du groupe, on obtient 17 300 kg.

    Réponse. Le camion transporte 26 palettes et 1 170 colis.

    Solution sans équation

    On retranche de la masse totale les 9 500 kg fixes du camion et du groupe frigorifique : il reste 7 800 kg de chargement. Chaque unité de palette pèse 30 kg de tare plus 270 kg de colis, soit 300 kg. Il y a donc 7800 : 300 = 26 palettes et 26 · 45 = 1170 colis.

  46. Le capteur mal étalonné

    La température réelle est de C degrés Celsius, mais un capteur mal étalonné envoie au logiciel la valeur S = 0,95C + 2. Le logiciel convertit la valeur reçue S en Fahrenheit avec F = (9/5)S + 32. À un certain instant, le nombre affiché en Fahrenheit dépasse de 24 le double de la température Celsius réelle. Quelle est la température réelle et qu’affiche l’écran ?

    Afficher la solution du problème 46

    Inconnue : soit x la température réelle en degrés Celsius. Le capteur envoie 0,95x + 2 et l’écran affiche (9/5)(0,95x + 2) + 32.

    Équation : (9/5)(0,95x + 2) + 32 = 2x + 24.

    Étapes : 1,71x + 3,6 + 32 = 2x + 24, donc 11,6 = 0,29x et x = 40.

    Vérification : à 40 °C, le capteur envoie 0,95 · 40 + 2 = 40. Le logiciel affiche (9/5) · 40 + 32 = 104 °F et 2 · 40 + 24 = 104.

    Réponse. La température réelle est de 40 °C et l’écran affiche 104 °F.

  47. La cuve avec arrivée et évacuation

    Une cuve contient 240 litres d’eau. Un tuyau apporte 18 litres par minute, tandis qu’une évacuation en retire 25 par minute. Les deux fonctionnent ensemble pendant un certain temps ; on ferme ensuite l’évacuation et la seule arrivée reste ouverte 6 minutes de plus. À la fin, la cuve contient 264 litres. Après combien de minutes a-t-on fermé l’évacuation ?

    Afficher la solution du problème 47

    Inconnue : soit x le nombre de minutes pendant lesquelles l’arrivée et l’évacuation fonctionnent ensemble. Durant cette phase, le volume diminue de 25 − 18 = 7 litres par minute.

    Équation : on retranche la perte de la première phase au volume initial et on ajoute les 18 · 6 = 108 litres finaux : 240 − 7x + 108 = 264.

    Étapes : 348 − 7x = 264, donc 7x = 84 et x = 12.

    Vérification : après 12 minutes avec les deux flux, il reste 240 − 7 · 12 = 156 litres ; les 6 minutes suivantes ajoutent 108 litres et 156 + 108 = 264.

    Réponse. L’évacuation a été fermée après 12 minutes ; le processus complet dure 18 minutes.

    Solution sans équation

    Avant les 6 dernières minutes, la cuve devait contenir 264 − 108 = 156 litres. Elle avait donc perdu 84 litres par rapport aux 240 initiaux. Comme les deux flux ouverts font perdre 7 litres par minute, l’évacuation a été fermée après 84 : 7 = 12 minutes.

  48. La poutre en équilibre

    Une poutre uniforme de 4 m et de masse 18 kg repose sur un pivot situé à 1,5 m de son extrémité gauche. Une caisse de masse inconnue est placée à l’extrémité gauche ; une charge de 30 kg se trouve à 0,8 m de cette extrémité et une charge de 24 kg à l’extrémité droite. La poutre est en équilibre horizontal. Quelle est la masse de la caisse ? On néglige l’épaisseur des charges.

    Afficher la solution du problème 48

    Inconnue : soit x la masse de la caisse en kilogrammes. Par rapport au pivot, le bras de la caisse vaut 1,5 m et celui de la charge de 30 kg à gauche vaut 1,5 − 0,8 = 0,7 m. À droite, la charge de 24 kg a un bras de 2,5 m et le poids de la poutre, appliqué en son centre, a un bras de 0,5 m.

    Équation : en égalisant les moments et en simplifiant l’accélération de la pesanteur, 1,5x + 0,7 · 30 = 2,5 · 24 + 0,5 · 18.

    Étapes : 1,5x + 21 = 60 + 9, donc 1,5x = 48 et x = 32.

    Vérification : le moment total à gauche vaut 1,5 · 32 + 0,7 · 30 = 48 + 21 = 69 ; celui de droite vaut 2,5 · 24 + 0,5 · 18 = 60 + 9 = 69.

    Réponse. La caisse a une masse de 32 kg.

    Solution sans équation

    Les moments connus à droite totalisent 69 unités, tandis que la charge connue à gauche en fournit 21. La caisse doit donc fournir 48 unités de moment. Comme elle se trouve à 1,5 m du pivot, sa masse est de 48 : 1,5 = 32 kg.

  49. La production après contrôle qualité

    La ligne A fabrique un nombre inconnu de composants ; la ligne B en fabrique 400 de plus. Le contrôle qualité rejette 3 % de la production de A et 8 % de celle de B. Parmi les composants conformes, 120 sont ensuite affectés à des essais destructifs. Il reste 3 272 composants vendables. Combien de composants chaque ligne avait-elle fabriqués ?

    Afficher la solution du problème 49

    Inconnue : soit x la production de la ligne A. La ligne B fabrique x + 400 composants ; après contrôle, il reste respectivement 0,97x et 0,92(x + 400) composants conformes.

    Équation : 0,97x + 0,92(x + 400) − 120 = 3272.

    Étapes : 0,97x + 0,92x + 368 − 120 = 3272, donc 1,89x + 248 = 3272, 1,89x = 3024 et x = 1600. La ligne B en fabrique 2 000.

    Vérification : A rejette 3 % de 1600 = 48 composants et en conserve 1 552 ; B rejette 8 % de 2000 = 160 et en conserve 1 840. Il y a 3 392 composants conformes et, après les 120 essais, il en reste 3 272.

    Réponse. La ligne A avait fabriqué 1 600 composants et la ligne B 2 000.

  50. La moyenne pondérée

    Quatre épreuves contribuent à la note finale avec des coefficients de 20 %, 25 %, 25 % et 30 %. Les notes sont respectivement 78, 84, une note inconnue et 92. Après le calcul de la moyenne pondérée, on ajoute 2 points de bonus et le résultat final est 85,2. Quelle est la note inconnue ?

    Afficher la solution du problème 50

    Inconnue : soit x la note de la troisième épreuve.

    Équation : 0,20 · 78 + 0,25 · 84 + 0,25x + 0,30 · 92 + 2 = 85,2.

    Étapes : les contributions connues, bonus compris, valent 15,6 + 21 + 27,6 + 2 = 66,2. Ainsi, 66,2 + 0,25x = 85,2, 0,25x = 19 et x = 76.

    Vérification : la moyenne avant bonus est 15,6 + 21 + 0,25 · 76 + 27,6 = 15,6 + 21 + 19 + 27,6 = 83,2 ; en ajoutant 2, on obtient 85,2.

    Réponse. La note de la troisième épreuve est 76.

    Solution sans équation

    On retranche du résultat final le bonus et les trois contributions connues : 85,2 − 2 − 15,6 − 21 − 27,6 = 19. Ces 19 points représentent 25 % de la note manquante ; la division par 0,25 donne 76.