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Los problemas de las cien bestias: método general y 20 soluciones razonadas

Cien animales, cien monedas y tres precios: ecuaciones diofánticas, MCD y congruencias para encontrar todas las soluciones o demostrar que no existen. Veinte problemas con soluciones desplegables.

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Los problemas de las cien bestias: método general y 20 soluciones razonadas

35 min

Estos problemas pertenecen a la familia de las cien bestias, o de los cien animales: comprar un número fijo de animales de tres tipos gastando exactamente cierta cantidad. No basta con encontrar números que cuadren con el gasto: las cantidades deben ser enteras, no negativas y sumar también el total correcto. Veremos un procedimiento que encuentra todas las soluciones o demuestra que no hay ninguna.

El método general, explicado paso a paso

Para entender cuándo ax + by = c tiene soluciones enteras, cómo encontrar la identidad de Bézout y cómo obtener todas las soluciones, lee Ecuaciones diofánticas lineales: teoría y ejemplo con Euclides extendido.

Abrir el laboratorio general de ecuaciones diofánticas: introduce los tres coeficientes enteros a, b y c y sigue las divisiones, sustituciones y restricciones sin saltarte ningún paso.

Para los problemas de las cien bestias, tras eliminar z y quitar los denominadores, introduce A, B y C de Ax + By = C en los campos a, b y c del laboratorio. Después recupera z = N - x - y y comprueba también z ≥ 0, o z ≥ 1 si se exige al menos un animal de cada tipo: el laboratorio general solo impone restricciones a x e y.

Ilustración de la sección Teoría de números
Sección: Teoría de números

1. Del relato a dos ecuaciones

Llamamos N al total de animales, S al dinero disponible, a, b, c a los tres precios unitarios y x, y, z a las cantidades correspondientes. El orden importa: una terna (x, y, z) se lee siempre en el mismo orden que los precios.

x + y + z = N
ax + by + cz = S

De la primera ecuación obtenemos z = N - x - y. Sustituimos en la segunda:
ax + by + c(N - x - y) = S
(a - c)x + (b - c)y = S - cN.

La idea concreta es esta: comprar los N animales al precio c costaría cN. Cada animal del primer tipo añade a - c al gasto y cada animal del segundo añade b - c. Estos incrementos deben cubrir exactamente S - cN.

Si aparecen fracciones, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los precios y, si hace falta, del denominador de S. Obtenemos A x + B y = C con coeficientes enteros, sin redondear. Al final recuperamos siempre z = N - x - y.

Regla de la colección: en los 20 problemas N = S = 100. Se permiten cantidades enteras mayores o iguales que cero. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, imponemos x, y, z ≥ 1: algunas soluciones quedarán excluidas. No confundas ambas condiciones.

2. MCD, congruencias y límites: el método sistemático

  1. Comprueba primero el presupuesto. Si todos los precios son positivos, debe cumplirse N × min(a,b,c) ≤ S ≤ N × max(a,b,c). Fuera de ese intervalo el problema es imposible; estar dentro aún no garantiza una solución.
  2. Elimina z y las fracciones. Llega a A x + B y = C.
  3. Calcula d = MCD(|A|,|B|). Si d no divide a C, no existe ninguna pareja entera. Si lo divide, divide por d: A′x + B′y = C′, con coeficientes coprimos.
  4. Encuentra la clase de x. Para B′ > 0, considera A′x ≡ C′ (mod B′). Dos números son congruentes cuando tienen el mismo resto al dividirlos entre B′. El término B′y desaparece porque es múltiplo de B′.
  5. Utiliza el inverso o Euclides. Como los coeficientes son coprimos, el algoritmo de Euclides extendido encuentra u, v con A′u + B′v = 1. Al multiplicar la congruencia por u, obtienes x ≡ uC′ (mod B′). Si el resto es r, todos los candidatos son x = r + kB′. Si B′ = 1, todos los enteros pertenecen a la misma clase: la congruencia no limita x.
  6. Impón las restricciones. Calcula y = (C - Ax)/B y z = N - x - y, y después exige la no negatividad o la positividad solicitada. Los límites del parámetro, no los tanteos al azar, deciden qué candidatos quedan.
  7. Comprueba las dos ecuaciones. Para cada terna, comprueba el total de animales y el gasto exacto. El intervalo del parámetro garantiza que no se ha olvidado ninguna otra solución.

¿Cómo se encuentra el inverso en la práctica? Si los coeficientes reducidos son 31 y 7, divide con resto: 31 = 4 × 7 + 3 y después 7 = 2 × 3 + 1. Retrocede sustituyendo el resto 3: 1 = 7 - 2 × 3 = 7 - 2 × (31 - 4 × 7) = 9 × 7 - 2 × 31. Así, -2, o equivalentemente 5, es un inverso de 31 módulo 7. No se adivina: se obtiene recorriendo hacia atrás las divisiones de Euclides.

En esta colección a > b > c, por tanto A > B > 0. De Ax + By = C obtenemos un primer límite 0 ≤ x ≤ ⌊C/A⌋. El símbolo ⌊ ⌋ significa redondear hacia abajo. También hay que comprobar z: la ecuación reducida del gasto no impone automáticamente todas las restricciones.

¿Un ejemplo completo? Abre la solución del problema 1: encontrarás todos los pasos del caso de los cien cerdos, desde la sustitución hasta la comprobación de la terna. La mantenemos oculta junto a las demás para que puedas intentarlo primero.

3. La solución general: una familia y un intervalo

Cuando (A,B) ≠ (0,0) y d divide a C, Euclides extendido encuentra u, v tales que Au + Bv = d. Una solución particular es x₀ = u(C/d), y₀ = v(C/d). No importa si es negativa: sirve como punto de partida.

Todas las parejas enteras, y solo ellas, son:
x = x₀ + (B/d)k
y = y₀ - (A/d)k
z = N - x₀ - y₀ + ((A - B)/d)k
con k entero. Al cambiar k recorres toda la familia, no una muestra.

Tomamos m = 0 si se permiten tipos ausentes, o m = 1 si se exigen los tres tipos. Cada restricción tiene la forma q + tk ≥ m. Si t > 0, impone k ≥ ⌈(m - q)/t⌉; si t < 0, impone k ≤ ⌊(m - q)/t⌋. Si t = 0, ya debe cumplirse q ≥ m. El símbolo ⌈ ⌉ significa redondear hacia arriba.

Toma el mayor de los límites inferiores y el menor de los superiores. Si resulta k_min > k_max, ninguna terna es admisible. En caso contrario, utiliza todos los enteros entre k_min y k_max: el número de soluciones es k_max - k_min + 1. Este criterio general también sirve cuando los precios no están ordenados.

Precios iguales: no dividas entre cero. Si B = 0 y A ≠ 0, resuelve Ax = C: C/A debe ser un entero al menos igual a m. Después reparte N - x entre y y z, ambos al menos iguales a m. Si A = 0 y B ≠ 0, haz lo mismo fijando y. Si A = B = 0, los tres precios son iguales: para C ≠ 0 no hay soluciones; para C = 0 sirven todas las ternas enteras con x + y + z = N y los límites solicitados. En este último caso hay dos cantidades libres, no un único parámetro.

4. Cuándo no existe una solución

Primer obstáculo: el MCD. Una variante con 100 animales, 100 monedas y precios 7/2, 2, 1/2 conduce a 6x + 3y = 100. El miembro izquierdo siempre es múltiplo de 3; 100 no lo es. Por tanto, no hay ninguna solución entera.

Segundo obstáculo: las cantidades. Consideremos caballos a 15 monedas, burros a 5 y ovejas a 1/2, de nuevo con 100 animales y 100 monedas. Obtenemos 29x + 9y = 100. El MCD es 1, así que existen parejas enteras. Sin embargo, 2x ≡ 1 (mod 9) implica x ≡ 5 (mod 9), mientras que y ≥ 0 exige 0 ≤ x ≤ 3. No hay ningún entero de esa clase dentro del intervalo: ninguna solución admisible.

Por ejemplo, x = 5 daría y = -5 y z = 100: las dos ecuaciones se cumplen, pero comprar menos cinco burros no tiene sentido. El MCD decide la existencia entre los enteros; las restricciones deciden la existencia en el problema concreto.

5. Los 20 problemas: inténtalo y después abre la solución

En cada problema compra exactamente 100 animales y gasta exactamente 100 monedas. Cada precio indicado corresponde a un solo animal. Encuentra todas las ternas no negativas en el orden de los tres tipos; después comprueba cuáles quedan si quieres al menos un animal de cada tipo. Pulsa « Mostrar solución y procedimiento » para abrir o cerrar la respuesta: no hace falta JavaScript.

  1. Los cien cerdos

    Los tres tipos son verracos, cerdas, lechones. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 10, 5, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    10 × x + 5 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 19x + 9y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 19x + 9y = 100.

    20x + 10y + 1z = 200
    20x + 10y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 9: 19x ≡ 100 (mod 9). La identidad de Bézout 19 × (1) + 9 × (-2) = 1 muestra que (1) es un inverso de 19 módulo 9. Por tanto, x ≡ (1) × 100 ≡ 1 (mod 9). Todos los candidatos son x = 1 + 9k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 5. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 1 + 9k, y = 9 - 19k, z = 90 + 10k. Las restricciones se convierten en 1 + 9k ≥ 0 → k ≥ 0; 9 - 19k ≥ 0 → k ≤ 0; 90 + 10k ≥ 0 → k ≥ -9. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 1. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    verracos (x)cerdas (y)lechones (z)Total de animalesComprobación del gasto
    19901001 × 10 + 9 × 5 + 90 × 1/2 = 100

    (1, 9, 90)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  2. Los cien pollos

    Los tres tipos son gallos, gallinas, pollitos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 5, 3, 1/3 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    5 × x + 3 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 3 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 14x + 8y = 200. El MCD es 2; al dividir entre 2 queda 7x + 4y = 100.

    15x + 9y + 1z = 300
    15x + 9y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Reducimos módulo 4: 7x ≡ 100 (mod 4). La identidad de Bézout 7 × (3) + 4 × (-5) = 1 muestra que (3) es un inverso de 7 módulo 4. Por tanto, x ≡ (3) × 100 ≡ 0 (mod 4). Todos los candidatos son x = 0 + 4k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 14. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 0 + 4k, y = 25 - 7k, z = 75 + 3k. Las restricciones se convierten en 0 + 4k ≥ 0 → k ≥ 0; 25 - 7k ≥ 0 → k ≤ 3; 75 + 3k ≥ 0 → k ≥ -25. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 3. Los valores admisibles de x son 0, 4, 8, 12. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    gallos (x)gallinas (y)pollitos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    025751000 × 5 + 25 × 3 + 75 × 1/3 = 100
    418781004 × 5 + 18 × 3 + 78 × 1/3 = 100
    811811008 × 5 + 11 × 3 + 81 × 1/3 = 100
    1248410012 × 5 + 4 × 3 + 84 × 1/3 = 100

    (0, 25, 75); (4, 18, 78); (8, 11, 81); (12, 4, 84)

    Hay 4 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 3.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  3. Vacas, ovejas, cabras

    Los tres tipos son vacas, ovejas, cabras. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 10, 3, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    10 × x + 3 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 19x + 5y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 19x + 5y = 100.

    20x + 6y + 1z = 200
    20x + 6y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 5: 19x ≡ 100 (mod 5). La identidad de Bézout 19 × (4) + 5 × (-15) = 1 muestra que (4) es un inverso de 19 módulo 5. Por tanto, x ≡ (4) × 100 ≡ 0 (mod 5). Todos los candidatos son x = 0 + 5k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 5. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 0 + 5k, y = 20 - 19k, z = 80 + 14k. Las restricciones se convierten en 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 20 - 19k ≥ 0 → k ≤ 1; 80 + 14k ≥ 0 → k ≥ -5. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 1. Los valores admisibles de x son 0, 5. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    vacas (x)ovejas (y)cabras (z)Total de animalesComprobación del gasto
    020801000 × 10 + 20 × 3 + 80 × 1/2 = 100
    51941005 × 10 + 1 × 3 + 94 × 1/2 = 100

    (0, 20, 80); (5, 1, 94)

    Hay 2 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  4. Pavos reales, palomas, gorriones

    Los tres tipos son pavos reales, palomas, gorriones. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 8, 2, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    8 × x + 2 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 31x + 7y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 31x + 7y = 300.

    32x + 8y + 1z = 400
    32x + 8y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 7: 31x ≡ 300 (mod 7). La identidad de Bézout 31 × (5) + 7 × (-22) = 1 muestra que (5) es un inverso de 31 módulo 7. Por tanto, x ≡ (5) × 300 ≡ 2 (mod 7). Todos los candidatos son x = 2 + 7k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 9. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 2 + 7k, y = 34 - 31k, z = 64 + 24k. Las restricciones se convierten en 2 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 34 - 31k ≥ 0 → k ≤ 1; 64 + 24k ≥ 0 → k ≥ -2. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 1. Los valores admisibles de x son 2, 9. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    pavos reales (x)palomas (y)gorriones (z)Total de animalesComprobación del gasto
    234641002 × 8 + 34 × 2 + 64 × 1/4 = 100
    93881009 × 8 + 3 × 2 + 88 × 1/4 = 100

    (2, 34, 64); (9, 3, 88)

    Hay 2 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 2.

  5. Atunes, doradas, sardinas

    Los tres tipos son atunes, doradas, sardinas. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 12, 4, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    12 × x + 4 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 23x + 7y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 23x + 7y = 100.

    24x + 8y + 1z = 200
    24x + 8y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 7: 23x ≡ 100 (mod 7). La identidad de Bézout 23 × (4) + 7 × (-13) = 1 muestra que (4) es un inverso de 23 módulo 7. Por tanto, x ≡ (4) × 100 ≡ 1 (mod 7). Todos los candidatos son x = 1 + 7k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 4. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 1 + 7k, y = 11 - 23k, z = 88 + 16k. Las restricciones se convierten en 1 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 11 - 23k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 16k ≥ 0 → k ≥ -5. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 1. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    atunes (x)doradas (y)sardinas (z)Total de animalesComprobación del gasto
    111881001 × 12 + 11 × 4 + 88 × 1/2 = 100

    (1, 11, 88)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  6. Caballos, burros, corderos

    Los tres tipos son caballos, burros, corderos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 4, 3, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    4 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 15x + 11y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 15x + 11y = 300.

    16x + 12y + 1z = 400
    16x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 11: 15x ≡ 300 (mod 11). La identidad de Bézout 15 × (3) + 11 × (-4) = 1 muestra que (3) es un inverso de 15 módulo 11. Por tanto, x ≡ (3) × 300 ≡ 9 (mod 11). Todos los candidatos son x = 9 + 11k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 20. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 9 + 11k, y = 15 - 15k, z = 76 + 4k. Las restricciones se convierten en 9 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 15 - 15k ≥ 0 → k ≤ 1; 76 + 4k ≥ 0 → k ≥ -19. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 1. Los valores admisibles de x son 9, 20. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    caballos (x)burros (y)corderos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    915761009 × 4 + 15 × 3 + 76 × 1/4 = 100
    2008010020 × 4 + 0 × 3 + 80 × 1/4 = 100

    (9, 15, 76); (20, 0, 80)

    Hay 2 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  7. Bueyes, cabras, pollitos

    Los tres tipos son bueyes, cabras, pollitos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 7, 2, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    7 × x + 2 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 13x + 3y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 13x + 3y = 100.

    14x + 4y + 1z = 200
    14x + 4y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 3: 13x ≡ 100 (mod 3). La identidad de Bézout 13 × (1) + 3 × (-4) = 1 muestra que (1) es un inverso de 13 módulo 3. Por tanto, x ≡ (1) × 100 ≡ 1 (mod 3). Todos los candidatos son x = 1 + 3k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 7. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 1 + 3k, y = 29 - 13k, z = 70 + 10k. Las restricciones se convierten en 1 + 3k ≥ 0 → k ≥ 0; 29 - 13k ≥ 0 → k ≤ 2; 70 + 10k ≥ 0 → k ≥ -7. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 2. Los valores admisibles de x son 1, 4, 7. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    bueyes (x)cabras (y)pollitos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    129701001 × 7 + 29 × 2 + 70 × 1/2 = 100
    416801004 × 7 + 16 × 2 + 80 × 1/2 = 100
    73901007 × 7 + 3 × 2 + 90 × 1/2 = 100

    (1, 29, 70); (4, 16, 80); (7, 3, 90)

    Hay 3 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 3.

  8. Ciervos, liebres, conejos

    Los tres tipos son ciervos, liebres, conejos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 8, 6, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    8 × x + 6 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 15x + 11y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 15x + 11y = 100.

    16x + 12y + 1z = 200
    16x + 12y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 11: 15x ≡ 100 (mod 11). La identidad de Bézout 15 × (3) + 11 × (-4) = 1 muestra que (3) es un inverso de 15 módulo 11. Por tanto, x ≡ (3) × 100 ≡ 3 (mod 11). Todos los candidatos son x = 3 + 11k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 6. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 3 + 11k, y = 5 - 15k, z = 92 + 4k. Las restricciones se convierten en 3 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 5 - 15k ≥ 0 → k ≤ 0; 92 + 4k ≥ 0 → k ≥ -23. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 3. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    ciervos (x)liebres (y)conejos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    35921003 × 8 + 5 × 6 + 92 × 1/2 = 100

    (3, 5, 92)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  9. Gansos, patos, pollitos

    Los tres tipos son gansos, patos, pollitos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 10, 4, 1/3 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    10 × x + 4 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 3 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 29x + 11y = 200. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 29x + 11y = 200.

    30x + 12y + 1z = 300
    30x + 12y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Reducimos módulo 11: 29x ≡ 200 (mod 11). La identidad de Bézout 29 × (8) + 11 × (-21) = 1 muestra que (8) es un inverso de 29 módulo 11. Por tanto, x ≡ (8) × 200 ≡ 5 (mod 11). Todos los candidatos son x = 5 + 11k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 6. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 5 + 11k, y = 5 - 29k, z = 90 + 18k. Las restricciones se convierten en 5 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 5 - 29k ≥ 0 → k ≤ 0; 90 + 18k ≥ 0 → k ≥ -5. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 5. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    gansos (x)patos (y)pollitos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    55901005 × 10 + 5 × 4 + 90 × 1/3 = 100

    (5, 5, 90)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  10. Pavos reales, gallinas, gorriones

    Los tres tipos son pavos reales, gallinas, gorriones. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 15, 4, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    15 × x + 4 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 29x + 7y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 29x + 7y = 100.

    30x + 8y + 1z = 200
    30x + 8y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 7: 29x ≡ 100 (mod 7). La identidad de Bézout 29 × (1) + 7 × (-4) = 1 muestra que (1) es un inverso de 29 módulo 7. Por tanto, x ≡ (1) × 100 ≡ 2 (mod 7). Todos los candidatos son x = 2 + 7k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 3. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 2 + 7k, y = 6 - 29k, z = 92 + 22k. Las restricciones se convierten en 2 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 29k ≥ 0 → k ≤ 0; 92 + 22k ≥ 0 → k ≥ -4. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 2. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    pavos reales (x)gallinas (y)gorriones (z)Total de animalesComprobación del gasto
    26921002 × 15 + 6 × 4 + 92 × 1/2 = 100

    (2, 6, 92)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  11. Caballos, ovejas, corderos

    Los tres tipos son caballos, ovejas, corderos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 6, 3, 1/2 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    6 × x + 3 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 2 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 11x + 5y = 100. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 11x + 5y = 100.

    12x + 6y + 1z = 200
    12x + 6y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Reducimos módulo 5: 11x ≡ 100 (mod 5). La identidad de Bézout 11 × (1) + 5 × (-2) = 1 muestra que (1) es un inverso de 11 módulo 5. Por tanto, x ≡ (1) × 100 ≡ 0 (mod 5). Todos los candidatos son x = 0 + 5k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 9. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 0 + 5k, y = 20 - 11k, z = 80 + 6k. Las restricciones se convierten en 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 20 - 11k ≥ 0 → k ≤ 1; 80 + 6k ≥ 0 → k ≥ -13. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 1. Los valores admisibles de x son 0, 5. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    caballos (x)ovejas (y)corderos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    020801000 × 6 + 20 × 3 + 80 × 1/2 = 100
    59861005 × 6 + 9 × 3 + 86 × 1/2 = 100

    (0, 20, 80); (5, 9, 86)

    Hay 2 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  12. Truchas, carpas, alburnos

    Los tres tipos son truchas, carpas, alburnos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 8, 3, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    8 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 31x + 11y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 31x + 11y = 300.

    32x + 12y + 1z = 400
    32x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 11: 31x ≡ 300 (mod 11). La identidad de Bézout 31 × (5) + 11 × (-14) = 1 muestra que (5) es un inverso de 31 módulo 11. Por tanto, x ≡ (5) × 300 ≡ 4 (mod 11). Todos los candidatos son x = 4 + 11k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 9. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 4 + 11k, y = 16 - 31k, z = 80 + 20k. Las restricciones se convierten en 4 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 16 - 31k ≥ 0 → k ≤ 0; 80 + 20k ≥ 0 → k ≥ -4. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 4. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    truchas (x)carpas (y)alburnos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    416801004 × 8 + 16 × 3 + 80 × 1/4 = 100

    (4, 16, 80)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  13. Perros, gatos, hámsteres

    Los tres tipos son perros, gatos, hámsteres. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 10, 2, 1/3 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    10 × x + 2 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 3 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 29x + 5y = 200. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 29x + 5y = 200.

    30x + 6y + 1z = 300
    30x + 6y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Reducimos módulo 5: 29x ≡ 200 (mod 5). La identidad de Bézout 29 × (4) + 5 × (-23) = 1 muestra que (4) es un inverso de 29 módulo 5. Por tanto, x ≡ (4) × 200 ≡ 0 (mod 5). Todos los candidatos son x = 0 + 5k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 6. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 0 + 5k, y = 40 - 29k, z = 60 + 24k. Las restricciones se convierten en 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 40 - 29k ≥ 0 → k ≤ 1; 60 + 24k ≥ 0 → k ≥ -2. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 1. Los valores admisibles de x son 0, 5. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    perros (x)gatos (y)hámsteres (z)Total de animalesComprobación del gasto
    040601000 × 10 + 40 × 2 + 60 × 1/3 = 100
    511841005 × 10 + 11 × 2 + 84 × 1/3 = 100

    (0, 40, 60); (5, 11, 84)

    Hay 2 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  14. Pavos, patos, pollitos

    Los tres tipos son pavos, patos, pollitos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 15, 3, 1/3 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    15 × x + 3 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 3 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 44x + 8y = 200. El MCD es 4; al dividir entre 4 queda 11x + 2y = 50.

    45x + 9y + 1z = 300
    45x + 9y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Reducimos módulo 2: 11x ≡ 50 (mod 2). La identidad de Bézout 11 × (1) + 2 × (-5) = 1 muestra que (1) es un inverso de 11 módulo 2. Por tanto, x ≡ (1) × 50 ≡ 0 (mod 2). Todos los candidatos son x = 0 + 2k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 4. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 0 + 2k, y = 25 - 11k, z = 75 + 9k. Las restricciones se convierten en 0 + 2k ≥ 0 → k ≥ 0; 25 - 11k ≥ 0 → k ≤ 2; 75 + 9k ≥ 0 → k ≥ -8. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 2. Los valores admisibles de x son 0, 2, 4. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    pavos (x)patos (y)pollitos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    025751000 × 15 + 25 × 3 + 75 × 1/3 = 100
    214841002 × 15 + 14 × 3 + 84 × 1/3 = 100
    43931004 × 15 + 3 × 3 + 93 × 1/3 = 100

    (0, 25, 75); (2, 14, 84); (4, 3, 93)

    Hay 3 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 2.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  15. Conejos, palomas, gorriones

    Los tres tipos son conejos, palomas, gorriones. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 6, 3, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    6 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 23x + 11y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 23x + 11y = 300.

    24x + 12y + 1z = 400
    24x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 11: 23x ≡ 300 (mod 11). La identidad de Bézout 23 × (1) + 11 × (-2) = 1 muestra que (1) es un inverso de 23 módulo 11. Por tanto, x ≡ (1) × 300 ≡ 3 (mod 11). Todos los candidatos son x = 3 + 11k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 13. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 3 + 11k, y = 21 - 23k, z = 76 + 12k. Las restricciones se convierten en 3 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 21 - 23k ≥ 0 → k ≤ 0; 76 + 12k ≥ 0 → k ≥ -6. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 3. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    conejos (x)palomas (y)gorriones (z)Total de animalesComprobación del gasto
    321761003 × 6 + 21 × 3 + 76 × 1/4 = 100

    (3, 21, 76)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  16. Vacas, cerdos, pollitos

    Los tres tipos son vacas, cerdos, pollitos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 8, 5, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    8 × x + 5 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 31x + 19y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 31x + 19y = 300.

    32x + 20y + 1z = 400
    32x + 20y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 19: 31x ≡ 300 (mod 19). La identidad de Bézout 31 × (8) + 19 × (-13) = 1 muestra que (8) es un inverso de 31 módulo 19. Por tanto, x ≡ (8) × 300 ≡ 6 (mod 19). Todos los candidatos son x = 6 + 19k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 9. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 6 + 19k, y = 6 - 31k, z = 88 + 12k. Las restricciones se convierten en 6 + 19k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 31k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 12k ≥ 0 → k ≥ -7. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 6. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    vacas (x)cerdos (y)pollitos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    66881006 × 8 + 6 × 5 + 88 × 1/4 = 100

    (6, 6, 88)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  17. Cisnes, gansos, gorriones

    Los tres tipos son cisnes, gansos, gorriones. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 11, 2, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    11 × x + 2 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 43x + 7y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 43x + 7y = 300.

    44x + 8y + 1z = 400
    44x + 8y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 7: 43x ≡ 300 (mod 7). La identidad de Bézout 43 × (1) + 7 × (-6) = 1 muestra que (1) es un inverso de 43 módulo 7. Por tanto, x ≡ (1) × 300 ≡ 6 (mod 7). Todos los candidatos son x = 6 + 7k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 6. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 6 + 7k, y = 6 - 43k, z = 88 + 36k. Las restricciones se convierten en 6 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 43k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 36k ≥ 0 → k ≥ -2. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 6. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    cisnes (x)gansos (y)gorriones (z)Total de animalesComprobación del gasto
    66881006 × 11 + 6 × 2 + 88 × 1/4 = 100

    (6, 6, 88)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

  18. Cabras, gallinas, pollitos

    Los tres tipos son cabras, gallinas, pollitos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 5, 2, 1/3 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    5 × x + 2 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 3 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 14x + 5y = 200. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 14x + 5y = 200.

    15x + 6y + 1z = 300
    15x + 6y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Reducimos módulo 5: 14x ≡ 200 (mod 5). La identidad de Bézout 14 × (4) + 5 × (-11) = 1 muestra que (4) es un inverso de 14 módulo 5. Por tanto, x ≡ (4) × 200 ≡ 0 (mod 5). Todos los candidatos son x = 0 + 5k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 14. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 0 + 5k, y = 40 - 14k, z = 60 + 9k. Las restricciones se convierten en 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 40 - 14k ≥ 0 → k ≤ 2; 60 + 9k ≥ 0 → k ≥ -6. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 2. Los valores admisibles de x son 0, 5, 10. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    cabras (x)gallinas (y)pollitos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    040601000 × 5 + 40 × 2 + 60 × 1/3 = 100
    526691005 × 5 + 26 × 2 + 69 × 1/3 = 100
    10127810010 × 5 + 12 × 2 + 78 × 1/3 = 100

    (0, 40, 60); (5, 26, 69); (10, 12, 78)

    Hay 3 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 2.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  19. Caballos, burros, ovejas

    Los tres tipos son caballos, burros, ovejas. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 7, 5, 1/3 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    7 × x + 5 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 3 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 20x + 14y = 200. El MCD es 2; al dividir entre 2 queda 10x + 7y = 100.

    21x + 15y + 1z = 300
    21x + 15y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Reducimos módulo 7: 10x ≡ 100 (mod 7). La identidad de Bézout 10 × (5) + 7 × (-7) = 1 muestra que (5) es un inverso de 10 módulo 7. Por tanto, x ≡ (5) × 100 ≡ 3 (mod 7). Todos los candidatos son x = 3 + 7k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 10. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 3 + 7k, y = 10 - 10k, z = 87 + 3k. Las restricciones se convierten en 3 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 10 - 10k ≥ 0 → k ≤ 1; 87 + 3k ≥ 0 → k ≥ -29. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 1. Los valores admisibles de x son 3, 10. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    caballos (x)burros (y)ovejas (z)Total de animalesComprobación del gasto
    310871003 × 7 + 10 × 5 + 87 × 1/3 = 100
    1009010010 × 7 + 0 × 5 + 90 × 1/3 = 100

    (3, 10, 87); (10, 0, 90)

    Hay 2 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

    Las filas que contienen un cero son correctas cuando se permite la ausencia de un tipo; solo se excluyen en la versión que exige la presencia de todos los tipos.

  20. Bueyes, carneros, corderos

    Los tres tipos son bueyes, carneros, corderos. Sus precios unitarios, en el mismo orden, son 9, 6, 1/4 monedas. ¿Cuántos animales de cada tipo puedes comprar respetando ambos totales?

    Mostrar solución y procedimiento

    1. Elegimos las incógnitas en el orden indicado: x, y, z. Las dos condiciones son:

    x + y + z = 100
    9 × x + 6 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplicamos la ecuación del gasto por 4 y sustituimos z = 100 - x - y. Obtenemos 35x + 23y = 300. El MCD es 1; al dividir entre 1 queda 35x + 23y = 300.

    36x + 24y + 1z = 400
    36x + 24y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Reducimos módulo 23: 35x ≡ 300 (mod 23). La identidad de Bézout 35 × (2) + 23 × (-3) = 1 muestra que (2) es un inverso de 35 módulo 23. Por tanto, x ≡ (2) × 300 ≡ 2 (mod 23). Todos los candidatos son x = 2 + 23k, con k entero.

    4. De y ≥ 0 obtenemos x ≤ 8. Al sustituir la familia en las otras cantidades encontramos x = 2 + 23k, y = 10 - 35k, z = 88 + 12k. Las restricciones se convierten en 2 + 23k ≥ 0 → k ≥ 0; 10 - 35k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 12k ≥ 0 → k ≥ -7. Al intersectar los tres límites obtenemos 0 ≤ k ≤ 0. Los valores admisibles de x son 2. Este intervalo agota todas las posibilidades.

    5. Todas las soluciones, en el orden indicado

    bueyes (x)carneros (y)corderos (z)Total de animalesComprobación del gasto
    210881002 × 9 + 10 × 6 + 88 × 1/4 = 100

    (2, 10, 88)

    Hay 1 soluciones no negativas. Si exigimos al menos un animal de cada tipo, quedan 1.

6. Conclusión

Los nombres de los animales y las monedas sirven para contar la situación: el método funciona con cualesquiera tres bienes y precios racionales.

Recuerda el recorrido: dos ecuaciones → eliminación → coeficientes enteros → MCD → familia de soluciones → límites → comprobación. Encontrar una terna no demuestra que sea única; determinar todo el intervalo del parámetro sí.