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Les problèmes des cent bêtes : méthode générale et 20 solutions expliquées

Cent animaux, cent pièces et trois prix : équations diophantiennes, PGCD et congruences pour trouver toutes les solutions, ou prouver leur absence. Vingt problèmes avec solutions à dévoiler.

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Les problèmes des cent bêtes : méthode générale et 20 solutions expliquées

35 min

Ces problèmes appartiennent à la famille des cent bêtes, ou des cent animaux : acheter un nombre fixé d’animaux de trois types en dépensant exactement une somme donnée. Trouver des nombres qui respectent la dépense ne suffit pas : les effectifs doivent être entiers, non négatifs et respecter aussi le nombre total. Nous allons construire une méthode qui trouve toutes les solutions ou démontre qu’il n’y en a aucune.

La méthode générale, expliquée pas à pas

Pour comprendre quand ax + by = c admet des solutions entières, comment trouver l’identité de Bézout et comment obtenir toutes les solutions, lis Équations diophantiennes linéaires : théorie et exemple avec Euclide étendu.

Ouvrir le laboratoire général des équations diophantiennes: saisis les trois coefficients entiers a, b et c, puis suis les divisions, les substitutions et les contraintes sans sauter d’étapes.

Pour les problèmes des cent bêtes, après avoir éliminé z et supprimé les dénominateurs, saisis A, B et C de l’équation Ax + By = C dans les champs a, b et c du laboratoire. Retrouve ensuite z = N - x - y et vérifie aussi z ≥ 0, ou z ≥ 1 si chaque type doit être présent : le laboratoire général n’impose les contraintes qu’à x et y.

Illustration de la section Théorie des nombres
Section : Théorie des nombres

1. Du récit à deux équations

Notons N le nombre total d’animaux, S la somme disponible, a, b, c les trois prix unitaires et x, y, z les effectifs correspondants. L’ordre compte : un triplet (x, y, z) se lit toujours dans le même ordre que les prix.

x + y + z = N
ax + by + cz = S

La première équation donne z = N - x - y. Remplaçons dans la seconde :
ax + by + c(N - x - y) = S
(a - c)x + (b - c)y = S - cN.

L’idée concrète est la suivante : acheter les N animaux au prix c coûterait cN. Chaque animal du premier type ajoute a - c à cette dépense, et chaque animal du deuxième ajoute b - c. Ces suppléments doivent couvrir exactement S - cN.

S’il y a des fractions, multiplions toute l’équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs des prix et, si nécessaire, de celui de S. Nous obtenons A x + B y = C avec des coefficients entiers, sans arrondi. À la fin, nous retrouvons toujours z = N - x - y.

Règle de la collection : les 20 problèmes ont tous N = S = 100. Les effectifs entiers non négatifs sont autorisés. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, nous imposons plutôt x, y, z ≥ 1 : certaines solutions seront exclues. Ne confondez pas ces deux demandes.

2. PGCD, congruences et bornes : la méthode systématique

  1. Vérifiez d’abord la dépense. Pour des prix positifs, il faut N × min(a,b,c) ≤ S ≤ N × max(a,b,c). Hors de cet intervalle, le problème est impossible ; être à l’intérieur ne garantit pas encore une solution.
  2. Éliminez z et les fractions. Obtenez A x + B y = C.
  3. Calculez d = PGCD(|A|,|B|). Si d ne divise pas C, aucun couple entier n’existe. Sinon, divisez par d : A′x + B′y = C′, avec des coefficients premiers entre eux.
  4. Trouvez la classe de x. Pour B′ > 0, considérez A′x ≡ C′ (mod B′). Deux nombres sont congrus lorsqu’ils ont le même reste dans la division par B′. Le terme B′y disparaît car il est multiple de B′.
  5. Utilisez un inverse ou Euclide. Les coefficients étant premiers entre eux, l’algorithme d’Euclide étendu trouve u, v avec A′u + B′v = 1. En multipliant la congruence par u, vous obtenez x ≡ uC′ (mod B′). Si le reste est r, tous les candidats sont x = r + kB′. Si B′ = 1, tous les entiers appartiennent à la même classe : la congruence ne limite pas x.
  6. Imposez les contraintes. Calculez y = (C - Ax)/B et z = N - x - y, puis imposez la non-négativité ou la positivité demandée. Ce sont les bornes du paramètre, et non des essais au hasard, qui déterminent les candidats restants.
  7. Vérifiez les deux équations. Pour chaque triplet, vérifiez le nombre total d’animaux et la dépense exacte. L’intervalle du paramètre garantit qu’aucune autre solution n’a été oubliée.

Comment trouver concrètement l’inverse ? Si les coefficients réduits sont 31 et 7, effectuez les divisions avec reste : 31 = 4 × 7 + 3, puis 7 = 2 × 3 + 1. Remontez en remplaçant le reste 3 : 1 = 7 - 2 × 3 = 7 - 2 × (31 - 4 × 7) = 9 × 7 - 2 × 31. Ainsi, -2, ou de façon équivalente 5, est un inverse de 31 modulo 7. On ne le devine pas : on l’obtient en remontant les divisions d’Euclide.

Dans cette collection, a > b > c, donc A > B > 0. De Ax + By = C, on tire une première borne 0 ≤ x ≤ ⌊C/A⌋. Le symbole ⌊ ⌋ désigne l’arrondi à l’entier inférieur. Il faut aussi contrôler z : l’équation réduite de la dépense n’impose pas automatiquement toutes les contraintes.

Un exemple complet ? Ouvrez la solution du problème 1 : toutes les étapes des cent porcs y figurent, de la substitution à la vérification du triplet. Nous la gardons masquée avec les autres pour vous laisser essayer.

3. La solution générale : une famille et un intervalle

Lorsque (A,B) ≠ (0,0) et que d divise C, Euclide étendu trouve u, v tels que Au + Bv = d. Une solution particulière est x₀ = u(C/d), y₀ = v(C/d). Elle peut être négative : ce n’est qu’un point de départ.

Tous les couples entiers, et seulement eux, sont :
x = x₀ + (B/d)k
y = y₀ - (A/d)k
z = N - x₀ - y₀ + ((A - B)/d)k
avec k entier. Faire varier k parcourt toute la famille, pas un simple échantillon.

Posons m = 0 si un type absent est autorisé, ou m = 1 si les trois types sont obligatoires. Chacune des trois contraintes a la forme q + tk ≥ m. Si t > 0, elle impose k ≥ ⌈(m - q)/t⌉ ; si t < 0, elle impose k ≤ ⌊(m - q)/t⌋. Si t = 0, il faut déjà avoir q ≥ m. Le symbole ⌈ ⌉ désigne l’arrondi à l’entier supérieur.

Prenez la plus grande borne inférieure et la plus petite borne supérieure. Si k_min > k_max, aucun triplet n’est admissible. Sinon, prenez tous les entiers de k_min à k_max : le nombre de solutions est k_max - k_min + 1. Ce critère général fonctionne aussi lorsque les prix ne sont pas rangés dans l’ordre.

Prix égaux : ne divisez pas par zéro. Si B = 0 et A ≠ 0, résolvez Ax = C : C/A doit être un entier au moins égal à m. Répartissez ensuite N - x entre y et z, chacun au moins égal à m. Si A = 0 et B ≠ 0, procédez de même en fixant y. Si A = B = 0, les trois prix sont égaux : pour C ≠ 0, aucune solution ; pour C = 0, tous les triplets entiers avec x + y + z = N et les bornes demandées conviennent. Dans ce dernier cas, il y a deux quantités libres, et non un seul paramètre.

4. Quand la solution n’existe pas

Premier obstacle : le PGCD. Une variante avec 100 animaux, 100 pièces et des prix 7/2, 2, 1/2 donne 6x + 3y = 100. Le membre de gauche est toujours multiple de 3 ; 100 ne l’est pas. Aucune solution entière n’est donc possible.

Deuxième obstacle : les effectifs. Considérons des chevaux à 15 pièces, des ânes à 5 et des moutons à 1/2, toujours pour 100 animaux et 100 pièces. Nous obtenons 29x + 9y = 100. Le PGCD est 1, donc des couples entiers existent. Cependant, 2x ≡ 1 (mod 9) implique x ≡ 5 (mod 9), alors que y ≥ 0 exige 0 ≤ x ≤ 3. Aucun entier de cette classe n’est dans l’intervalle : aucune solution admissible.

Par exemple, x = 5 donnerait y = -5 et z = 100 : les deux équations sont satisfaites, mais acheter moins cinq ânes n’a aucun sens. Le PGCD décide de l’existence dans les entiers ; les contraintes décident de l’existence dans le problème concret.

5. Les 20 problèmes : essayez, puis ouvrez la solution

Dans chaque problème, achetez exactement 100 animaux et dépensez exactement 100 pièces. Les prix sont indiqués pour un seul animal. Trouvez tous les triplets non négatifs dans l’ordre des trois types ; vérifiez ensuite ceux qui restent si vous voulez au moins un animal de chaque type. Appuyez sur « Afficher la solution et la méthode » pour ouvrir ou refermer la réponse : JavaScript n’est pas nécessaire.

  1. Les cent porcs

    Les trois types sont : verrats, truies, porcelets. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 10, 5, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    10 × x + 5 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 19x + 9y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 19x + 9y = 100.

    20x + 10y + 1z = 200
    20x + 10y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 9 : 19x ≡ 100 (mod 9). L’identité de Bézout 19 × (1) + 9 × (-2) = 1 montre que (1) est un inverse de 19 modulo 9. Donc x ≡ (1) × 100 ≡ 1 (mod 9). Tous les candidats sont x = 1 + 9k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 5. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 1 + 9k, y = 9 - 19k, z = 90 + 10k. Les contraintes deviennent 1 + 9k ≥ 0 → k ≥ 0; 9 - 19k ≥ 0 → k ≤ 0; 90 + 10k ≥ 0 → k ≥ -9. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 1. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    verrats (x)truies (y)porcelets (z)Total des animauxVérification de la dépense
    19901001 × 10 + 9 × 5 + 90 × 1/2 = 100

    (1, 9, 90)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  2. Les cent poulets

    Les trois types sont : coqs, poules, poussins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 5, 3, 1/3 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    5 × x + 3 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 3 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 14x + 8y = 200. Le PGCD est 2 ; en divisant par 2, il reste 7x + 4y = 100.

    15x + 9y + 1z = 300
    15x + 9y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Réduisons modulo 4 : 7x ≡ 100 (mod 4). L’identité de Bézout 7 × (3) + 4 × (-5) = 1 montre que (3) est un inverse de 7 modulo 4. Donc x ≡ (3) × 100 ≡ 0 (mod 4). Tous les candidats sont x = 0 + 4k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 14. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 0 + 4k, y = 25 - 7k, z = 75 + 3k. Les contraintes deviennent 0 + 4k ≥ 0 → k ≥ 0; 25 - 7k ≥ 0 → k ≤ 3; 75 + 3k ≥ 0 → k ≥ -25. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 3. Les valeurs de x admises sont 0, 4, 8, 12. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    coqs (x)poules (y)poussins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    025751000 × 5 + 25 × 3 + 75 × 1/3 = 100
    418781004 × 5 + 18 × 3 + 78 × 1/3 = 100
    811811008 × 5 + 11 × 3 + 81 × 1/3 = 100
    1248410012 × 5 + 4 × 3 + 84 × 1/3 = 100

    (0, 25, 75); (4, 18, 78); (8, 11, 81); (12, 4, 84)

    Il y a 4 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 3.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  3. Vaches, moutons, chèvres

    Les trois types sont : vaches, moutons, chèvres. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 10, 3, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    10 × x + 3 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 19x + 5y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 19x + 5y = 100.

    20x + 6y + 1z = 200
    20x + 6y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 5 : 19x ≡ 100 (mod 5). L’identité de Bézout 19 × (4) + 5 × (-15) = 1 montre que (4) est un inverse de 19 modulo 5. Donc x ≡ (4) × 100 ≡ 0 (mod 5). Tous les candidats sont x = 0 + 5k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 5. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 0 + 5k, y = 20 - 19k, z = 80 + 14k. Les contraintes deviennent 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 20 - 19k ≥ 0 → k ≤ 1; 80 + 14k ≥ 0 → k ≥ -5. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 1. Les valeurs de x admises sont 0, 5. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    vaches (x)moutons (y)chèvres (z)Total des animauxVérification de la dépense
    020801000 × 10 + 20 × 3 + 80 × 1/2 = 100
    51941005 × 10 + 1 × 3 + 94 × 1/2 = 100

    (0, 20, 80); (5, 1, 94)

    Il y a 2 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  4. Paons, pigeons, moineaux

    Les trois types sont : paons, pigeons, moineaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 8, 2, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    8 × x + 2 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 31x + 7y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 31x + 7y = 300.

    32x + 8y + 1z = 400
    32x + 8y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 7 : 31x ≡ 300 (mod 7). L’identité de Bézout 31 × (5) + 7 × (-22) = 1 montre que (5) est un inverse de 31 modulo 7. Donc x ≡ (5) × 300 ≡ 2 (mod 7). Tous les candidats sont x = 2 + 7k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 9. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 2 + 7k, y = 34 - 31k, z = 64 + 24k. Les contraintes deviennent 2 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 34 - 31k ≥ 0 → k ≤ 1; 64 + 24k ≥ 0 → k ≥ -2. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 1. Les valeurs de x admises sont 2, 9. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    paons (x)pigeons (y)moineaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    234641002 × 8 + 34 × 2 + 64 × 1/4 = 100
    93881009 × 8 + 3 × 2 + 88 × 1/4 = 100

    (2, 34, 64); (9, 3, 88)

    Il y a 2 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 2.

  5. Thons, dorades, sardines

    Les trois types sont : thons, dorades, sardines. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 12, 4, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    12 × x + 4 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 23x + 7y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 23x + 7y = 100.

    24x + 8y + 1z = 200
    24x + 8y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 7 : 23x ≡ 100 (mod 7). L’identité de Bézout 23 × (4) + 7 × (-13) = 1 montre que (4) est un inverse de 23 modulo 7. Donc x ≡ (4) × 100 ≡ 1 (mod 7). Tous les candidats sont x = 1 + 7k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 4. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 1 + 7k, y = 11 - 23k, z = 88 + 16k. Les contraintes deviennent 1 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 11 - 23k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 16k ≥ 0 → k ≥ -5. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 1. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    thons (x)dorades (y)sardines (z)Total des animauxVérification de la dépense
    111881001 × 12 + 11 × 4 + 88 × 1/2 = 100

    (1, 11, 88)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  6. Chevaux, ânes, agneaux

    Les trois types sont : chevaux, ânes, agneaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 4, 3, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    4 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 15x + 11y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 15x + 11y = 300.

    16x + 12y + 1z = 400
    16x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 11 : 15x ≡ 300 (mod 11). L’identité de Bézout 15 × (3) + 11 × (-4) = 1 montre que (3) est un inverse de 15 modulo 11. Donc x ≡ (3) × 300 ≡ 9 (mod 11). Tous les candidats sont x = 9 + 11k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 20. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 9 + 11k, y = 15 - 15k, z = 76 + 4k. Les contraintes deviennent 9 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 15 - 15k ≥ 0 → k ≤ 1; 76 + 4k ≥ 0 → k ≥ -19. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 1. Les valeurs de x admises sont 9, 20. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    chevaux (x)ânes (y)agneaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    915761009 × 4 + 15 × 3 + 76 × 1/4 = 100
    2008010020 × 4 + 0 × 3 + 80 × 1/4 = 100

    (9, 15, 76); (20, 0, 80)

    Il y a 2 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  7. Bœufs, chèvres, poussins

    Les trois types sont : bœufs, chèvres, poussins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 7, 2, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    7 × x + 2 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 13x + 3y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 13x + 3y = 100.

    14x + 4y + 1z = 200
    14x + 4y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 3 : 13x ≡ 100 (mod 3). L’identité de Bézout 13 × (1) + 3 × (-4) = 1 montre que (1) est un inverse de 13 modulo 3. Donc x ≡ (1) × 100 ≡ 1 (mod 3). Tous les candidats sont x = 1 + 3k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 7. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 1 + 3k, y = 29 - 13k, z = 70 + 10k. Les contraintes deviennent 1 + 3k ≥ 0 → k ≥ 0; 29 - 13k ≥ 0 → k ≤ 2; 70 + 10k ≥ 0 → k ≥ -7. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 2. Les valeurs de x admises sont 1, 4, 7. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    bœufs (x)chèvres (y)poussins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    129701001 × 7 + 29 × 2 + 70 × 1/2 = 100
    416801004 × 7 + 16 × 2 + 80 × 1/2 = 100
    73901007 × 7 + 3 × 2 + 90 × 1/2 = 100

    (1, 29, 70); (4, 16, 80); (7, 3, 90)

    Il y a 3 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 3.

  8. Cerfs, lièvres, lapins

    Les trois types sont : cerfs, lièvres, lapins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 8, 6, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    8 × x + 6 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 15x + 11y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 15x + 11y = 100.

    16x + 12y + 1z = 200
    16x + 12y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 11 : 15x ≡ 100 (mod 11). L’identité de Bézout 15 × (3) + 11 × (-4) = 1 montre que (3) est un inverse de 15 modulo 11. Donc x ≡ (3) × 100 ≡ 3 (mod 11). Tous les candidats sont x = 3 + 11k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 6. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 3 + 11k, y = 5 - 15k, z = 92 + 4k. Les contraintes deviennent 3 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 5 - 15k ≥ 0 → k ≤ 0; 92 + 4k ≥ 0 → k ≥ -23. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 3. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    cerfs (x)lièvres (y)lapins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    35921003 × 8 + 5 × 6 + 92 × 1/2 = 100

    (3, 5, 92)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  9. Oies, canards, poussins

    Les trois types sont : oies, canards, poussins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 10, 4, 1/3 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    10 × x + 4 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 3 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 29x + 11y = 200. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 29x + 11y = 200.

    30x + 12y + 1z = 300
    30x + 12y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Réduisons modulo 11 : 29x ≡ 200 (mod 11). L’identité de Bézout 29 × (8) + 11 × (-21) = 1 montre que (8) est un inverse de 29 modulo 11. Donc x ≡ (8) × 200 ≡ 5 (mod 11). Tous les candidats sont x = 5 + 11k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 6. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 5 + 11k, y = 5 - 29k, z = 90 + 18k. Les contraintes deviennent 5 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 5 - 29k ≥ 0 → k ≤ 0; 90 + 18k ≥ 0 → k ≥ -5. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 5. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    oies (x)canards (y)poussins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    55901005 × 10 + 5 × 4 + 90 × 1/3 = 100

    (5, 5, 90)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  10. Paons, poules, moineaux

    Les trois types sont : paons, poules, moineaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 15, 4, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    15 × x + 4 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 29x + 7y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 29x + 7y = 100.

    30x + 8y + 1z = 200
    30x + 8y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 7 : 29x ≡ 100 (mod 7). L’identité de Bézout 29 × (1) + 7 × (-4) = 1 montre que (1) est un inverse de 29 modulo 7. Donc x ≡ (1) × 100 ≡ 2 (mod 7). Tous les candidats sont x = 2 + 7k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 3. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 2 + 7k, y = 6 - 29k, z = 92 + 22k. Les contraintes deviennent 2 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 29k ≥ 0 → k ≤ 0; 92 + 22k ≥ 0 → k ≥ -4. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 2. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    paons (x)poules (y)moineaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    26921002 × 15 + 6 × 4 + 92 × 1/2 = 100

    (2, 6, 92)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  11. Chevaux, moutons, agneaux

    Les trois types sont : chevaux, moutons, agneaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 6, 3, 1/2 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    6 × x + 3 × y + 1/2 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 2 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 11x + 5y = 100. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 11x + 5y = 100.

    12x + 6y + 1z = 200
    12x + 6y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Réduisons modulo 5 : 11x ≡ 100 (mod 5). L’identité de Bézout 11 × (1) + 5 × (-2) = 1 montre que (1) est un inverse de 11 modulo 5. Donc x ≡ (1) × 100 ≡ 0 (mod 5). Tous les candidats sont x = 0 + 5k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 9. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 0 + 5k, y = 20 - 11k, z = 80 + 6k. Les contraintes deviennent 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 20 - 11k ≥ 0 → k ≤ 1; 80 + 6k ≥ 0 → k ≥ -13. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 1. Les valeurs de x admises sont 0, 5. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    chevaux (x)moutons (y)agneaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    020801000 × 6 + 20 × 3 + 80 × 1/2 = 100
    59861005 × 6 + 9 × 3 + 86 × 1/2 = 100

    (0, 20, 80); (5, 9, 86)

    Il y a 2 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  12. Truites, carpes, ablettes

    Les trois types sont : truites, carpes, ablettes. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 8, 3, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    8 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 31x + 11y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 31x + 11y = 300.

    32x + 12y + 1z = 400
    32x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 11 : 31x ≡ 300 (mod 11). L’identité de Bézout 31 × (5) + 11 × (-14) = 1 montre que (5) est un inverse de 31 modulo 11. Donc x ≡ (5) × 300 ≡ 4 (mod 11). Tous les candidats sont x = 4 + 11k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 9. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 4 + 11k, y = 16 - 31k, z = 80 + 20k. Les contraintes deviennent 4 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 16 - 31k ≥ 0 → k ≤ 0; 80 + 20k ≥ 0 → k ≥ -4. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 4. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    truites (x)carpes (y)ablettes (z)Total des animauxVérification de la dépense
    416801004 × 8 + 16 × 3 + 80 × 1/4 = 100

    (4, 16, 80)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  13. Chiens, chats, hamsters

    Les trois types sont : chiens, chats, hamsters. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 10, 2, 1/3 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    10 × x + 2 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 3 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 29x + 5y = 200. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 29x + 5y = 200.

    30x + 6y + 1z = 300
    30x + 6y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Réduisons modulo 5 : 29x ≡ 200 (mod 5). L’identité de Bézout 29 × (4) + 5 × (-23) = 1 montre que (4) est un inverse de 29 modulo 5. Donc x ≡ (4) × 200 ≡ 0 (mod 5). Tous les candidats sont x = 0 + 5k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 6. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 0 + 5k, y = 40 - 29k, z = 60 + 24k. Les contraintes deviennent 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 40 - 29k ≥ 0 → k ≤ 1; 60 + 24k ≥ 0 → k ≥ -2. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 1. Les valeurs de x admises sont 0, 5. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    chiens (x)chats (y)hamsters (z)Total des animauxVérification de la dépense
    040601000 × 10 + 40 × 2 + 60 × 1/3 = 100
    511841005 × 10 + 11 × 2 + 84 × 1/3 = 100

    (0, 40, 60); (5, 11, 84)

    Il y a 2 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  14. Dindons, canards, poussins

    Les trois types sont : dindons, canards, poussins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 15, 3, 1/3 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    15 × x + 3 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 3 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 44x + 8y = 200. Le PGCD est 4 ; en divisant par 4, il reste 11x + 2y = 50.

    45x + 9y + 1z = 300
    45x + 9y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Réduisons modulo 2 : 11x ≡ 50 (mod 2). L’identité de Bézout 11 × (1) + 2 × (-5) = 1 montre que (1) est un inverse de 11 modulo 2. Donc x ≡ (1) × 50 ≡ 0 (mod 2). Tous les candidats sont x = 0 + 2k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 4. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 0 + 2k, y = 25 - 11k, z = 75 + 9k. Les contraintes deviennent 0 + 2k ≥ 0 → k ≥ 0; 25 - 11k ≥ 0 → k ≤ 2; 75 + 9k ≥ 0 → k ≥ -8. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 2. Les valeurs de x admises sont 0, 2, 4. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    dindons (x)canards (y)poussins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    025751000 × 15 + 25 × 3 + 75 × 1/3 = 100
    214841002 × 15 + 14 × 3 + 84 × 1/3 = 100
    43931004 × 15 + 3 × 3 + 93 × 1/3 = 100

    (0, 25, 75); (2, 14, 84); (4, 3, 93)

    Il y a 3 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 2.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  15. Lapins, pigeons, moineaux

    Les trois types sont : lapins, pigeons, moineaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 6, 3, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    6 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 23x + 11y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 23x + 11y = 300.

    24x + 12y + 1z = 400
    24x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 11 : 23x ≡ 300 (mod 11). L’identité de Bézout 23 × (1) + 11 × (-2) = 1 montre que (1) est un inverse de 23 modulo 11. Donc x ≡ (1) × 300 ≡ 3 (mod 11). Tous les candidats sont x = 3 + 11k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 13. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 3 + 11k, y = 21 - 23k, z = 76 + 12k. Les contraintes deviennent 3 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 21 - 23k ≥ 0 → k ≤ 0; 76 + 12k ≥ 0 → k ≥ -6. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 3. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    lapins (x)pigeons (y)moineaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    321761003 × 6 + 21 × 3 + 76 × 1/4 = 100

    (3, 21, 76)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  16. Vaches, porcs, poussins

    Les trois types sont : vaches, porcs, poussins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 8, 5, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    8 × x + 5 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 31x + 19y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 31x + 19y = 300.

    32x + 20y + 1z = 400
    32x + 20y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 19 : 31x ≡ 300 (mod 19). L’identité de Bézout 31 × (8) + 19 × (-13) = 1 montre que (8) est un inverse de 31 modulo 19. Donc x ≡ (8) × 300 ≡ 6 (mod 19). Tous les candidats sont x = 6 + 19k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 9. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 6 + 19k, y = 6 - 31k, z = 88 + 12k. Les contraintes deviennent 6 + 19k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 31k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 12k ≥ 0 → k ≥ -7. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 6. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    vaches (x)porcs (y)poussins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    66881006 × 8 + 6 × 5 + 88 × 1/4 = 100

    (6, 6, 88)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  17. Cygnes, oies, moineaux

    Les trois types sont : cygnes, oies, moineaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 11, 2, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    11 × x + 2 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 43x + 7y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 43x + 7y = 300.

    44x + 8y + 1z = 400
    44x + 8y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 7 : 43x ≡ 300 (mod 7). L’identité de Bézout 43 × (1) + 7 × (-6) = 1 montre que (1) est un inverse de 43 modulo 7. Donc x ≡ (1) × 300 ≡ 6 (mod 7). Tous les candidats sont x = 6 + 7k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 6. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 6 + 7k, y = 6 - 43k, z = 88 + 36k. Les contraintes deviennent 6 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 43k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 36k ≥ 0 → k ≥ -2. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 6. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    cygnes (x)oies (y)moineaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    66881006 × 11 + 6 × 2 + 88 × 1/4 = 100

    (6, 6, 88)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

  18. Chèvres, poules, poussins

    Les trois types sont : chèvres, poules, poussins. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 5, 2, 1/3 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    5 × x + 2 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 3 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 14x + 5y = 200. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 14x + 5y = 200.

    15x + 6y + 1z = 300
    15x + 6y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Réduisons modulo 5 : 14x ≡ 200 (mod 5). L’identité de Bézout 14 × (4) + 5 × (-11) = 1 montre que (4) est un inverse de 14 modulo 5. Donc x ≡ (4) × 200 ≡ 0 (mod 5). Tous les candidats sont x = 0 + 5k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 14. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 0 + 5k, y = 40 - 14k, z = 60 + 9k. Les contraintes deviennent 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 40 - 14k ≥ 0 → k ≤ 2; 60 + 9k ≥ 0 → k ≥ -6. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 2. Les valeurs de x admises sont 0, 5, 10. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    chèvres (x)poules (y)poussins (z)Total des animauxVérification de la dépense
    040601000 × 5 + 40 × 2 + 60 × 1/3 = 100
    526691005 × 5 + 26 × 2 + 69 × 1/3 = 100
    10127810010 × 5 + 12 × 2 + 78 × 1/3 = 100

    (0, 40, 60); (5, 26, 69); (10, 12, 78)

    Il y a 3 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 2.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  19. Chevaux, ânes, moutons

    Les trois types sont : chevaux, ânes, moutons. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 7, 5, 1/3 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    7 × x + 5 × y + 1/3 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 3 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 20x + 14y = 200. Le PGCD est 2 ; en divisant par 2, il reste 10x + 7y = 100.

    21x + 15y + 1z = 300
    21x + 15y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Réduisons modulo 7 : 10x ≡ 100 (mod 7). L’identité de Bézout 10 × (5) + 7 × (-7) = 1 montre que (5) est un inverse de 10 modulo 7. Donc x ≡ (5) × 100 ≡ 3 (mod 7). Tous les candidats sont x = 3 + 7k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 10. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 3 + 7k, y = 10 - 10k, z = 87 + 3k. Les contraintes deviennent 3 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 10 - 10k ≥ 0 → k ≤ 1; 87 + 3k ≥ 0 → k ≥ -29. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 1. Les valeurs de x admises sont 3, 10. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    chevaux (x)ânes (y)moutons (z)Total des animauxVérification de la dépense
    310871003 × 7 + 10 × 5 + 87 × 1/3 = 100
    1009010010 × 7 + 0 × 5 + 90 × 1/3 = 100

    (3, 10, 87); (10, 0, 90)

    Il y a 2 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

    Les lignes contenant un zéro sont correctes si l’absence d’un type est autorisée ; excluez-les uniquement dans la version exigeant la présence de tous les types.

  20. Bœufs, béliers, agneaux

    Les trois types sont : bœufs, béliers, agneaux. Les prix unitaires, dans le même ordre, sont de 9, 6, 1/4 pièces. Combien d’animaux de chaque type pouvez-vous acheter en respectant les deux totaux ?

    Afficher la solution et la méthode

    1. Choisissons les inconnues dans l’ordre indiqué : x, y, z. Les deux conditions sont :

    x + y + z = 100
    9 × x + 6 × y + 1/4 × z = 100

    2. Multiplions l’équation de la dépense par 4 et remplaçons z = 100 - x - y. Nous obtenons 35x + 23y = 300. Le PGCD est 1 ; en divisant par 1, il reste 35x + 23y = 300.

    36x + 24y + 1z = 400
    36x + 24y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Réduisons modulo 23 : 35x ≡ 300 (mod 23). L’identité de Bézout 35 × (2) + 23 × (-3) = 1 montre que (2) est un inverse de 35 modulo 23. Donc x ≡ (2) × 300 ≡ 2 (mod 23). Tous les candidats sont x = 2 + 23k, avec k entier.

    4. De y ≥ 0, nous tirons x ≤ 8. En remplaçant la famille dans les autres effectifs, nous trouvons x = 2 + 23k, y = 10 - 35k, z = 88 + 12k. Les contraintes deviennent 2 + 23k ≥ 0 → k ≥ 0; 10 - 35k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 12k ≥ 0 → k ≥ -7. L’intersection des trois bornes donne 0 ≤ k ≤ 0. Les valeurs de x admises sont 2. Cet intervalle épuise toutes les possibilités.

    5. Toutes les solutions, dans l’ordre indiqué

    bœufs (x)béliers (y)agneaux (z)Total des animauxVérification de la dépense
    210881002 × 9 + 10 × 6 + 88 × 1/4 = 100

    (2, 10, 88)

    Il y a 1 solutions non négatives. Si nous exigeons au moins un animal de chaque type, il en reste 1.

6. Conclusion

Les noms des animaux et les pièces servent à raconter la situation : la méthode fonctionne avec trois biens quelconques et des prix rationnels.

Retenez le parcours : deux équations → élimination → coefficients entiers → PGCD → famille des solutions → bornes → vérification. Trouver un triplet ne prouve pas son unicité ; déterminer tout l’intervalle du paramètre, oui.