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I problemi delle cento bestie: metodo generale e 20 soluzioni ragionate

Cento animali, cento monete e tre prezzi: equazioni diofantee, MCD e congruenze per trovare tutte le soluzioni, o dimostrare che non esistono. Venti problemi con soluzioni da aprire al clic.

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I problemi delle cento bestie: metodo generale e 20 soluzioni ragionate

35 min

Questi problemi appartengono alla famiglia delle cento bestie, o dei cento animali: comprare un numero fissato di animali di tre tipi, spendendo esattamente una certa somma. Non basta trovare numeri che facciano tornare la spesa: i conteggi devono essere interi, non negativi e avere anche il totale giusto. Vedremo un procedimento che trova tutte le soluzioni oppure dimostra che non ce ne sono.

Il metodo generale, spiegato passo passo

Per capire quando ax + by = c ha soluzioni intere, come trovare l’identità di Bézout e come ricavare tutte le soluzioni, leggi Equazioni diofantee lineari: teoria ed esempio con Euclide esteso.

Apri il laboratorio generale delle equazioni diofantee: inserisci i tre coefficienti interi a, b e c e segui divisioni, sostituzioni e vincoli, senza saltare i passaggi.

Per le cento bestie, dopo aver eliminato z e tolto i denominatori, inserisci A, B e C dell’equazione Ax + By = C nei campi a, b e c del laboratorio. Recupera poi z = N - x - y e controlla anche z ≥ 0, oppure z ≥ 1 se è richiesto almeno un animale per tipo: il laboratorio generale impone i vincoli solo a x e y.

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Sezione: Teoria dei numeri

1. Dal racconto a due equazioni

Indichiamo con N il totale degli animali, con S la somma disponibile, con a, b, c i tre prezzi unitari e con x, y, z i rispettivi conteggi. L’ordine dei tipi conta: una terna (x, y, z) va sempre letta nello stesso ordine dei prezzi.

x + y + z = N
ax + by + cz = S

Dalla prima equazione ricaviamo z = N - x - y. Sostituiamo nella seconda:
ax + by + c(N - x - y) = S
(a - c)x + (b - c)y = S - cN.

L’idea concreta è questa: comprare tutti gli N animali al prezzo c costerebbe cN. Ogni animale del primo tipo aggiunge a - c alla spesa, ogni animale del secondo aggiunge b - c. Questi aumenti devono colmare esattamente S - cN.

Se compaiono frazioni, moltiplichiamo tutta l’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dei prezzi e, se necessario, di S. Otteniamo A x + B y = C con coefficienti interi, senza arrotondare. Alla fine recuperiamo sempre z = N - x - y.

Regola della raccolta: in tutti i 20 problemi N = S = 100. Sono ammesse quantità intere maggiori o uguali a zero. Se chiediamo almeno un animale di ogni tipo, imponiamo invece x, y, z ≥ 1: alcune soluzioni verranno escluse. Non confondere le due richieste.

2. MCD, congruenze e limiti: il metodo sistematico

  1. Controlla subito la spesa. Se tutti i prezzi sono positivi, deve valere N × min(a,b,c) ≤ S ≤ N × max(a,b,c). Fuori da questo intervallo il problema è impossibile; dentro non è ancora garantita una soluzione.
  2. Elimina z e le frazioni. Arriva a A x + B y = C.
  3. Calcola d = MCD(|A|,|B|). Se d non divide C, non esiste nessuna coppia intera. Se lo divide, dividi per d: A′x + B′y = C′, con coefficienti coprimi.
  4. Trova la classe di x. Per B′ > 0, considera A′x ≡ C′ (mod B′). Due numeri sono congruenti quando hanno lo stesso resto nella divisione per B′. Il termine B′y scompare perché è multiplo di B′.
  5. Usa l’inverso o Euclide. Poiché i coefficienti sono coprimi, Euclide esteso trova u, v con A′u + B′v = 1. Moltiplicando la congruenza per u, trovi x ≡ uC′ (mod B′). Se il resto è r, tutti i candidati sono x = r + kB′. Se B′ = 1, ogni intero appartiene alla stessa classe: la congruenza non limita x.
  6. Imponi i vincoli. Calcola y = (C - Ax)/B e z = N - x - y, poi imponi la non negatività o la positività richiesta. Sono i limiti sul parametro, non tentativi casuali, a decidere quali candidati restano.
  7. Verifica entrambe le equazioni. Per ogni terna controlla il totale degli animali e la spesa esatta. L’intervallo del parametro garantisce di non aver dimenticato altre soluzioni.

Come si trova l’inverso, in pratica? Se i coefficienti ridotti sono 31 e 7, esegui le divisioni con resto: 31 = 4 × 7 + 3, poi 7 = 2 × 3 + 1. Risali sostituendo il resto 3: 1 = 7 - 2 × 3 = 7 - 2 × (31 - 4 × 7) = 9 × 7 - 2 × 31. Quindi -2, o equivalentemente 5, è un inverso di 31 modulo 7. Non si indovina: si ottiene tornando indietro nelle divisioni di Euclide.

Nei problemi della raccolta a > b > c, dunque A > B > 0. Da Ax + By = C segue il primo limite 0 ≤ x ≤ ⌊C/A⌋. Il simbolo ⌊ ⌋ significa arrotondamento per difetto. Ma va controllato anche z: la sola equazione della spesa ridotta non impone automaticamente tutti i vincoli.

Un esempio completo? Apri la soluzione del problema 1: trovi tutti i passaggi del caso dei cento porci, dalla sostituzione fino alla verifica della terna. La teniamo nascosta insieme alle altre per lasciarti provare.

3. La soluzione generale: una famiglia e un intervallo

Quando (A,B) ≠ (0,0) e d divide C, Euclide esteso trova u, v tali che Au + Bv = d. Una soluzione particolare è x₀ = u(C/d), y₀ = v(C/d). Non importa se è negativa: serve come punto di partenza.

Tutte e sole le coppie intere sono:
x = x₀ + (B/d)k
y = y₀ - (A/d)k
z = N - x₀ - y₀ + ((A - B)/d)k
con k intero. Cambiando k percorri l’intera famiglia, non un campione.

Mettiamo m = 0 se sono ammessi tipi assenti, oppure m = 1 se servono tutti e tre. Ciascuno dei tre vincoli ha forma q + tk ≥ m. Se t > 0, impone k ≥ ⌈(m - q)/t⌉; se t < 0, impone k ≤ ⌊(m - q)/t⌋. Se t = 0, deve essere già vero q ≥ m. Il simbolo ⌈ ⌉ significa arrotondamento per eccesso.

Prendi il massimo di tutti i limiti inferiori e il minimo dei superiori. Se ottieni k_min > k_max, nessuna terna è ammissibile. Altrimenti usa tutti gli interi da k_min a k_max: il numero di soluzioni è k_max - k_min + 1. Questo è il criterio generale, valido anche se i prezzi non sono elencati in ordine.

Prezzi uguali: non dividere per zero. Se B = 0 e A ≠ 0, risolvi Ax = C: C/A deve essere intero e almeno m. Poi distribuisci N - x fra y e z, entrambi almeno m. Se A = 0 e B ≠ 0, fai lo stesso fissando y. Se A = B = 0, i tre prezzi sono uguali: per C ≠ 0 non ci sono soluzioni; per C = 0 vanno bene tutte le terne intere con x + y + z = N e i limiti richiesti. In quest’ultimo caso ci sono due quantità libere, non un solo parametro.

4. Quando la soluzione non esiste

Primo ostacolo: il MCD. Una variante con 100 animali, 100 monete e prezzi 7/2, 2, 1/2 porta a 6x + 3y = 100. Il membro sinistro è sempre multiplo di 3; 100 non lo è. Quindi nessuna soluzione intera è possibile.

Secondo ostacolo: i conteggi. Consideriamo cavalli a 15 monete, asini a 5 e pecore a 1/2, sempre con 100 animali e 100 monete. Otteniamo 29x + 9y = 100. Il MCD è 1, quindi esistono coppie intere. Tuttavia 2x ≡ 1 (mod 9) implica x ≡ 5 (mod 9), mentre y ≥ 0 richiede 0 ≤ x ≤ 3. Non c’è alcun intero di quella classe nell’intervallo: nessuna soluzione ammissibile.

Per esempio x = 5 darebbe y = -5 e z = 100: le due equazioni tornano, ma comprare meno cinque asini non ha senso. Il MCD decide l’esistenza negli interi; i vincoli decidono l’esistenza nel problema concreto.

5. I 20 problemi: prova, poi apri la soluzione

In ogni problema compra esattamente 100 animali e spendi esattamente 100 monete. I prezzi indicati sono per un singolo animale. Trova tutte le terne non negative, nell’ordine dei tre tipi; poi verifica quali restano se vuoi almeno un animale per tipo. Premi “Mostra soluzione e procedimento” per aprire o richiudere la risposta: non occorre JavaScript.

  1. I cento porci

    I tre tipi sono verri, scrofe, porcellini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 10, 5, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    10 × x + 5 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 19x + 9y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 19x + 9y = 100.

    20x + 10y + 1z = 200
    20x + 10y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 9: 19x ≡ 100 (mod 9). L’identità di Bézout 19 × (1) + 9 × (-2) = 1 mostra che (1) è un inverso di 19 modulo 9. Quindi x ≡ (1) × 100 ≡ 1 (mod 9). Tutti i candidati sono x = 1 + 9k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 5. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 1 + 9k, y = 9 - 19k, z = 90 + 10k. I vincoli diventano 1 + 9k ≥ 0 → k ≥ 0; 9 - 19k ≥ 0 → k ≤ 0; 90 + 10k ≥ 0 → k ≥ -9. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 1. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    verri (x)scrofe (y)porcellini (z)Totale animaliControllo della spesa
    19901001 × 10 + 9 × 5 + 90 × 1/2 = 100

    (1, 9, 90)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  2. I cento polli

    I tre tipi sono galli, galline, pulcini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 5, 3, 1/3 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    5 × x + 3 × y + 1/3 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 3 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 14x + 8y = 200. Il MCD è 2; dividendo per 2 resta 7x + 4y = 100.

    15x + 9y + 1z = 300
    15x + 9y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Riduciamo modulo 4: 7x ≡ 100 (mod 4). L’identità di Bézout 7 × (3) + 4 × (-5) = 1 mostra che (3) è un inverso di 7 modulo 4. Quindi x ≡ (3) × 100 ≡ 0 (mod 4). Tutti i candidati sono x = 0 + 4k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 14. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 0 + 4k, y = 25 - 7k, z = 75 + 3k. I vincoli diventano 0 + 4k ≥ 0 → k ≥ 0; 25 - 7k ≥ 0 → k ≤ 3; 75 + 3k ≥ 0 → k ≥ -25. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 3. I valori ammessi di x sono 0, 4, 8, 12. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    galli (x)galline (y)pulcini (z)Totale animaliControllo della spesa
    025751000 × 5 + 25 × 3 + 75 × 1/3 = 100
    418781004 × 5 + 18 × 3 + 78 × 1/3 = 100
    811811008 × 5 + 11 × 3 + 81 × 1/3 = 100
    1248410012 × 5 + 4 × 3 + 84 × 1/3 = 100

    (0, 25, 75); (4, 18, 78); (8, 11, 81); (12, 4, 84)

    Le soluzioni non negative sono 4. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 3.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  3. Mucche, pecore, capre

    I tre tipi sono mucche, pecore, capre. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 10, 3, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    10 × x + 3 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 19x + 5y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 19x + 5y = 100.

    20x + 6y + 1z = 200
    20x + 6y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 5: 19x ≡ 100 (mod 5). L’identità di Bézout 19 × (4) + 5 × (-15) = 1 mostra che (4) è un inverso di 19 modulo 5. Quindi x ≡ (4) × 100 ≡ 0 (mod 5). Tutti i candidati sono x = 0 + 5k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 5. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 0 + 5k, y = 20 - 19k, z = 80 + 14k. I vincoli diventano 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 20 - 19k ≥ 0 → k ≤ 1; 80 + 14k ≥ 0 → k ≥ -5. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 1. I valori ammessi di x sono 0, 5. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    mucche (x)pecore (y)capre (z)Totale animaliControllo della spesa
    020801000 × 10 + 20 × 3 + 80 × 1/2 = 100
    51941005 × 10 + 1 × 3 + 94 × 1/2 = 100

    (0, 20, 80); (5, 1, 94)

    Le soluzioni non negative sono 2. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  4. Pavoni, piccioni, passeri

    I tre tipi sono pavoni, piccioni, passeri. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 8, 2, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    8 × x + 2 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 31x + 7y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 31x + 7y = 300.

    32x + 8y + 1z = 400
    32x + 8y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 7: 31x ≡ 300 (mod 7). L’identità di Bézout 31 × (5) + 7 × (-22) = 1 mostra che (5) è un inverso di 31 modulo 7. Quindi x ≡ (5) × 300 ≡ 2 (mod 7). Tutti i candidati sono x = 2 + 7k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 9. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 2 + 7k, y = 34 - 31k, z = 64 + 24k. I vincoli diventano 2 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 34 - 31k ≥ 0 → k ≤ 1; 64 + 24k ≥ 0 → k ≥ -2. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 1. I valori ammessi di x sono 2, 9. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    pavoni (x)piccioni (y)passeri (z)Totale animaliControllo della spesa
    234641002 × 8 + 34 × 2 + 64 × 1/4 = 100
    93881009 × 8 + 3 × 2 + 88 × 1/4 = 100

    (2, 34, 64); (9, 3, 88)

    Le soluzioni non negative sono 2. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 2.

  5. Tonni, orate, sardine

    I tre tipi sono tonni, orate, sardine. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 12, 4, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    12 × x + 4 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 23x + 7y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 23x + 7y = 100.

    24x + 8y + 1z = 200
    24x + 8y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 7: 23x ≡ 100 (mod 7). L’identità di Bézout 23 × (4) + 7 × (-13) = 1 mostra che (4) è un inverso di 23 modulo 7. Quindi x ≡ (4) × 100 ≡ 1 (mod 7). Tutti i candidati sono x = 1 + 7k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 4. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 1 + 7k, y = 11 - 23k, z = 88 + 16k. I vincoli diventano 1 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 11 - 23k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 16k ≥ 0 → k ≥ -5. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 1. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    tonni (x)orate (y)sardine (z)Totale animaliControllo della spesa
    111881001 × 12 + 11 × 4 + 88 × 1/2 = 100

    (1, 11, 88)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  6. Cavalli, asini, agnelli

    I tre tipi sono cavalli, asini, agnelli. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 4, 3, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    4 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 15x + 11y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 15x + 11y = 300.

    16x + 12y + 1z = 400
    16x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 11: 15x ≡ 300 (mod 11). L’identità di Bézout 15 × (3) + 11 × (-4) = 1 mostra che (3) è un inverso di 15 modulo 11. Quindi x ≡ (3) × 300 ≡ 9 (mod 11). Tutti i candidati sono x = 9 + 11k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 20. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 9 + 11k, y = 15 - 15k, z = 76 + 4k. I vincoli diventano 9 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 15 - 15k ≥ 0 → k ≤ 1; 76 + 4k ≥ 0 → k ≥ -19. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 1. I valori ammessi di x sono 9, 20. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    cavalli (x)asini (y)agnelli (z)Totale animaliControllo della spesa
    915761009 × 4 + 15 × 3 + 76 × 1/4 = 100
    2008010020 × 4 + 0 × 3 + 80 × 1/4 = 100

    (9, 15, 76); (20, 0, 80)

    Le soluzioni non negative sono 2. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  7. Buoi, capre, pulcini

    I tre tipi sono buoi, capre, pulcini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 7, 2, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    7 × x + 2 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 13x + 3y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 13x + 3y = 100.

    14x + 4y + 1z = 200
    14x + 4y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 3: 13x ≡ 100 (mod 3). L’identità di Bézout 13 × (1) + 3 × (-4) = 1 mostra che (1) è un inverso di 13 modulo 3. Quindi x ≡ (1) × 100 ≡ 1 (mod 3). Tutti i candidati sono x = 1 + 3k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 7. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 1 + 3k, y = 29 - 13k, z = 70 + 10k. I vincoli diventano 1 + 3k ≥ 0 → k ≥ 0; 29 - 13k ≥ 0 → k ≤ 2; 70 + 10k ≥ 0 → k ≥ -7. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 2. I valori ammessi di x sono 1, 4, 7. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    buoi (x)capre (y)pulcini (z)Totale animaliControllo della spesa
    129701001 × 7 + 29 × 2 + 70 × 1/2 = 100
    416801004 × 7 + 16 × 2 + 80 × 1/2 = 100
    73901007 × 7 + 3 × 2 + 90 × 1/2 = 100

    (1, 29, 70); (4, 16, 80); (7, 3, 90)

    Le soluzioni non negative sono 3. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 3.

  8. Cervi, lepri, conigli

    I tre tipi sono cervi, lepri, conigli. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 8, 6, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    8 × x + 6 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 15x + 11y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 15x + 11y = 100.

    16x + 12y + 1z = 200
    16x + 12y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 11: 15x ≡ 100 (mod 11). L’identità di Bézout 15 × (3) + 11 × (-4) = 1 mostra che (3) è un inverso di 15 modulo 11. Quindi x ≡ (3) × 100 ≡ 3 (mod 11). Tutti i candidati sono x = 3 + 11k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 6. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 3 + 11k, y = 5 - 15k, z = 92 + 4k. I vincoli diventano 3 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 5 - 15k ≥ 0 → k ≤ 0; 92 + 4k ≥ 0 → k ≥ -23. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 3. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    cervi (x)lepri (y)conigli (z)Totale animaliControllo della spesa
    35921003 × 8 + 5 × 6 + 92 × 1/2 = 100

    (3, 5, 92)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  9. Oche, anatre, pulcini

    I tre tipi sono oche, anatre, pulcini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 10, 4, 1/3 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    10 × x + 4 × y + 1/3 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 3 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 29x + 11y = 200. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 29x + 11y = 200.

    30x + 12y + 1z = 300
    30x + 12y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Riduciamo modulo 11: 29x ≡ 200 (mod 11). L’identità di Bézout 29 × (8) + 11 × (-21) = 1 mostra che (8) è un inverso di 29 modulo 11. Quindi x ≡ (8) × 200 ≡ 5 (mod 11). Tutti i candidati sono x = 5 + 11k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 6. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 5 + 11k, y = 5 - 29k, z = 90 + 18k. I vincoli diventano 5 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 5 - 29k ≥ 0 → k ≤ 0; 90 + 18k ≥ 0 → k ≥ -5. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 5. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    oche (x)anatre (y)pulcini (z)Totale animaliControllo della spesa
    55901005 × 10 + 5 × 4 + 90 × 1/3 = 100

    (5, 5, 90)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  10. Pavoni, galline, passeri

    I tre tipi sono pavoni, galline, passeri. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 15, 4, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    15 × x + 4 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 29x + 7y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 29x + 7y = 100.

    30x + 8y + 1z = 200
    30x + 8y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 7: 29x ≡ 100 (mod 7). L’identità di Bézout 29 × (1) + 7 × (-4) = 1 mostra che (1) è un inverso di 29 modulo 7. Quindi x ≡ (1) × 100 ≡ 2 (mod 7). Tutti i candidati sono x = 2 + 7k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 3. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 2 + 7k, y = 6 - 29k, z = 92 + 22k. I vincoli diventano 2 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 29k ≥ 0 → k ≤ 0; 92 + 22k ≥ 0 → k ≥ -4. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 2. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    pavoni (x)galline (y)passeri (z)Totale animaliControllo della spesa
    26921002 × 15 + 6 × 4 + 92 × 1/2 = 100

    (2, 6, 92)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  11. Cavalli, pecore, agnelli

    I tre tipi sono cavalli, pecore, agnelli. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 6, 3, 1/2 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    6 × x + 3 × y + 1/2 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 2 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 11x + 5y = 100. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 11x + 5y = 100.

    12x + 6y + 1z = 200
    12x + 6y + 1(100 - x - y) = 200

    3. Riduciamo modulo 5: 11x ≡ 100 (mod 5). L’identità di Bézout 11 × (1) + 5 × (-2) = 1 mostra che (1) è un inverso di 11 modulo 5. Quindi x ≡ (1) × 100 ≡ 0 (mod 5). Tutti i candidati sono x = 0 + 5k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 9. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 0 + 5k, y = 20 - 11k, z = 80 + 6k. I vincoli diventano 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 20 - 11k ≥ 0 → k ≤ 1; 80 + 6k ≥ 0 → k ≥ -13. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 1. I valori ammessi di x sono 0, 5. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    cavalli (x)pecore (y)agnelli (z)Totale animaliControllo della spesa
    020801000 × 6 + 20 × 3 + 80 × 1/2 = 100
    59861005 × 6 + 9 × 3 + 86 × 1/2 = 100

    (0, 20, 80); (5, 9, 86)

    Le soluzioni non negative sono 2. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  12. Trote, carpe, alborelle

    I tre tipi sono trote, carpe, alborelle. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 8, 3, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    8 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 31x + 11y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 31x + 11y = 300.

    32x + 12y + 1z = 400
    32x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 11: 31x ≡ 300 (mod 11). L’identità di Bézout 31 × (5) + 11 × (-14) = 1 mostra che (5) è un inverso di 31 modulo 11. Quindi x ≡ (5) × 300 ≡ 4 (mod 11). Tutti i candidati sono x = 4 + 11k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 9. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 4 + 11k, y = 16 - 31k, z = 80 + 20k. I vincoli diventano 4 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 16 - 31k ≥ 0 → k ≤ 0; 80 + 20k ≥ 0 → k ≥ -4. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 4. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    trote (x)carpe (y)alborelle (z)Totale animaliControllo della spesa
    416801004 × 8 + 16 × 3 + 80 × 1/4 = 100

    (4, 16, 80)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  13. Cani, gatti, criceti

    I tre tipi sono cani, gatti, criceti. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 10, 2, 1/3 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    10 × x + 2 × y + 1/3 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 3 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 29x + 5y = 200. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 29x + 5y = 200.

    30x + 6y + 1z = 300
    30x + 6y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Riduciamo modulo 5: 29x ≡ 200 (mod 5). L’identità di Bézout 29 × (4) + 5 × (-23) = 1 mostra che (4) è un inverso di 29 modulo 5. Quindi x ≡ (4) × 200 ≡ 0 (mod 5). Tutti i candidati sono x = 0 + 5k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 6. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 0 + 5k, y = 40 - 29k, z = 60 + 24k. I vincoli diventano 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 40 - 29k ≥ 0 → k ≤ 1; 60 + 24k ≥ 0 → k ≥ -2. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 1. I valori ammessi di x sono 0, 5. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    cani (x)gatti (y)criceti (z)Totale animaliControllo della spesa
    040601000 × 10 + 40 × 2 + 60 × 1/3 = 100
    511841005 × 10 + 11 × 2 + 84 × 1/3 = 100

    (0, 40, 60); (5, 11, 84)

    Le soluzioni non negative sono 2. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  14. Tacchini, anatre, pulcini

    I tre tipi sono tacchini, anatre, pulcini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 15, 3, 1/3 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    15 × x + 3 × y + 1/3 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 3 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 44x + 8y = 200. Il MCD è 4; dividendo per 4 resta 11x + 2y = 50.

    45x + 9y + 1z = 300
    45x + 9y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Riduciamo modulo 2: 11x ≡ 50 (mod 2). L’identità di Bézout 11 × (1) + 2 × (-5) = 1 mostra che (1) è un inverso di 11 modulo 2. Quindi x ≡ (1) × 50 ≡ 0 (mod 2). Tutti i candidati sono x = 0 + 2k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 4. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 0 + 2k, y = 25 - 11k, z = 75 + 9k. I vincoli diventano 0 + 2k ≥ 0 → k ≥ 0; 25 - 11k ≥ 0 → k ≤ 2; 75 + 9k ≥ 0 → k ≥ -8. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 2. I valori ammessi di x sono 0, 2, 4. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    tacchini (x)anatre (y)pulcini (z)Totale animaliControllo della spesa
    025751000 × 15 + 25 × 3 + 75 × 1/3 = 100
    214841002 × 15 + 14 × 3 + 84 × 1/3 = 100
    43931004 × 15 + 3 × 3 + 93 × 1/3 = 100

    (0, 25, 75); (2, 14, 84); (4, 3, 93)

    Le soluzioni non negative sono 3. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 2.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  15. Conigli, piccioni, passeri

    I tre tipi sono conigli, piccioni, passeri. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 6, 3, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    6 × x + 3 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 23x + 11y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 23x + 11y = 300.

    24x + 12y + 1z = 400
    24x + 12y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 11: 23x ≡ 300 (mod 11). L’identità di Bézout 23 × (1) + 11 × (-2) = 1 mostra che (1) è un inverso di 23 modulo 11. Quindi x ≡ (1) × 300 ≡ 3 (mod 11). Tutti i candidati sono x = 3 + 11k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 13. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 3 + 11k, y = 21 - 23k, z = 76 + 12k. I vincoli diventano 3 + 11k ≥ 0 → k ≥ 0; 21 - 23k ≥ 0 → k ≤ 0; 76 + 12k ≥ 0 → k ≥ -6. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 3. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    conigli (x)piccioni (y)passeri (z)Totale animaliControllo della spesa
    321761003 × 6 + 21 × 3 + 76 × 1/4 = 100

    (3, 21, 76)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  16. Mucche, maiali, pulcini

    I tre tipi sono mucche, maiali, pulcini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 8, 5, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    8 × x + 5 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 31x + 19y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 31x + 19y = 300.

    32x + 20y + 1z = 400
    32x + 20y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 19: 31x ≡ 300 (mod 19). L’identità di Bézout 31 × (8) + 19 × (-13) = 1 mostra che (8) è un inverso di 31 modulo 19. Quindi x ≡ (8) × 300 ≡ 6 (mod 19). Tutti i candidati sono x = 6 + 19k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 9. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 6 + 19k, y = 6 - 31k, z = 88 + 12k. I vincoli diventano 6 + 19k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 31k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 12k ≥ 0 → k ≥ -7. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 6. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    mucche (x)maiali (y)pulcini (z)Totale animaliControllo della spesa
    66881006 × 8 + 6 × 5 + 88 × 1/4 = 100

    (6, 6, 88)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  17. Cigni, oche, passeri

    I tre tipi sono cigni, oche, passeri. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 11, 2, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    11 × x + 2 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 43x + 7y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 43x + 7y = 300.

    44x + 8y + 1z = 400
    44x + 8y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 7: 43x ≡ 300 (mod 7). L’identità di Bézout 43 × (1) + 7 × (-6) = 1 mostra che (1) è un inverso di 43 modulo 7. Quindi x ≡ (1) × 300 ≡ 6 (mod 7). Tutti i candidati sono x = 6 + 7k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 6. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 6 + 7k, y = 6 - 43k, z = 88 + 36k. I vincoli diventano 6 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 6 - 43k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 36k ≥ 0 → k ≥ -2. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 6. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    cigni (x)oche (y)passeri (z)Totale animaliControllo della spesa
    66881006 × 11 + 6 × 2 + 88 × 1/4 = 100

    (6, 6, 88)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

  18. Capre, galline, pulcini

    I tre tipi sono capre, galline, pulcini. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 5, 2, 1/3 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    5 × x + 2 × y + 1/3 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 3 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 14x + 5y = 200. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 14x + 5y = 200.

    15x + 6y + 1z = 300
    15x + 6y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Riduciamo modulo 5: 14x ≡ 200 (mod 5). L’identità di Bézout 14 × (4) + 5 × (-11) = 1 mostra che (4) è un inverso di 14 modulo 5. Quindi x ≡ (4) × 200 ≡ 0 (mod 5). Tutti i candidati sono x = 0 + 5k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 14. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 0 + 5k, y = 40 - 14k, z = 60 + 9k. I vincoli diventano 0 + 5k ≥ 0 → k ≥ 0; 40 - 14k ≥ 0 → k ≤ 2; 60 + 9k ≥ 0 → k ≥ -6. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 2. I valori ammessi di x sono 0, 5, 10. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    capre (x)galline (y)pulcini (z)Totale animaliControllo della spesa
    040601000 × 5 + 40 × 2 + 60 × 1/3 = 100
    526691005 × 5 + 26 × 2 + 69 × 1/3 = 100
    10127810010 × 5 + 12 × 2 + 78 × 1/3 = 100

    (0, 40, 60); (5, 26, 69); (10, 12, 78)

    Le soluzioni non negative sono 3. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 2.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  19. Cavalli, asini, pecore

    I tre tipi sono cavalli, asini, pecore. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 7, 5, 1/3 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    7 × x + 5 × y + 1/3 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 3 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 20x + 14y = 200. Il MCD è 2; dividendo per 2 resta 10x + 7y = 100.

    21x + 15y + 1z = 300
    21x + 15y + 1(100 - x - y) = 300

    3. Riduciamo modulo 7: 10x ≡ 100 (mod 7). L’identità di Bézout 10 × (5) + 7 × (-7) = 1 mostra che (5) è un inverso di 10 modulo 7. Quindi x ≡ (5) × 100 ≡ 3 (mod 7). Tutti i candidati sono x = 3 + 7k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 10. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 3 + 7k, y = 10 - 10k, z = 87 + 3k. I vincoli diventano 3 + 7k ≥ 0 → k ≥ 0; 10 - 10k ≥ 0 → k ≤ 1; 87 + 3k ≥ 0 → k ≥ -29. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 1. I valori ammessi di x sono 3, 10. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    cavalli (x)asini (y)pecore (z)Totale animaliControllo della spesa
    310871003 × 7 + 10 × 5 + 87 × 1/3 = 100
    1009010010 × 7 + 0 × 5 + 90 × 1/3 = 100

    (3, 10, 87); (10, 0, 90)

    Le soluzioni non negative sono 2. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

    Le righe con uno zero sono corrette nella versione che ammette un tipo assente; vanno escluse soltanto nella versione con tutti i tipi presenti.

  20. Buoi, montoni, agnelli

    I tre tipi sono buoi, montoni, agnelli. I prezzi unitari, nello stesso ordine, sono 9, 6, 1/4 monete. Quanti animali di ogni tipo puoi acquistare rispettando entrambi i totali?

    Mostra soluzione e procedimento

    1. Scegliamo le incognite nell’ordine indicato: x, y, z. Le due condizioni sono:

    x + y + z = 100
    9 × x + 6 × y + 1/4 × z = 100

    2. Moltiplichiamo l’equazione della spesa per 4 e sostituiamo z = 100 - x - y. Otteniamo 35x + 23y = 300. Il MCD è 1; dividendo per 1 resta 35x + 23y = 300.

    36x + 24y + 1z = 400
    36x + 24y + 1(100 - x - y) = 400

    3. Riduciamo modulo 23: 35x ≡ 300 (mod 23). L’identità di Bézout 35 × (2) + 23 × (-3) = 1 mostra che (2) è un inverso di 35 modulo 23. Quindi x ≡ (2) × 300 ≡ 2 (mod 23). Tutti i candidati sono x = 2 + 23k, con k intero.

    4. Da y ≥ 0 ricaviamo x ≤ 8. Sostituendo la famiglia nelle altre quantità troviamo x = 2 + 23k, y = 10 - 35k, z = 88 + 12k. I vincoli diventano 2 + 23k ≥ 0 → k ≥ 0; 10 - 35k ≥ 0 → k ≤ 0; 88 + 12k ≥ 0 → k ≥ -7. Intersecando i tre limiti otteniamo 0 ≤ k ≤ 0. I valori ammessi di x sono 2. Questo intervallo esaurisce tutte le possibilità.

    5. Tutte le soluzioni, nell’ordine indicato

    buoi (x)montoni (y)agnelli (z)Totale animaliControllo della spesa
    210881002 × 9 + 10 × 6 + 88 × 1/4 = 100

    (2, 10, 88)

    Le soluzioni non negative sono 1. Se richiediamo almeno un animale per tipo, ne restano 1.

6. Conclusione

I nomi degli animali e le monete servono a raccontare la situazione: il metodo funziona con qualsiasi insieme di tre beni e prezzi razionali.

Il percorso da ricordare è: due equazioni → eliminazione → coefficienti interi → MCD → famiglia delle soluzioni → limiti → verifica. Trovare una terna non dimostra che sia unica; determinare tutto l’intervallo del parametro sì.