Dos circunferencias concéntricas delimitan una región en forma de anillo: una corona circular. Una cuerda de la circunferencia mayor mide 20 cm y es tangente a la menor. ¿Cuál es el área de la corona?
Parece que faltan dos datos: el radio exterior y el interior. Sin embargo, no hacen falta por separado. La cuerda determina exactamente la combinación que aparece en la fórmula del área.
1. Leer el dibujo
- O es el centro común.
- A y B son los extremos de la cuerda sobre la circunferencia exterior.
- T es el punto de tangencia sobre la circunferencia interior.
OA = OB = Res el radio exterior;OT = res el radio interior.
2. ¿Por qué media cuerda mide 10 cm?
El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: OT ⟂ AB. Además, la perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia a una cuerda la divide en dos partes iguales. Esto se aplica porque O también es el centro de la circunferencia exterior.
Para entender el motivo, comparemos los triángulos rectángulos ATO y BTO: tienen hipotenusas iguales, OA = OB, y comparten el cateto OT. Son congruentes, por lo que AT = TB.
AT = TB = AB/2 = 20/2 = 10 cmLos 10 cm no son un radio, sino la mitad de la cuerda. En ATO, la hipotenusa OA mide R; los catetos son OT, de longitud r, y AT, de longitud 10 cm.
3. Pitágoras proporciona exactamente lo necesario
Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo ATO:
R² = r² + (10 cm)²
R² − r² = 100 cm²Llamamos S al área para distinguirla del punto A. Restamos el área del círculo interior del área del exterior:
S = πR² − πr²
= π(R² − r²)
= 100π cm² ≈ 314,16 cm²Respuesta: 100π cm². La expresión con π es exacta; 314,16 cm² es un redondeo a las centésimas. El resultado no depende de los radios concretos elegidos para la ilustración.
4. Una fórmula para cualquier cuerda tangente
Si la cuerda tangente mide L y su mitad es h = L/2, el mismo razonamiento da:
R² − r² = h² = L²/4
S = πh² = πL²/4La corona tiene la misma área que un círculo cuyo diámetro es L. Se trata de una igualdad de áreas, no de figuras que se superpongan. Al duplicar la cuerda, el área se multiplica por cuatro.
La fórmula inversa permite obtener la cuerda a partir del área:
L = 2√(S/π)5. Radios diferentes, la misma área
Con L = 20 cm, todas las parejas positivas que cumplen R² − r² = 100 cm² producen la misma área. Estos son dos ejemplos:
| r (cm) | R (cm) | R² − r² (cm²) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|
| 7,5 | 12,5 | 156,25 − 56,25 = 100 | 100π |
| 24 | 26 | 676 − 576 = 100 | 100π |
La segunda corona es más estrecha, pero se extiende alrededor de una circunferencia mayor. La factorización también muestra esta compensación:
S = π(R − r)(R + r)Si conocemos además el grosor w = R − r, podemos recuperar ambos radios. Con una cuerda de 20 cm y un grosor de 2 cm, R + r = 100/2 = 50 cm, de modo que R = 26 cm y r = 24 cm.
6. Las hipótesis necesarias
Las circunferencias deben ser concéntricas, con R > r > 0, y la cuerda debe ser tangente a la interior. No basta conocer la longitud de una cuerda cualquiera.
Si la recta que contiene la cuerda está a una distancia p del centro, Pitágoras da R² = p² + L²/4. El área será S = π(L²/4 + p² − r²): los términos adicionales solo se cancelan cuando p = r, la condición de tangencia.
Cuidado con dos errores frecuentes: R² − r² no es (R − r)², y 20 cm es la cuerda entera, no el cateto que se usa en Pitágoras.
7. Inténtalo
Una cuerda de 12 cm
Calcula el área de la corona.
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Media cuerda mide 6 cm:
S = π · 6² = 36π cm² ≈ 113,10 cm².Una cuerda de 30 cm
Calcula el área y compárala con el caso de 20 cm.
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S = π · 15² = 225π cm² ≈ 706,86 cm². La razón es(30/20)² = 2,25: el área es 2,25 veces la inicial.El problema inverso
El área es 81π cm². ¿Cuánto mide la cuerda tangente?
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L = 2√(81π/π) = 18 cm. El área no determina por separado los dos radios.Comprobar un dibujo
Los radios miden 13 cm y 5 cm. Calcula la cuerda tangente a la circunferencia interior.
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h = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm, así queL = 24 cm. Comprobación:S = π(169 − 25) = 144π cm² = π · 24²/4.
El paso decisivo consiste en identificar la cantidad que realmente necesitamos: para calcular el área basta conocer la diferencia de los cuadrados de los radios. El triángulo rectángulo la proporciona de inmediato.
Por Salvatore Mosaico.