Une corde suffit : l’aire d’une couronne circulaire avec Pythagore

Deux cercles concentriques délimitent une région en forme d’anneau : une couronne circulaire. Une corde du grand cercle mesure 20 cm et est tangente au petit cercle. Quelle est l’aire de la couronne ?

Il semble manquer deux données : les rayons extérieur et intérieur. Pourtant, il est inutile de les connaître séparément. La corde détermine exactement la combinaison présente dans la formule de l’aire.

1. Lire la figure

• O est le centre commun.
• A et B sont les extrémités de la corde sur le cercle extérieur.
• T est le point de tangence sur le cercle intérieur.
• OA = OB = R est le rayon extérieur ; OT = r est le rayon intérieur.

2. Pourquoi la demi-corde mesure-t-elle 10 cm ?

Le rayon mené au point de tangence est perpendiculaire à la tangente : OT ⟂ AB. De plus, la perpendiculaire menée du centre d’un cercle à une corde partage celle-ci en deux parties égales. On peut appliquer cette propriété car O est aussi le centre du cercle extérieur.

Pour comprendre pourquoi, comparons les triangles rectangles ATO et BTO : leurs hypoténuses sont égales, OA = OB, et ils ont le côté OT en commun. Ces triangles sont isométriques ; ainsi AT = TB.

AT = TB = AB/2 = 20/2 = 10 cm

Les 10 cm ne représentent pas un rayon, mais la moitié de la corde. Dans ATO, l’hypoténuse OA mesure R ; les côtés de l’angle droit sont OT, de longueur r, et AT, de longueur 10 cm.

3. Pythagore donne exactement la quantité utile

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ATO :

R² = r² + (10 cm)²
R² − r² = 100 cm²

Notons l’aire S pour la distinguer du point A. On soustrait l’aire du disque intérieur à celle du disque extérieur :

S = πR² − πr²
  = π(R² − r²)
  = 100π cm² ≈ 314,16 cm²

Réponse : 100π cm². L’expression avec π est exacte ; 314,16 cm² est un arrondi au centième. Le résultat ne dépend pas des rayons particuliers choisis pour la figure.

4. Une formule pour toute corde tangente

Si la corde tangente mesure L et sa moitié h = L/2, le même raisonnement donne :

R² − r² = h² = L²/4
S = πh² = πL²/4

La couronne a donc la même aire qu’un disque de diamètre L. Il s’agit d’une égalité d’aires, pas de figures superposables. Doubler la corde multiplie l’aire par quatre.

La formule inverse permet de retrouver la corde à partir de l’aire :

L = 2√(S/π)

5. Des rayons différents, une même aire

Pour L = 20 cm, chaque paire positive vérifiant R² − r² = 100 cm² produit la même aire. Voici deux exemples :

La seconde couronne est plus mince, mais s’étend autour d’un cercle plus grand. La factorisation rend également visible cette compensation :

S = π(R − r)(R + r)

Si l’on connaît aussi l’épaisseur w = R − r, on peut retrouver les rayons. Avec une corde de 20 cm et une épaisseur de 2 cm, R + r = 100/2 = 50 cm, donc R = 26 cm et r = 24 cm.

6. Les hypothèses indispensables

Les cercles doivent être concentriques, avec R > r > 0, et la corde doit être tangente au cercle intérieur. La longueur d’une corde quelconque ne suffit pas.

Si la droite qui porte la corde est à une distance p du centre, Pythagore donne R² = p² + L²/4. L’aire devient S = π(L²/4 + p² − r²) : les termes supplémentaires s’annulent seulement si p = r, la condition de tangence.

Attention à deux erreurs fréquentes : R² − r² n’est pas (R − r)², et 20 cm désigne la corde entière, pas le côté à utiliser dans Pythagore.

7. À vous de jouer

1. Une corde de 12 cm

   Trouvez l’aire de la couronne.

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   La demi-corde mesure 6 cm : S = π · 6² = 36π cm² ≈ 113,10 cm².

2. Une corde de 30 cm

   Trouvez l’aire et comparez-la au cas de 20 cm.

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   S = π · 15² = 225π cm² ≈ 706,86 cm². Le rapport est (30/20)² = 2,25 : l’aire vaut 2,25 fois l’aire initiale.

3. Le problème inverse

   L’aire vaut 81π cm². Quelle est la longueur de la corde tangente ?

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   L = 2√(81π/π) = 18 cm. L’aire ne détermine pas séparément les deux rayons.

4. Vérifier un dessin

   Les rayons mesurent 13 cm et 5 cm. Trouvez la corde tangente au cercle intérieur.

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   h = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm, donc L = 24 cm. Vérification : S = π(169 − 25) = 144π cm² = π · 24²/4.

L’étape décisive consiste à identifier la quantité vraiment nécessaire : pour trouver l’aire, il suffit de connaître la différence des carrés des rayons. Le triangle rectangle la fournit immédiatement.

Par Salvatore Mosaico.