Imagina una Tierra perfectamente esférica y una cuerda que la rodea por el ecuador, pegada a su superficie. Añadimos un metro de cuerda y volvemos a colocarla formando una circunferencia con el mismo centro, a una altura uniforme sobre la superficie.
¿Cuánto se eleva la cuerda? ¿Casi nada? ¿Un milímetro? ¿Lo suficiente para que pase una pelota pequeña?
Antes de abrir la solución, haz una estimación. ¿Necesitamos conocer el radio terrestre?
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De la longitud de la circunferencia al radio
Llamamos R al radio inicial y h a la elevación uniforme. Medimos todas las longitudes en metros. La circunferencia inicial mide C = 2πR. El nuevo radio es R + h, de modo que:
C + 1 = 2π(R + h)
2πR + 1 = 2πR + 2πh
1 = 2πh
h = 1/(2π) m ≈ 0,15915 m ≈ 15,9 cm¡La cuerda se eleva unos 15,9 centímetros en todo el recorrido! R se cancela: no hace falta saber el tamaño de la Tierra.
¿Por qué nos engaña la intuición?
Un metro parece insignificante frente a la longitud del ecuador. En efecto, la variación porcentual es diminuta. Pero buscamos una variación absoluta del radio: cada metro añadido a la circunferencia produce siempre el mismo aumento, 1/(2π) metros.
La fórmula de la circunferencia es lineal: por cada centímetro adicional de radio hacen falta 2π centímetros de cuerda, sea cual sea el círculo inicial.
La fórmula general y el problema inverso
Si añadimos una longitud d, la elevación uniforme es:
h = d/(2π)
d = 2πhPara elevar uniformemente la cuerda un metro necesitamos, por tanto, 2π m ≈ 6,283 m de cuerda adicional, no un solo metro.
¿Tierra, balón o naranja?
Repite el experimento ideal alrededor de un balón o de una naranja: añadiendo siempre un metro, la separación aumenta siempre unos 15,9 cm. El aumento porcentual cambia muchísimo, pero el absoluto no.
Cuidado con las condiciones
La Tierra esférica y la cuerda circular forman un modelo matemático: ignoramos montañas, elasticidad, grosor y gravedad, imaginando soportes que mantengan la cuerda en su sitio. No se supone que quede suspendida por sí sola.
Levantar la cuerda en un solo punto es otro problema. Su forma deja de ser una circunferencia concéntrica y esta fórmula no se puede aplicar directamente. Aquí «cuerda» significa un hilo, no el segmento geométrico que une dos puntos de una circunferencia.
Cuatro variantes para practicar
Solo un centímetro más
¿Cuál es la elevación uniforme?
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h = 1/(2π) cm ≈ 0,159 cm = 1,59 mm. ¡Las unidades importan!Dejar pasar una pelota pequeña
¿Cuánta cuerda hay que añadir para obtener una separación uniforme de 5 cm?
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d = 2π · 5 cm = 10π cm ≈ 31,4 cm. Una pelota de 5 cm de diámetro cabe justo en el modelo ideal; para dejar holgura hace falta un poco más de cuerda.Dos metros en lugar de uno
¿La elevación se duplica o se cuadruplica?
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Se duplica:
h = 2/(2π) m = 1/π m ≈ 31,8 cm. La relación es lineal, no cuadrática.Un aumento del 1 %
Si aumentamos la longitud inicial un 1 %, ¿el resultado sigue siendo independiente del radio?
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No:
d = 0,01 · 2πR, por lo queh = 0,01R. Añadir una longitud fija y añadir un porcentaje fijo son operaciones diferentes.