Un mètre de plus : la corde autour de la Terre

Imaginons une Terre parfaitement sphérique et une corde qui l’entoure le long de l’équateur, au contact de sa surface. Nous ajoutons un mètre de corde, puis la disposons en cercle, avec le même centre, à une hauteur uniforme au-dessus de la surface.

De combien la corde se soulève-t-elle ? Presque rien ? Un millimètre ? Assez pour laisser passer une petite balle ?

Avant d’ouvrir la solution, faites une estimation. Faut-il connaître le rayon terrestre ?

C + 1 = 2π(R + h)
2πR + 1 = 2πR + 2πh
1 = 2πh
h = 1/(2π) m ≈ 0,15915 m ≈ 15,9 cm

Pourquoi notre intuition nous trompe-t-elle ?

Un mètre paraît négligeable devant la longueur de l’équateur. La variation en pourcentage est effectivement minuscule. Mais nous cherchons une variation absolue du rayon : chaque mètre de circonférence supplémentaire produit toujours la même augmentation, 1/(2π) mètre.

La formule de la circonférence est linéaire : chaque centimètre de rayon supplémentaire nécessite 2π centimètres de corde, quel que soit le cercle initial.

La formule générale et le problème inverse

Si nous ajoutons une longueur d, le soulèvement uniforme vaut :

h = d/(2π)
d = 2πh

Pour soulever uniformément la corde d’un mètre, il faut donc ajouter 2π m ≈ 6,283 m de corde, et non un seul mètre.

Terre, ballon ou orange ?

Répétez l’expérience idéale autour d’un ballon ou d’une orange : en ajoutant toujours un mètre, l’écart augmente toujours d’environ 15,9 cm. L’augmentation en pourcentage varie énormément, mais pas l’augmentation absolue.

Attention aux hypothèses

La Terre sphérique et la corde circulaire constituent un modèle mathématique : nous négligeons les montagnes, l’élasticité, l’épaisseur et la gravité, en imaginant des supports qui maintiennent la corde. Elle ne reste pas suspendue toute seule.

Soulever la corde en un seul point est un autre problème. Sa forme n’est plus un cercle concentrique : cette formule ne s’applique donc pas directement. Ici, « corde » désigne un fil, et non le segment géométrique joignant deux points d’un cercle.

Quatre variantes à essayer

1. Un seul centimètre de plus

   Quel est le soulèvement uniforme ?

   Afficher la solution

   h = 1/(2π) cm ≈ 0,159 cm = 1,59 mm. Attention aux unités !

2. Laisser passer une petite balle

   Quelle longueur ajouter pour obtenir un espace uniforme de 5 cm ?

   Afficher la solution

   d = 2π · 5 cm = 10π cm ≈ 31,4 cm. Une balle de 5 cm de diamètre passe exactement dans le modèle idéal ; pour laisser du jeu, il faut un peu plus de corde.

3. Deux mètres au lieu d’un

   Le soulèvement double-t-il ou quadruple-t-il ?

   Afficher la solution

   Il double : h = 2/(2π) m = 1/π m ≈ 31,8 cm. La relation est linéaire, et non quadratique.

4. Une augmentation de 1 %

   Si nous augmentons la longueur initiale de 1 %, le résultat est-il encore indépendant du rayon ?

   Afficher la solution

   Non : d = 0,01 · 2πR, donc h = 0,01R. Ajouter une longueur fixe et ajouter un pourcentage fixe sont deux opérations différentes.