Immagina una Terra perfettamente sferica e una corda che la circonda lungo l’equatore, aderendo alla superficie. Allunghiamo la corda di un metro e la disponiamo nuovamente a cerchio, con lo stesso centro, alla stessa altezza sopra la superficie in ogni punto.
Di quanto si alza la corda? Quasi nulla? Un millimetro? Abbastanza da far passare una pallina?
Prima di aprire la soluzione, prova a fare una previsione. Occorre conoscere il raggio terrestre?
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Dal perimetro al raggio
Chiamiamo R il raggio iniziale e h il sollevamento uniforme. Misuriamo tutte le lunghezze in metri. La circonferenza iniziale misura C = 2πR. Il nuovo raggio è R + h, quindi:
C + 1 = 2π(R + h)
2πR + 1 = 2πR + 2πh
1 = 2πh
h = 1/(2π) m ≈ 0,15915 m ≈ 15,9 cmLa corda si alza di circa 15,9 centimetri lungo tutto il giro! Il raggio R si elimina: non serve sapere quanto è grande la Terra.
Perché l’intuizione ci inganna?
Un metro sembra trascurabile rispetto all’intero equatore. Infatti la variazione percentuale della lunghezza è piccolissima. Ma qui cerchiamo una variazione assoluta del raggio: ogni metro aggiunto alla circonferenza produce sempre lo stesso aumento, 1/(2π) metri.
La formula della circonferenza è lineare: per ogni centimetro di raggio aggiunto occorrono 2π centimetri di corda, qualunque sia il cerchio di partenza.
La formula generale e il problema inverso
Se aggiungiamo una lunghezza d, il sollevamento è:
h = d/(2π)
d = 2πhPer sollevare uniformemente la corda di un metro occorrono quindi 2π m ≈ 6,283 m di corda in più, non un solo metro.
Terra, pallone o arancia?
Ripeti l’esperimento ideale intorno a un pallone o a un’arancia: aggiungendo sempre un metro, la distanza dalla superficie aumenta sempre di circa 15,9 cm. Cambia moltissimo l’aumento percentuale, ma non quello assoluto.
Attenzione alle condizioni
La Terra sferica e la corda circolare sono un modello matematico: ignoriamo montagne, elasticità, spessore e gravità, immaginando supporti che mantengano la corda in posizione. Non stiamo descrivendo una corda che resta sospesa da sola.
Sollevare la corda soltanto in un punto è un altro problema. La forma non è più una circonferenza concentrica e non si può usare direttamente questa formula. Anche “corda” indica qui un filo, non una corda geometrica che unisce due punti di una circonferenza.
Quattro varianti da provare
Solo un centimetro in più
Quanto si alza uniformemente il filo?
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h = 1/(2π) cm ≈ 0,159 cm = 1,59 mm. Le unità di misura sono essenziali!Far passare una pallina
Quanto filo bisogna aggiungere per ottenere uno spazio uniforme di 5 cm?
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d = 2π · 5 cm = 10π cm ≈ 31,4 cm. Una pallina di diametro 5 cm passa idealmente a misura; per avere gioco occorre un po’ più di filo.Due metri invece di uno
Il sollevamento raddoppia o quadruplica?
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Raddoppia:
h = 2/(2π) m = 1/π m ≈ 31,8 cm. La relazione è lineare, non quadratica.Un aumento dell’1%
Se allunghiamo il filo dell’1% della sua lunghezza iniziale, il risultato è ancora indipendente dal raggio?
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No:
d = 0,01 · 2πR, quindih = 0,01R. Aggiungere una lunghezza fissa e aggiungere una percentuale fissa sono due operazioni diverse.