Estos 17 problemas se han adaptado del capítulo «Quesiti, problemi e paradossi» de Giovanni Vittorio Pallottino, Il caso e la probabilità. Le sorprese di una strana coppia, colección «Sfide e giochi matematici», Hachette, pp. 165–175. Los enunciados están parafraseados y las soluciones, redactadas de nuevo paso a paso, conservando los datos y resultados del libro salvo un error de recuento señalado en el problema 3. Intenta resolver cada cuestión antes de abrir su solución.
Suponemos una baraja francesa estándar de 52 cartas, dados y monedas justos, y lanzamientos independientes cuando se indica. Para expresar una probabilidad como porcentaje, multiplicamos explícitamente su fracción por 100 %.
1. Una figura de la baraja
¿Cuál es la probabilidad de sacar un rey, una reina o una jota de una baraja bien mezclada?
Solución
Hay tres figuras por cada uno de los cuatro palos: 12 cartas favorables entre 52. P=12/52=3/13.
2. Tres resultados precisos con un dado
En tres lanzamientos consecutivos queremos obtener 1, 2 y 3, en ese orden. ¿Cuál es la probabilidad?
Solución
Cada resultado fijado tiene probabilidad 1/6 y los lanzamientos son independientes. P=(1/6)³=1/216. Otro orden representaría otro suceso.
3. Un as o un corazón
Sacamos una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as, un corazón o ambas cosas?
Solución
Hay 4 ases y 13 corazones, pero el as de corazones se ha contado dos veces. Las cartas favorables son 4+13−1=16, así que P=16/52=4/13. La solución fotografiada dice que hay 12 corazones y obtiene 15/52; una baraja estándar de 52 cartas tiene 13 corazones. Corregimos aquí ese error.
4. Dos gemelas
Una madre espera gemelos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niñas (a) sin más datos, (b) sabiendo que al menos uno es niña, (c) sabiendo que el primero en nacer es niña? Supongamos sexos independientes e igualmente probables.
Solución
Los resultados ordenados son NN, NV, VN y VV, donde N significa niña y V, varón. (a) Uno de cuatro: 1/4. (b) «Al menos una niña» deja NN, NV y VN: 1/3. (c) Si el primer bebé es niña, quedan NN y NV: 1/2. Observar al azar a uno de los gemelos y comprobar que es niña sería un modelo de información distinto.
5. Dos ases sin reposición
Sacamos dos cartas seguidas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos ases?
Solución
La probabilidad del primer as es 4/52. Después quedan 3 ases entre 51 cartas. P=(4/52)×(3/51)=1/221.
6. Dos sucesos incompatibles
A y B no pueden ocurrir juntos. Si P(A)=1/4 y P(B)=1/6, calcula la probabilidad de que ocurra (a) A o B, (b) ni A ni B, (c) A y B.
Solución
(a) Son sucesos disjuntos: P(A∪B)=1/4+1/6=5/12. (b) El complemento es 1−5/12=7/12. (c) La intersección es imposible: P(A∩B)=0.
7. Seis dados
Lanzamos seis dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener (a) el mismo número en todos o (b) seis números diferentes?
Solución
(a) El primer dado es libre; los otros cinco deben coincidir con él: (1/6)⁵=1/7776. (b) Después del primero, las caras permitidas son 5, 4, 3, 2 y 1 de un total de 6: (5/6)(4/6)(3/6)(2/6)(1/6)=5/324.
8. Dos secuencias exactas
Con seis lanzamientos de un dado, compara la probabilidad de la secuencia exacta 123456 con la de la secuencia exacta 314265.
Solución
Cada cara especificada tiene probabilidad 1/6, aunque una secuencia parezca más ordenada. P(123456)=P(314265)=(1/6)⁶=1/46656. El conjunto de todas las secuencias ordenadas sería otro suceso.
9. Cartas coincidentes
Mezclamos por separado dos barajas de 52 cartas y emparejamos las cartas que ocupan la misma posición. ¿Cuántas parejas idénticas esperamos por término medio?
Solución
En cada una de las 52 posiciones, la probabilidad de coincidencia es 1/52. La linealidad de la esperanza no requiere que las coincidencias sean independientes: E=52×(1/52)=1 pareja. Una media de una no significa que cada prueba produzca exactamente una.
10. Pasos junto a un precipicio
Una persona está a un paso de un precipicio. Cada minuto da un paso hacia el borde con probabilidad 1/3 o en sentido contrario con probabilidad 2/3. ¿Qué probabilidad tiene de caer en los tres primeros minutos?
Solución
Puede caer en el primer paso, con probabilidad 1/3. En otro caso, la única trayectoria de caída en tres pasos es alejarse, acercarse, acercarse: (2/3)(1/3)(1/3)=2/27. Los casos son disjuntos; por tanto, P=1/3+2/27=11/27. No puede caer exactamente en el segundo paso.
11. Un jurado con un voto al azar
En un jurado que decide por mayoría, dos miembros votan correctamente, cada uno de forma independiente, con probabilidad p; el tercero vota lanzando una moneda justa. Un juez individual decide correctamente con probabilidad p. ¿Qué sistema es más fiable?
Solución
Si los dos miembros informados aciertan (p²), la mayoría acierta. Si acierta solo uno [2p(1−p)], la moneda desempata correctamente con probabilidad 1/2. Por tanto, P(jurado correcto)=p²+2p(1−p)(1/2)=p: bajo estas hipótesis, ambos sistemas son equivalentes.
12. ¿Por qué llegan juntos los autobuses?
Los autobuses salen de la terminal a intervalos regulares, pero a menudo se observan muy próximos en una parada. ¿Qué mecanismo puede amplificar un pequeño retraso?
Solución
Un autobús retrasado encuentra más pasajeros esperando y tarda más en subirlos; el que viene detrás encuentra menos y se aproxima. Esta retroalimentación produce agrupamiento de autobuses. Sin embargo, las salidas regulares por sí solas no permiten calcular una probabilidad numérica ni garantizan que siempre suceda: haría falta un modelo del tráfico, la llegada de pasajeros y los tiempos de embarque.
13. ¿Es justo el juego de los dos dados?
Pierdes 6 € si la suma de dos dados no es ni 2 ni 12, pero ganas 100 € netos si aparece 2 o 12. ¿Cuál es el resultado neto medio por partida?
Solución
Los 36 resultados ordenados son equiprobables; solo ganan (1,1) y (6,6). Por ello, P(ganar)=2/36=1/18 y P(perder)=17/18. La ganancia neta esperada es 100(1/18)−6(17/18)=−1/9 €, aproximadamente −0,11 € por partida. No es un juego justo para el participante.
14. Vecinos en una fila de teatro
Ocho chicos y siete chicas ocupan al azar 15 asientos en fila. ¿Cuántas parejas de asientos contiguos con un chico y una chica esperamos por término medio?
Solución
Para una pareja fija de asientos, la probabilidad de chico–chica o chica–chico es (8/15)(7/14)+(7/15)(8/14)=8/15. Hay 14 parejas contiguas. Por linealidad de la esperanza, E=14×(8/15)=112/15≈7,47 parejas.
15. Una moneda sobre papel cuadriculado
Una moneda de 20 mm de diámetro cae sobre una cuadrícula de casillas de 40 mm de lado. Si su centro tiene posición uniforme respecto de la cuadrícula, ¿qué probabilidad hay de que la moneda quede completamente dentro de una casilla?
Solución
El centro debe permanecer al menos a 10 mm de cada borde. Dentro de una casilla de 40 mm queda una zona segura de lado 40−2×10=20 mm. La razón de áreas es P=20²/40²=1/4. En porcentaje: (1/4)×100 %=25 %.
16. Partir un palo en tres
Elegimos de manera independiente y uniforme dos puntos de corte en un palo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres piezas formen un triángulo?
Solución
Tomamos longitud 1 y ordenamos los cortes x<y. Las piezas miden x, y−x y 1−y; cada una debe ser menor que 1/2. Por ello, x<1/2, y>1/2 e y<x+1/2. Estas condiciones delimitan un pequeño triángulo rectángulo de área 1/8 dentro de la región de cortes ordenados, cuya área es 1/2. Así, P=(1/8)/(1/2)=1/4. Las igualdades producen triángulos degenerados y tienen probabilidad cero.
17. Las tres puertas
Tras una de tres puertas hay un coche y tras las otras dos, una cabra. Eliges una puerta. El presentador, que conoce los premios, siempre abre otra puerta mostrando una cabra y te ofrece cambiar. ¿Conviene quedarse o cambiar?
Solución
Tu primera puerta tiene el coche con probabilidad 1/3: quedarse solo gana en ese caso. Con probabilidad 2/3 elegiste inicialmente una cabra; el presentador elimina la otra cabra, de modo que cambiar gana. P(ganar cambiando)=2/3, frente a 1/3 si te quedas. Es esencial la regla de que el presentador revele siempre una cabra.
Idea final: antes de dividir casos favorables entre casos posibles, comprueba si todos tienen la misma probabilidad, si los intentos dependen entre sí y si nueva información modifica el espacio muestral.