Ces 17 problèmes sont adaptés du chapitre « Quesiti, problemi e paradossi » de Giovanni Vittorio Pallottino, Il caso e la probabilità. Le sorprese di una strana coppia, collection « Sfide e giochi matematici », Hachette, p. 165–175. Les énoncés sont reformulés et les solutions réécrites pas à pas, en conservant les données et les résultats du livre, sauf une erreur de comptage signalée au problème 3. Essayez chaque question avant d’ouvrir sa solution.
Nous supposons un jeu standard de 52 cartes, des dés et des pièces équilibrés, et des lancers indépendants lorsque c’est indiqué. Pour exprimer une probabilité en pourcentage, nous multiplions explicitement sa fraction par 100 %.
1. Une figure dans un jeu de cartes
Quelle est la probabilité de tirer un roi, une dame ou un valet d’un jeu bien mélangé ?
Solution
Il y a trois figures dans chacune des quatre couleurs, soit 12 cartes favorables sur 52. P=12/52=3/13.
2. Trois résultats précis avec un dé
En lançant un dé trois fois, nous voulons obtenir, dans cet ordre, 1, 2 puis 3. Quelle est la probabilité ?
Solution
Chaque résultat imposé a une probabilité de 1/6 et les lancers sont indépendants. P=(1/6)³=1/216. Un autre ordre constituerait un autre événement.
3. Un as ou un cœur
Nous tirons une carte. Quelle est la probabilité d’obtenir un as, un cœur ou les deux ?
Solution
Il y a 4 as et 13 cœurs, mais l’as de cœur est compté deux fois. Le nombre de cartes favorables est 4+13−1=16, donc P=16/52=4/13. La solution photographiée indique 12 cœurs et conclut 15/52 ; un jeu standard de 52 cartes possède 13 cœurs. Nous corrigeons cette erreur.
4. Deux filles jumelles
Une mère attend des jumeaux. Quelle est la probabilité que ce soient deux filles (a) sans autre information, (b) sachant qu’au moins l’un des enfants est une fille, (c) sachant que l’aînée est une fille ? Supposons les sexes indépendants et équiprobables.
Solution
Les issues ordonnées sont FF, FG, GF et GG, où F signifie fille et G garçon. (a) Une issue sur quatre : 1/4. (b) « Au moins une fille » laisse FF, FG, GF : 1/3. (c) Si l’aînée est une fille, il reste FF et FG : 1/2. Observer au hasard l’un des jumeaux et constater qu’il s’agit d’une fille serait un autre modèle d’information.
5. Deux as sans remise
Nous tirons deux cartes de suite sans remettre la première. Quelle est la probabilité de tirer deux as ?
Solution
Le premier as a une probabilité de 4/52. Ensuite, il reste 3 as parmi 51 cartes. P=(4/52)×(3/51)=1/221.
6. Deux événements incompatibles
A et B ne peuvent pas se produire ensemble. Si P(A)=1/4 et P(B)=1/6, calculez la probabilité de (a) A ou B, (b) ni A ni B, (c) A et B.
Solution
(a) Les événements sont disjoints : P(A∪B)=1/4+1/6=5/12. (b) L’événement contraire vaut 1−5/12=7/12. (c) Leur intersection est impossible : P(A∩B)=0.
7. Six dés
Nous lançons six dés. Quelle est la probabilité d’obtenir (a) six nombres identiques ou (b) six nombres tous différents ?
Solution
(a) Le premier dé est libre ; les cinq autres doivent le reproduire : (1/6)⁵=1/7776. (b) Après le premier dé, les nombres de faces admises sont 5, 4, 3, 2 et 1 sur 6 : (5/6)(4/6)(3/6)(2/6)(1/6)=5/324.
8. Deux suites exactes
Avec six lancers d’un dé, comparez la probabilité d’obtenir exactement 123456 à celle d’obtenir exactement 314265.
Solution
Chaque face imposée vaut 1/6, même si une suite paraît plus ordonnée. P(123456)=P(314265)=(1/6)⁶=1/46656. L’ensemble de toutes les suites ordonnées serait un événement différent.
9. Cartes correspondantes
Nous mélangeons indépendamment deux jeux de 52 cartes et associons les cartes de même position. Combien de paires identiques attendons-nous en moyenne ?
Solution
Pour chacune des 52 positions, la probabilité de correspondance est 1/52. La linéarité de l’espérance ne nécessite pas l’indépendance des correspondances : E=52×(1/52)=1 paire. Cette moyenne ne signifie pas qu’il y aura exactement une paire à chaque essai.
10. Les pas près d’un précipice
Une personne se tient à un pas d’un précipice. Chaque minute, elle fait un pas vers le bord avec une probabilité de 1/3, ou s’en éloigne avec une probabilité de 2/3. Quelle est la probabilité de tomber dans les trois minutes ?
Solution
Elle peut tomber au premier pas, probabilité 1/3. Sinon, la seule suite menant à une chute en trois pas est s’éloigner, se rapprocher, se rapprocher : (2/3)(1/3)(1/3)=2/27. Les cas sont disjoints, donc P=1/3+2/27=11/27. Une chute exactement au deuxième pas est impossible.
11. Un jury avec un vote au hasard
Dans un jury décidant à la majorité, deux membres votent correctement, chacun de manière indépendante, avec une probabilité p ; le troisième vote à pile ou face. Un juge seul décide correctement avec une probabilité p. Quel système est le plus fiable ?
Solution
Si les deux membres informés ont raison (p²), la majorité a raison. Si un seul a raison [2p(1−p)], la pièce départage correctement avec une probabilité de 1/2. Ainsi P(jury correct)=p²+2p(1−p)(1/2)=p : les deux systèmes sont équivalents sous ces hypothèses.
12. Pourquoi les autobus arrivent-ils par deux ?
Des autobus quittent le terminus à intervalles réguliers mais sont souvent observés proches l’un de l’autre à un arrêt. Quel mécanisme peut amplifier un petit retard ?
Solution
Un autobus en retard rencontre plus de voyageurs et prend davantage de temps pour les faire monter ; le suivant en rencontre moins et le rattrape. Cette rétroaction produit un regroupement. Des départs réguliers ne suffisent cependant ni à calculer une probabilité numérique ni à garantir le phénomène : il faudrait modéliser le trafic, l’arrivée des voyageurs et le temps d’embarquement.
13. Le jeu des deux dés est-il équitable ?
Vous perdez 6 € si la somme de deux dés n’est ni 2 ni 12 ; sinon vous gagnez 100 € nets. Quel est votre résultat net moyen par partie ?
Solution
Les 36 couples de dés sont équiprobables ; seuls (1,1) et (6,6) gagnent. Donc P(gain)=2/36=1/18 et P(perte)=17/18. L’espérance du gain net est 100(1/18)−6(17/18)=−1/9 €, soit environ −0,11 € par partie. Le jeu n’est pas équitable pour le joueur.
14. Voisins dans une rangée de théâtre
Huit garçons et sept filles occupent au hasard 15 sièges alignés. Combien de paires de sièges voisins occupés par un garçon et une fille attend-on en moyenne ?
Solution
Pour une paire de places fixée, la probabilité garçon–fille ou fille–garçon vaut (8/15)(7/14)+(7/15)(8/14)=8/15. Il y a 14 paires voisines. Par linéarité de l’espérance : E=14×(8/15)=112/15≈7,47 paires.
15. Une pièce sur du papier quadrillé
Une pièce de 20 mm de diamètre tombe sur une grille de carrés de côté 40 mm. Si la position de son centre est uniforme par rapport à la grille, quelle est la probabilité que la pièce reste entièrement dans un carré ?
Solution
Le centre doit rester à au moins 10 mm de chaque bord. Dans un carré de côté 40 mm, la zone centrale sûre a un côté de 40−2×10=20 mm. Le rapport des aires donne P=20²/40²=1/4. En pourcentage : (1/4)×100 %=25 %.
16. Couper un bâton en trois
On choisit indépendamment et uniformément deux points de coupe sur un bâton. Quelle est la probabilité que les trois morceaux puissent former un triangle ?
Solution
Fixons la longueur du bâton à 1 et ordonnons les coupes x<y. Les morceaux mesurent x, y−x et 1−y ; chacun doit être plus court que 1/2. Il faut donc x<1/2, y>1/2 et y<x+1/2. Ces conditions délimitent un petit triangle rectangle d’aire 1/8 dans la région des coupes ordonnées, d’aire 1/2. Ainsi P=(1/8)/(1/2)=1/4. Les égalités produisent des triangles dégénérés et ont une probabilité nulle.
17. Les trois portes
Une voiture se cache derrière l’une des trois portes et une chèvre derrière chacune des deux autres. Vous choisissez une porte. L’animateur, qui connaît les prix, ouvre toujours une autre porte montrant une chèvre et vous propose de changer. Faut-il garder son choix ou changer ?
Solution
Votre première porte cache la voiture avec une probabilité de 1/3 : garder son choix ne gagne que dans ce cas. Avec une probabilité de 2/3, vous avez d’abord choisi une chèvre ; l’animateur élimine l’autre chèvre et changer permet de gagner. P(gagner en changeant)=2/3, contre 1/3 sans changer. La règle selon laquelle l’animateur révèle toujours une chèvre est essentielle.
À retenir : avant de diviser les cas favorables par les cas possibles, vérifiez si les cas sont équiprobables, si les essais dépendent les uns des autres et si une information nouvelle modifie l’univers des possibilités.