Questi 17 problemi sono rielaborati dal capitolo «Quesiti, problemi e paradossi» di Giovanni Vittorio Pallottino, Il caso e la probabilità. Le sorprese di una strana coppia, collana «Sfide e giochi matematici», Hachette, pp. 165–175. Gli enunciati sono parafrasati e le soluzioni sono riscritte passo passo, mantenendo dati e risultati dell'opera, salvo un errore di conteggio segnalato nel problema 3. Prova ogni quesito prima di aprire la soluzione.
Assumiamo un mazzo francese standard di 52 carte, dadi e monete equi e l'indipendenza dei lanci quando indicata. Una frazione è una probabilità; per mostrarla in percentuale moltiplichiamo esplicitamente per 100%.
1. Una figura dal mazzo
Qual è la probabilità che una carta estratta da un mazzo ben mescolato sia un re, una regina o un fante?
Soluzione
Tre figure per ciascuno dei quattro semi danno 12 carte favorevoli su 52. P = 12/52 = 3/13.
2. Tre risultati precisi con un dado
In tre lanci consecutivi di un dado vogliamo ottenere, nell'ordine, 1, 2 e 3. Qual è la probabilità?
Soluzione
Ogni risultato fissato vale 1/6 e i tre lanci sono indipendenti. P = (1/6)³ = 1/216. Cambiare l'ordine significherebbe un altro evento.
3. Asso oppure cuore
Estraiamo una carta. Qual è la probabilità che sia un asso, una carta di cuori o entrambe?
Soluzione
Ci sono 4 assi e 13 cuori, ma l'asso di cuori è stato contato due volte. I casi favorevoli sono 4+13−1=16: P = 16/52 = 4/13. Attenzione: nel testo fotografato la soluzione stampa 12 cuori e conclude 15/52; un mazzo francese standard ne ha 13, quindi qui correggiamo l'anomalia.
4. Due gemelli femmine
Una madre aspetta due gemelli. Qual è la probabilità che siano entrambe femmine (a) senza informazioni, (b) sapendo che almeno uno è femmina, (c) sapendo che il primo nato è femmina? Assumiamo i due sessi equiprobabili e indipendenti.
Soluzione
Gli esiti ordinati sono FF, FM, MF, MM. (a) Uno su quattro: 1/4. (b) Se sappiamo soltanto che almeno uno è femmina, resta FF, FM, MF: 1/3. (c) Se è femmina il primo nato, restano FF e FM: 1/2. Il dato (b) va interpretato proprio come «almeno uno»; se invece si osserva casualmente uno dei gemelli ed è femmina, il modello cambia.
5. Due assi senza reinserimento
Estraiamo due carte di seguito, senza rimettere la prima nel mazzo. Qual è la probabilità di ottenere due assi?
Soluzione
Il primo asso ha probabilità 4/52; dopo di esso restano 3 assi su 51 carte. P = (4/52) × (3/51) = 1/221.
6. Due eventi incompatibili
A e B non possono verificarsi insieme. Se P(A)=1/4 e P(B)=1/6, calcola la probabilità che si verifichi (a) A oppure B, (b) né A né B, (c) entrambi.
Soluzione
(a) Gli eventi sono disgiunti: P(A∪B)=1/4+1/6=5/12. (b) Il complemento vale 1−5/12=7/12. (c) L'intersezione è impossibile: P(A∩B)=0.
7. Sei dadi
Lanciamo sei dadi. Qual è la probabilità che mostrino (a) tutti lo stesso numero oppure (b) sei numeri tutti diversi?
Soluzione
(a) Il primo numero è libero, gli altri cinque devono copiarlo: (1/6)⁵=1/7776. (b) Dopo il primo dado, le possibilità ammesse sono 5, 4, 3, 2 e 1 su 6: (5/6)(4/6)(3/6)(2/6)(1/6)=5/324.
8. Due sequenze esatte
Con sei lanci di un dado, confronta la probabilità della sequenza esatta 123456 con quella della sequenza esatta 314265.
Soluzione
Ogni posizione specifica ha probabilità 1/6, indipendentemente dal fatto che la sequenza sembri ordinata. P(123456)=P(314265)=(1/6)⁶=1/46656. L'insieme di tutte le sequenze ordinate sarebbe un evento diverso.
9. Carte corrispondenti
Mescoliamo indipendentemente due mazzi da 52 carte e accoppiamo le carte nella stessa posizione. Quante coppie identiche ci aspettiamo in media?
Soluzione
Per ciascuna delle 52 posizioni la probabilità di corrispondenza è 1/52. La linearità del valore atteso non richiede che le corrispondenze siano indipendenti: E = 52 × (1/52)=1 coppia. Non significa che in ogni prova ce ne sia esattamente una.
10. Il passo verso il precipizio
Una persona è a un passo da un precipizio. Ogni minuto fa un passo verso il bordo con probabilità 1/3 oppure uno in direzione opposta con probabilità 2/3. Qual è la probabilità di cadere entro tre minuti?
Soluzione
Può cadere al primo passo, con probabilità 1/3. Oppure deve allontanarsi una volta e poi avvicinarsi due volte: (2/3)(1/3)(1/3)=2/27. Sono casi disgiunti, quindi P=1/3+2/27=11/27. Non può cadere esattamente al secondo minuto.
11. Una giuria con un voto casuale
Una giuria decide a maggioranza: due membri votano correttamente, ciascuno in modo indipendente, con probabilità p; il terzo vota con una moneta equa. Un giudice singolo decide correttamente con probabilità p. Quale sistema è più affidabile?
Soluzione
Se i due esperti sono entrambi corretti (p²), la maggioranza è corretta. Se uno solo lo è [2p(1−p)], la moneta decide correttamente con probabilità 1/2. Quindi P(giuria corretta)=p²+2p(1−p)(1/2)=p: i due sistemi sono equivalenti nel modello indicato.
12. Perché gli autobus arrivano a coppie?
Autobus partiti a intervalli regolari vengono spesso osservati vicini alla stessa fermata. Quale meccanismo può amplificare un piccolo ritardo?
Soluzione
Un autobus in ritardo trova più passeggeri in attesa e impiega più tempo a farli salire; quello seguente trova meno passeggeri e può avvicinarsi. È un effetto di retroazione che produce accodamento. La sola regolarità delle partenze non basta però a calcolare una probabilità numerica né a garantire che il fenomeno avvenga sempre: servirebbe un modello di traffico, arrivi dei passeggeri e tempi di salita.
13. Il gioco dei due dadi è equo?
Paghi 6 € se la somma di due dadi non è 2 né 12; incassi invece 100 € netti se compare 2 o 12. Qual è il guadagno medio per partita?
Soluzione
Le 36 coppie di dadi sono equiprobabili; soltanto (1,1) e (6,6) vincono, dunque P(vittoria)=2/36=1/18 e P(perdita)=17/18. Il valore atteso netto è 100(1/18)−6(17/18)=−1/9 €, circa −0,11 € per partita. Il gioco non è equo per chi partecipa.
14. Coppie vicine al teatro
Otto ragazzi e sette ragazze occupano casualmente 15 posti in fila. Quante coppie di posti adiacenti con persone di sesso diverso ci aspettiamo?
Soluzione
Per una coppia di posti fissata, la probabilità di ragazzo-ragazza o ragazza-ragazzo è (8/15)(7/14)+(7/15)(8/14)=8/15. Le coppie adiacenti sono 14. Per linearità del valore atteso: E=14×(8/15)=112/15≈7,47 coppie.
15. Una moneta sul foglio a quadretti
Una moneta di diametro 20 mm cade su una griglia di quadrati di lato 40 mm. Supponendo uniforme la posizione del centro rispetto alla griglia, qual è la probabilità che la moneta resti tutta dentro un quadrato?
Soluzione
Il centro deve stare almeno a 10 mm da ciascun bordo. Nel quadrato di lato 40 mm resta una zona centrale di lato 40−2×10=20 mm. Il rapporto fra aree è P=20²/40²=1/4. Trasformazione in percentuale: (1/4) × 100%=25%.
16. Spezzare un bastoncino in tre
Scegliamo uniformemente e indipendentemente due punti lungo un bastoncino e lo tagliamo in tre. Qual è la probabilità che i pezzi possano formare un triangolo?
Soluzione
Normalizziamo la lunghezza a 1 e ordiniamo i tagli x<y. I pezzi misurano x, y−x e 1−y; ciascuno deve essere più corto di 1/2. Occorre quindi x<1/2, y>1/2 e y<x+1/2. Queste condizioni delimitano un piccolo triangolo rettangolo di area 1/8 dentro la regione dei tagli ordinati, di area 1/2. P=(1/8)/(1/2)=1/4. Le uguaglianze darebbero triangoli degeneri e hanno probabilità zero.
17. Le tre porte
Dietro una di tre porte c'è un'automobile, dietro le altre due una capra. Scegli una porta; il conduttore, che conosce i premi, apre sempre una delle altre porte mostrando una capra e ti offre di cambiare. Conviene mantenere la scelta o cambiare?
Soluzione
La prima porta nasconde l'auto con probabilità 1/3: restando vinci soltanto in questo caso. Con probabilità 2/3 la prima scelta è una capra; il conduttore elimina l'altra capra, quindi cambiando vinci. P(vittoria cambiando)=2/3, contro 1/3 restando. La regola che il conduttore apra sempre una capra è essenziale.
Idea conclusiva: prima di dividere casi favorevoli per casi possibili, chiediti se i casi sono equiprobabili, se i tentativi dipendono tra loro e se una nuova informazione cambia lo spazio dei casi.