Estos diez retos requieren interpretar los datos antes de escribir ecuaciones. Los primeros cinco reelaboran esquemas clásicos; los otros cinco se han redactado para esta colección con situaciones y datos nuevos, sin reivindicar que sus esquemas matemáticos sean absolutamente inéditos. Usan ecuaciones de primer o segundo grado y un sistema lineal. Elige la incógnita y su dominio antes de abrir la solución: una raíz debe respetar también el enunciado.
- La barca y su parada
- Un trabajo en tres fases
- Dos ventas al mismo precio
- Dos diluciones iguales
- Un jardín de lados desconocidos
- Dos proyectos para un teatro
- Paquetes perdidos y cabeceras nuevas
- El robot y su reserva
- El presupuesto con dos porcentajes
- La cuadrícula de sensores
1. La barca y su parada
Clásico reelaborado
Una barca recorre 18 km por un río y vuelve al punto inicial. La corriente es constante, de 3 km/h. La velocidad respecto al agua es igual en ambos sentidos. Entre trayectos se detiene 30 minutos. Transcurren 5 horas en total. Encuentra su velocidad en agua quieta y los dos tiempos de navegación.
Pista
Resta la parada del tiempo total.
Solución y comprobación
Sea v la velocidad en agua quieta, con v>3 para remontar. Las velocidades respecto a la orilla son v+3 y v−3. Cada tiempo es distancia/velocidad. Restamos media hora y multiplicamos por v²−9, positivo en el dominio:
18/(v+3) + 18/(v−3) = 5−1/2 = 9/2 36v/(v²−9) = 9/2 v²−8v−9 = 0 (v−9)(v+1) = 0 v=9; v=−1
Descartamos −1. Velocidad: 9 km/h. A favor: 18/12=1,5 horas; en contra: 18/6=3. Con la parada: 1,5+3+0,5=5. La velocidad media del viaje no es v.
2. Un trabajo en tres fases
Clásico reelaborado
Dos máquinas A y B trabajan a ritmos constantes. B sola tarda 4 horas más que A en un lote. A trabaja sola 2 horas; B sola 4; después ambas juntas 2, completando exactamente el lote. Sus trabajos se suman sin interferencias. ¿Cuánto tarda cada una sola?
Pista
Si A tarda x horas, produce 1/x del lote por hora.
Solución y comprobación
Sea x>0 el tiempo de A; B tarda x+4. A trabaja 4 horas en total, B 6, aunque las últimas 2 coinciden. Sumamos fracciones de trabajo y multiplicamos por x(x+4):
2/x + 4/(x+4) + 2[1/x+1/(x+4)] = 1 4/x + 6/(x+4) = 1 4(x+4)+6x=x(x+4) x²−6x−16=0 (x−8)(x+2)=0 x=8; x=−2
Descartamos −2. A tarda 8 horas, B 12. Las fases producen 1/4, 1/3 y 5/12: suman 1. Antes de la fase conjunta el lote no está terminado.
3. Dos ventas al mismo precio
Clásico reelaborado
Se venden dos objetos por 240 euros cada uno. En el primero se gana un porcentaje de su coste; en el segundo se pierde el mismo porcentaje de su propio coste. La pérdida global es de 20 euros. Encuentra el porcentaje y los costes de compra.
Pista
Los porcentajes tienen bases distintas.
Solución y comprobación
Sea p la tasa como fracción, con 0<p<1. El ingreso es 480 y el coste total 500. Los costes son 240/(1+p) y 240/(1−p): 240 es el precio final, no la base del porcentaje.
240/(1+p) + 240/(1−p) = 500 480/(1−p²)=500 p²=1/25 p=1/5; p=−1/5
Elegimos p=1/5=20 %; el negativo invierte los papeles. Costes: 200 y 300 euros. Ganancia 40 y pérdida 60 dan pérdida neta 20.
4. Dos diluciones iguales
Clásico reelaborado
Un depósito tiene 100 litros de solución con 20 litros de sustancia disuelta. Supón volúmenes aditivos y mezcla perfecta. Extraes x litros, los sustituyes por agua pura y mezclas. Repites una vez. La concentración final es del 9,8 % en volumen. Encuentra x.
Pista
Cada extracción elimina la misma fracción de lo que queda, no la misma cantidad.
Solución y comprobación
0≤x≤100. El volumen vuelve a 100 litros en cada paso. Cada operación conserva la fracción 1−x/100 de sustancia. Aplicamos ese factor dos veces; al final hay 9,8 litros.
20(1−x/100)² = 9.8 (1−x/100)²=49/100 1−x/100=±7/10 x=30; x=170
170 es imposible. Hay que sustituir 30 litros cada vez. Primero quedan 14 litros de sustancia; después se elimina el 30 % de 14, es decir 4,2, y quedan 9,8.
5. Un jardín de lados desconocidos
Clásico reelaborado
Un jardín rectangular tiene perímetro 92 m y diagonal 34 m. Un camino de anchura uniforme recorre interiormente sus cuatro bordes, dejando un césped rectangular de 240 m². Encuentra los lados y la anchura del camino.
Pista
Calcula primero la suma y el producto de los lados.
Solución y comprobación
Si los lados son a,b, entonces a+b=46 y a²+b²=1156. Desarrollar (a+b)² permite hallar ab. Los lados son las raíces de z²−(a+b)z+ab=0. Después introducimos x: el camino resta 2x a cada dimensión.
a+b=46; a²+b²=34²=1156 2ab=46²−1156=960 ab=480 z²−46z+480=(z−30)(z−16)=0 (30−2x)(16−2x)=240 4x²−92x+240=0 x²−23x+60=(x−3)(x−20)=0 x=3; x=20
Lados: 30 m y 16 m. Se exige 0<x<8: descartamos 20 y elegimos 3 m. Césped: 24×10=240; perímetro 92; diagonal √1156=34. Son dos cuadráticas sucesivas, no una ecuación de cuarto grado.
6. Dos proyectos para un teatro
Situación original
Un teatro tiene r filas de c asientos. Un proyecto elimina 2 filas y añade 4 asientos a cada fila restante: aumenta el aforo en 16. Otro proyecto, también respecto al original, añade 2 filas y quita 3 asientos por fila: reduce el aforo en 10. Encuentra la disposición original.
Pista
Los términos rc se cancelan al desarrollar.
Solución y comprobación
r,c son enteros, r>2 y c>3. Ambos cambios parten del aforo rc. Desarrollamos y sumamos las ecuaciones lineales para eliminar c:
(r−2)(c+4)=rc+16 (r+2)(c−3)=rc−10 4r−2c=24 −3r+2c=−4 r=20; c=28 rc=560
20 filas de 28: 560 asientos. Los proyectos dan 18×32=576 y 22×25=550. Aplicarlos sucesivamente no respetaría el enunciado.
7. Paquetes perdidos y cabeceras nuevas
Situación original
Un dispositivo prepara n paquetes con n−5 bytes útiles cada uno. Se pierden ocho. El receptor guarda los datos restantes y añade una cabecera de 3 bytes a cada paquete. El total guardado, cabeceras incluidas, es 144 bytes menor que el total útil inicial. Encuentra n y ambos totales.
Pista
Llegan n−8 paquetes y cada uno ocupa n−2 bytes.
Solución y comprobación
n es entero mayor que 8. El emisor prepara n(n−5) bytes; el receptor guarda (n−8)(n−2). Su diferencia vale 144. Los términos cuadráticos se cancelan:
n(n−5) − (n−8)(n−2) = 144 n²−5n − (n²−10n+16) = 144 5n−16=144 n=32
n=32. Totales: 864 y 720 bytes. También: 8·27=216 bytes perdidos menos 24·3=72 añadidos producen una pérdida neta de 144.
8. El robot y su reserva
Situación original
Un robot sale con 725 unidades de energía. La etapa de ida j consume 2j+3 unidades, para j=1,…,n. Luego vuelve directamente a la base gastando 5n unidades. No hay otros consumos ni recargas. Al llegar queda exactamente el 20 % de la energía inicial. Encuentra n.
Pista
Suma los consumos crecientes, no repitas el último n veces.
Solución y comprobación
n es entero positivo. La reserva es 145 y el gasto 580. La ida cuesta 5+7+…+(2n+3)=n²+4n, usando 1+…+n=n(n+1)/2. Sumamos el regreso:
725−0.20·725=580 Σⱼ₌₁ⁿ(2j+3)+5n=580 2·n(n+1)/2+3n+5n=580 n²+9n−580=0 (n−20)(n+29)=0 n=20; n=−29
Descartamos −29. Son 20 etapas. Ida 480, regreso 100 y reserva 145. Antes del regreso dispone de 245 unidades, suficientes para completarlo.
9. El presupuesto con dos porcentajes
Situación original
Un servicio cuesta 500 euros. Se aumenta un x %, se descuenta después un (x−10) % del precio aumentado y se añaden 20 euros fijos de entrega, sin descuento. Total: 560 euros. Aumento y descuento son positivos y el descuento es menor del 100 %. Encuentra x.
Pista
El factor de aumento es 1+x/100.
Solución y comprobación
El dominio es 10<x<110. Antes de la entrega el precio es 540. Los factores se multiplican porque el descuento actúa sobre el precio aumentado. Conservamos el término cuadrático:
500(1+x/100)[1−(x−10)/100]+20=560 (1+x/100)(1.10−x/100)=1.08 1.10+0.001x−0.0001x²=1.08 x²−10x−200=0 (x−20)(x+10)=0 x=20; x=−10
x=20; −10 no vale. Aumento: 500→600. Descuento del 10 %: 600→540. Entrega: 560. El servicio sube finalmente un 8 %, no un 10 %.
10. La cuadrícula de sensores
Situación original
Una cuadrícula rectangular completa tiene r filas y c columnas de sensores. Hay 74 sensores en el borde, contando cada esquina una vez. Todos los sensores estrictamente interiores se conectan a 22 módulos de 12 entradas, todos llenos, sin repeticiones ni omisiones. Encuentra dimensiones y total.
Pista
No cuentes dos veces las esquinas.
Solución y comprobación
r,c son enteros mayores que 2. Dentro hay 22·12=264 sensores. El borde vale 2c+2(r−2)=74 y el interior (r−2)(c−2). Obtenemos suma y producto de las dimensiones:
2r+2c−4=74
(r−2)(c−2)=264
r+c=39
rc−2(r+c)+4=264
rc=338
z²−39z+338=(z−13)(z−26)=0
{r,c}={13,26}13×26, o al revés: 338 sensores. Interior 11×24=264; borde 338−264=74. Las dos raíces son ambas dimensiones, no respuestas rivales que haya que descartar.