Ces dix défis demandent d’interpréter les données avant d’écrire une équation. Les cinq premiers reprennent des schémas classiques ; les cinq autres ont été rédigés pour cette collection avec des situations et des données nouvelles, sans prétendre à l’inédit absolu des schémas mathématiques. Ils utilisent des équations du premier ou du second degré et un système linéaire. Choisissez l’inconnue et son domaine avant de lire la solution : une racine doit aussi respecter l’énoncé.
- Le bateau et son arrêt
- Le travail en trois phases
- Deux ventes au même prix
- Deux dilutions identiques
- Un jardin aux dimensions inconnues
- Deux projets de théâtre
- Paquets perdus et en-têtes ajoutés
- Le robot et sa réserve
- Le devis et ses deux pourcentages
- La grille de capteurs
1. Le bateau et son arrêt
Classique remanié
Un bateau parcourt 18 km sur une rivière puis revient au départ. Le courant vaut constamment 3 km/h ; la vitesse du bateau par rapport à l’eau est identique dans les deux sens. Entre les trajets, il s’arrête 30 minutes. La durée totale est de 5 heures. Trouvez sa vitesse en eau calme et les deux durées de navigation.
Indice
Retirez l’arrêt du temps total.
Solution et vérification
Notons v la vitesse en eau calme, avec v>3 pour remonter. Les vitesses par rapport à la rive sont v+3 et v−3. Chaque durée vaut distance/vitesse. Retirons une demi-heure et multiplions par v²−9, positif dans le domaine :
18/(v+3) + 18/(v−3) = 5−1/2 = 9/2 36v/(v²−9) = 9/2 v²−8v−9 = 0 (v−9)(v+1) = 0 v=9; v=−1
On rejette −1. La vitesse est 9 km/h. Descente : 18/12=1,5 heure ; remontée : 18/6=3 heures. Avec l’arrêt : 1,5+3+0,5=5. La vitesse moyenne du voyage n’est pas v.
2. Le travail en trois phases
Classique remanié
Deux machines A et B travaillent à rythmes constants. Seule, B met 4 heures de plus que A pour un lot. A travaille seule 2 heures, puis B seule 4 heures, puis les deux ensemble 2 heures : le lot est exactement terminé. Leurs productions s’additionnent sans interférence. Trouvez leurs durées individuelles.
Indice
Une machine terminant en x heures produit 1/x du lot par heure.
Solution et vérification
Posons x>0 pour A, x+4 pour B. A travaille au total 4 heures et B 6, les deux dernières heures étant simultanées. Additionnons des fractions de travail puis multiplions par x(x+4) :
2/x + 4/(x+4) + 2[1/x+1/(x+4)] = 1 4/x + 6/(x+4) = 1 4(x+4)+6x=x(x+4) x²−6x−16=0 (x−8)(x+2)=0 x=8; x=−2
On rejette −2. A met 8 heures, B 12. Les phases produisent 1/4, 1/3 et 5/12 du lot : somme 1. Le lot n’est pas terminé avant la phase commune.
3. Deux ventes au même prix
Classique remanié
Deux objets sont vendus 240 euros chacun. Le premier rapporte un certain pourcentage de son coût d’achat ; le second perd le même pourcentage de son propre coût. La perte globale vaut 20 euros. Trouvez le pourcentage et les coûts.
Indice
Les pourcentages portent sur des bases différentes.
Solution et vérification
Notons p le taux sous forme de fraction, avec 0<p<1. La recette est 480, donc le coût total 500. Le coût du premier vaut 240/(1+p), celui du second 240/(1−p). Les 240 euros sont des prix finaux, pas des coûts.
240/(1+p) + 240/(1−p) = 500 480/(1−p²)=500 p²=1/25 p=1/5; p=−1/5
On retient p=1/5, soit 20 %. Le taux négatif inverserait les rôles. Coûts : 200 et 300 euros. Gain 40, perte 60, donc perte nette 20.
4. Deux dilutions identiques
Classique remanié
Un réservoir contient 100 litres de solution dont 20 litres de substance dissoute. Volumes additifs et mélange parfait sont supposés. Retirez x litres, remplacez-les par autant d’eau pure et mélangez. Répétez une fois. La concentration finale vaut 9,8 % en volume. Trouvez x.
Indice
On retire la même fraction de la substance présente, pas la même quantité.
Solution et vérification
0≤x≤100. Le volume revient toujours à 100 litres. Chaque opération conserve la fraction 1−x/100 de substance. Appliquons deux fois ce facteur ; la quantité finale est 9,8 litres.
20(1−x/100)² = 9.8 (1−x/100)²=49/100 1−x/100=±7/10 x=30; x=170
170 est impossible. Remplacez 30 litres à chaque étape. Il reste d’abord 14 litres de substance ; puis on enlève 30 % de 14, soit 4,2 : il reste 9,8.
5. Un jardin aux dimensions inconnues
Classique remanié
Un jardin rectangulaire a un périmètre de 92 m et une diagonale de 34 m. Une allée de largeur constante longe intérieurement ses quatre côtés. La pelouse centrale rectangulaire mesure 240 m². Trouvez les côtés et la largeur de l’allée.
Indice
Déterminez d’abord somme et produit des côtés.
Solution et vérification
Pour les côtés a,b : a+b=46 et a²+b²=1156. Développer (a+b)² donne ab. Les côtés sont les racines de z²−(a+b)z+ab=0. Ensuite, une largeur x retire 2x à chaque dimension.
a+b=46; a²+b²=34²=1156 2ab=46²−1156=960 ab=480 z²−46z+480=(z−30)(z−16)=0 (30−2x)(16−2x)=240 4x²−92x+240=0 x²−23x+60=(x−3)(x−20)=0 x=3; x=20
Côtés : 30 m et 16 m. Il faut 0<x<8 : on rejette 20 et retient 3 m. Pelouse 24×10=240, périmètre 92 et diagonale √1156=34. Ce sont deux équations quadratiques successives.
6. Deux projets de théâtre
Situation originale
Un théâtre a r rangées de c places. Un projet supprime 2 rangées et ajoute 4 places par rangée restante : gain de 16 places. Un autre, toujours par rapport à l’état initial, ajoute 2 rangées et retire 3 places par rangée : perte de 10 places. Trouvez la disposition initiale.
Indice
Les produits rc disparaissent après développement.
Solution et vérification
r,c sont entiers, r>2 et c>3. La capacité initiale est rc. Les projets sont indépendants. Développons puis additionnons les équations linéaires pour éliminer c :
(r−2)(c+4)=rc+16 (r+2)(c−3)=rc−10 4r−2c=24 −3r+2c=−4 r=20; c=28 rc=560
20 rangées de 28 places, soit 560. Vérification : 18×32=576 et 22×25=550. Appliquer les changements successivement ne respecterait pas l’énoncé.
7. Paquets perdus et en-têtes ajoutés
Situation originale
Un appareil prépare n paquets de n−5 octets utiles chacun. Huit paquets sont perdus. Le récepteur conserve les données des autres et ajoute un en-tête de 3 octets à chacun. Le total enregistré, en-têtes compris, est inférieur de 144 octets au total utile initial. Trouvez n et les deux totaux.
Indice
Il reste n−8 paquets, chacun occupant n−2 octets.
Solution et vérification
n est entier, n>8. Le total initial est n(n−5) et le total reçu (n−8)(n−2). Leur différence vaut 144. Les termes n² s’annulent :
n(n−5) − (n−8)(n−2) = 144 n²−5n − (n²−10n+16) = 144 5n−16=144 n=32
n=32. Totaux : 864 et 720 octets. Autre contrôle : 8·27=216 octets perdus, mais 24·3=72 ajoutés, soit 144 de perte nette.
8. Le robot et sa réserve
Situation originale
Un robot part avec 725 unités d’énergie. Le trajet aller comporte n étapes : l’étape j consomme 2j+3 unités, j=1,…,n. Le retour direct consomme 5n unités. Aucun autre coût ni recharge. À l’arrivée, il reste exactement 20 % de l’énergie initiale. Trouvez n.
Indice
Additionnez les consommations croissantes.
Solution et vérification
n est entier positif. La réserve vaut 145, donc la dépense 580. L’aller coûte 5+7+…+(2n+3)=n²+4n, grâce à la somme 1+…+n=n(n+1)/2. Ajoutons le retour :
725−0.20·725=580 Σⱼ₌₁ⁿ(2j+3)+5n=580 2·n(n+1)/2+3n+5n=580 n²+9n−580=0 (n−20)(n+29)=0 n=20; n=−29
On rejette −29. Il y a 20 étapes. Aller : 480 ; retour : 100 ; réserve : 145. Avant le retour, les 245 unités restantes suffisent à le terminer.
9. Le devis et ses deux pourcentages
Situation originale
Un service vaut 500 euros. On applique une hausse de x %, puis une remise de (x−10) % sur le prix augmenté, puis 20 euros fixes de livraison non remisés. Total : 560 euros. Hausse et remise sont positives, la remise étant inférieure à 100 %. Trouvez x.
Indice
Le facteur de hausse est 1+x/100.
Solution et vérification
Le domaine est 10<x<110. Avant livraison, le montant est 540. Les deux facteurs se multiplient : la remise porte sur le prix augmenté. Conservons le terme quadratique :
500(1+x/100)[1−(x−10)/100]+20=560 (1+x/100)(1.10−x/100)=1.08 1.10+0.001x−0.0001x²=1.08 x²−10x−200=0 (x−20)(x+10)=0 x=20; x=−10
x=20 ; −10 est exclu. Hausse : 500→600. Remise de 10 % : 600→540. Livraison : 560. Le service seul augmente finalement de 8 %, pas de 10 %.
10. La grille de capteurs
Situation originale
Une grille rectangulaire complète comporte r lignes et c colonnes de capteurs. Le bord compte 74 capteurs, chaque coin une seule fois. Tous les capteurs strictement intérieurs sont reliés à 22 modules de 12 entrées, tous pleins, sans omission ni répétition. Trouvez dimensions et nombre total.
Indice
Ne comptez pas les coins deux fois.
Solution et vérification
r,c sont entiers supérieurs à 2. L’intérieur contient 22·12=264 capteurs. Le bord vaut 2c+2(r−2)=74, l’intérieur (r−2)(c−2). Déduisons la somme et le produit des dimensions :
2r+2c−4=74
(r−2)(c−2)=264
r+c=39
rc−2(r+c)+4=264
rc=338
z²−39z+338=(z−13)(z−26)=0
{r,c}={13,26}13×26, ou l’inverse : 338 capteurs. Intérieur : 11×24=264 ; bord : 338−264=74. Les deux racines sont les deux dimensions, non des réponses concurrentes à éliminer.