Dieci sfide di modellizzazione algebrica: l’equazione arriva solo dopo aver interpretato correttamente i dati. I primi cinque rielaborano schemi classici; gli altri cinque sono formulati per questa raccolta con ambientazioni e dati nuovi, senza rivendicare l’ineditezza assoluta degli schemi matematici. Servono equazioni di primo o secondo grado e, in un caso, un sistema lineare. Prima di aprire la soluzione, scegli l’incognita, scrivi i vincoli e prova a giustificare ogni termine. Non basta trovare una radice: deve rispondere all’enunciato.
- La barca: il tempo totale nasconde una sosta
- Il lavoro a tre fasi
- Due vendite allo stesso prezzo, una perdita nascosta
- Due diluizioni uguali, ma non additive
- Il giardino di cui non conosci nemmeno i lati
- Il teatro: due progetti alternativi
- I pacchetti persi e l’intestazione aggiunta
- Il robot che deve conservare la riserva
- Il preventivo con due percentuali sconosciute
- Il pannello di sensori: bordo e interno
1. La barca: il tempo totale nasconde una sosta
Classico rielaborato
Una barca percorre 18 km lungo un fiume e torna allo stesso punto. La corrente ha velocità costante 3 km/h. La barca mantiene la stessa velocità rispetto all’acqua in entrambe le direzioni. Tra andata e ritorno rimane ferma per 30 minuti. Dalla partenza al ritorno trascorrono 5 ore. Trova la velocità della barca in acqua ferma e i due tempi di navigazione.
Suggerimento
Togli la sosta dal tempo totale. Non fare la media aritmetica delle velocità.
Soluzione e verifica
Incognita e vincoli. Sia v la velocità in acqua ferma. Deve essere v>3, altrimenti non potrebbe risalire il fiume. Le velocità rispetto alla riva sono v+3 e v−3.
Modello. Il tempo di ogni tratta è distanza divisa per velocità. La sosta non va attribuita a nessuna delle due tratte. Sommiamo i tempi effettivi e moltiplichiamo per v²−9, che nel dominio è positivo:
18/(v+3) + 18/(v−3) = 5−1/2 = 9/2 36v/(v²−9) = 9/2 v²−8v−9 = 0 (v−9)(v+1) = 0 v=9; v=−1
Scelta. −1 non è ammissibile; resta 9 km/h. A favore di corrente la velocità è 12 e il tempo 18/12=1,5 ore; controcorrente è 6 e il tempo 18/6=3 ore. Verifica: 1,5+3+0,5=5 ore. La media sull’intero viaggio non coincide con v.
2. Il lavoro a tre fasi
Classico rielaborato
Due macchine A e B lavorano a ritmi costanti. Da sola, B impiega 4 ore più di A per completare un lotto. A lavora da sola per 2 ore, poi B da sola per 4 ore; infine lavorano insieme per 2 ore e completano esattamente il lotto. Le lavorazioni si sommano senza interferenze. Quanto impiegherebbe ciascuna macchina da sola?
Suggerimento
Se A impiega x ore, in un’ora completa 1/x del lotto, non x lotti.
Soluzione e verifica
Incognita e vincoli. A impiega x>0 ore; B ne impiega x+4. A lavora complessivamente 4 ore e B 6, ma le ultime 2 ore si sovrappongono nel tempo.
Modello. Sommiamo frazioni di lavoro, non durate. Moltiplicando per x(x+4), non nullo nel dominio:
2/x + 4/(x+4) + 2[1/x+1/(x+4)] = 1 4/x + 6/(x+4) = 1 4(x+4)+6x=x(x+4) x²−6x−16=0 (x−8)(x+2)=0 x=8; x=−2
Scelta e verifica. Scartiamo −2. A impiega 8 ore e B 12 ore. Le tre fasi realizzano 2/8=1/4, 4/12=1/3 e 2(1/8+1/12)=5/12 del lotto: la somma è 1. Prima della fase finale il lotto non è ancora concluso.
3. Due vendite allo stesso prezzo, una perdita nascosta
Classico rielaborato
Un commerciante vende due oggetti a 240 euro ciascuno. Sul primo guadagna una certa percentuale del suo costo d’acquisto; sul secondo perde la stessa percentuale del rispettivo costo. Complessivamente perde 20 euro. Determina la percentuale e i due costi d’acquisto.
Suggerimento
Le due percentuali hanno basi diverse. Indica la percentuale con una frazione p, non con il numero di punti percentuali.
Soluzione e verifica
Vincoli. 0<p<1, perché il primo guadagno e la seconda perdita sono positivi, mentre il secondo prezzo di vendita resta positivo. L’incasso totale è 480, quindi il costo totale era 500.
Modello. Se un prezzo di vendita è costo·(1+p), il costo è prezzo/(1+p). Per la perdita usiamo 1−p. Non dobbiamo calcolare 240(1±p): 240 è il prezzo finale.
240/(1+p) + 240/(1−p) = 500 480/(1−p²)=500 p²=1/25 p=1/5; p=−1/5
Scelta. p=1/5, quindi 20%; il valore negativo contraddice i ruoli assegnati. I costi sono 240/1,2=200 euro e 240/0,8=300 euro. Il guadagno è 40, la perdita 60: il saldo è −20 euro.
4. Due diluizioni uguali, ma non additive
Classico rielaborato
Un serbatoio contiene 100 litri di soluzione con 20 litri di una sostanza disciolta. Si assumono volumi additivi e miscelazione perfetta. Prelevi x litri di soluzione e li sostituisci con x litri d’acqua pura; mescoli e ripeti esattamente la stessa operazione. Alla fine la sostanza disciolta è il 9,8% del volume totale. Quanto vale x?
Suggerimento
Ogni prelievo elimina la stessa frazione della sostanza presente in quel momento, non la stessa quantità di sostanza.
Soluzione e verifica
Vincoli. 0≤x≤100. Dopo ogni sostituzione il volume torna a 100 litri. Il prelievo lascia la frazione 1−x/100 della sostanza presente.
Modello. Dopo il primo passaggio restano 20(1−x/100) litri di sostanza, dopo il secondo moltiplichiamo ancora per lo stesso fattore. Il 9,8% di 100 litri equivale a 9,8 litri.
20(1−x/100)² = 9.8 (1−x/100)²=49/100 1−x/100=±7/10 x=30; x=170
Scelta. x=170 è fisicamente impossibile. Occorre sostituire 30 litri ogni volta. Prima restano 14 litri di sostanza; al secondo prelievo ne togliamo il 30%, cioè 4,2: restano 9,8. Non sono state eliminate due volte le stesse quantità.
5. Il giardino di cui non conosci nemmeno i lati
Classico rielaborato
Un giardino rettangolare ha perimetro 92 m e diagonale 34 m. All’interno si realizza un vialetto di larghezza costante lungo tutti e quattro i lati; al centro resta un rettangolo di prato di area 240 m². Determina i lati del giardino e la larghezza del vialetto.
Suggerimento
Prima ricava somma e prodotto dei lati. Soltanto dopo introduci la larghezza del vialetto.
Soluzione e verifica
Prima riduzione. Chiamando a e b i lati, dal perimetro otteniamo a+b=46. Dal teorema di Pitagora a²+b²=1156. Sviluppare (a+b)² permette di ricavare ab senza cercare i lati per tentativi.
Seconda riduzione. I lati sono le radici di z²−(a+b)z+ab=0. Una volta trovati, il prato ha lati 30−2x e 16−2x: togliamo il vialetto da entrambi i bordi di ogni direzione.
a+b=46; a²+b²=34²=1156 2ab=46²−1156=960 ab=480 z²−46z+480=(z−30)(z−16)=0 (30−2x)(16−2x)=240 4x²−92x+240=0 x²−23x+60=(x−3)(x−20)=0 x=3; x=20
Vincoli e verifica. I lati sono 30 m e 16 m. Deve essere 0<x<8, quindi scartiamo 20 e scegliamo x=3 m. Il prato misura 24×10=240 m²; il perimetro esterno è 92 e la diagonale √(900+256)=34 m. Abbiamo risolto due equazioni quadratiche successive, non un’equazione di quarto grado.
6. Il teatro: due progetti alternativi
Ambientazione originale
Un teatro ha r file con c posti ciascuna. Un primo progetto, rispetto alla disposizione attuale, elimina 2 file e aggiunge 4 posti a ogni fila rimasta: la capienza cresce di 16. Un secondo progetto, sempre rispetto all’attuale e non al primo, aggiunge 2 file e toglie 3 posti a ogni fila: la capienza diminuisce di 10. Trova disposizione e capienza attuali.
Suggerimento
Scrivi entrambe le nuove capienze. I prodotti rc si eliminano: il sistema non è di secondo grado.
Soluzione e verifica
Vincoli. r e c sono interi, r>2 e c>3. La capienza attuale è rc. Le due alternative partono dallo stesso teatro.
Modello. Espandiamo i prodotti e cancelliamo rc sui due lati. Sommando le due equazioni lineari rimaste si elimina anche c:
(r−2)(c+4)=rc+16 (r+2)(c−3)=rc−10 4r−2c=24 −3r+2c=−4 r=20; c=28 rc=560
Verifica. Sono 20 file da 28 posti, per 560 posti. Il primo progetto dà 18×32=576, cioè 16 in più. Il secondo dà 22×25=550, cioè 10 in meno. Applicare il secondo progetto al primo produrrebbe un problema diverso.
7. I pacchetti persi e l’intestazione aggiunta
Ambientazione originale
Un dispositivo prepara n pacchetti, ognuno con n−5 byte di dati utili. Otto pacchetti vanno persi. Il ricevitore conserva tutti i dati utili dei rimanenti e aggiunge a ciascuno un’intestazione di 3 byte. Il totale salvato, intestazioni comprese, è di 144 byte inferiore al totale dei dati utili preparati dal mittente. Determina n e i due totali.
Suggerimento
Distinguere dati utili e intestazioni è essenziale. Il numero di pacchetti ricevuti è n−8.
Soluzione e verifica
Vincoli. n è intero e n>8. Il mittente prepara n(n−5) byte. Ogni pacchetto ricevuto occupa (n−5)+3=n−2 byte, e i pacchetti ricevuti sono n−8.
Modello. La differenza fra i due totali è 144. Anche se compaiono prodotti quadratici, i termini n² si cancellano:
n(n−5) − (n−8)(n−2) = 144 n²−5n − (n²−10n+16) = 144 5n−16=144 n=32
Verifica. n=32 pacchetti. Il mittente prepara 32×27=864 byte; il ricevitore salva 24×30=720 byte. Differenza 144. In alternativa: i persi eliminano 8·27=216 byte, ma le intestazioni ne aggiungono 24·3=72: perdita netta 216−72=144.
8. Il robot che deve conservare la riserva
Ambientazione originale
Un robot parte con 725 unità di energia. Attraversa n tratte successive: la tratta j consuma esattamente 2j+3 unità, per j=1,…,n. Dopo la tratta n torna alla base attraverso un collegamento diretto che consuma 5n unità. Non vi sono altri consumi o ricariche. Al ritorno rimane esattamente il 20% dell’energia iniziale. Quante tratte ha percorso prima di tornare?
Suggerimento
Il consumo dell’andata non è n volte il consumo dell’ultima tratta: bisogna sommare una progressione.
Soluzione e verifica
Vincoli. n è un intero positivo. La riserva è il 20% di 725, cioè 145, non il 20% dell’energia consumata: sono state spese 580 unità.
Somma. Le tratte consumano 5,7,9,…,2n+3. Usando 1+…+n=n(n+1)/2 otteniamo n²+4n per l’andata; aggiungiamo 5n per il ritorno.
725−0.20·725=580 Σⱼ₌₁ⁿ(2j+3)+5n=580 2·n(n+1)/2+3n+5n=580 n²+9n−580=0 (n−20)(n+29)=0 n=20; n=−29
Scelta e verifica. Scartiamo −29. Il robot percorre 20 tratte. L’andata costa 20·(5+43)/2=480, il ritorno 100; restano 725−580=145, esattamente il 20%. Inoltre prima del ritorno dispone di 245 unità, sufficienti a completarlo.
9. Il preventivo con due percentuali sconosciute
Ambientazione originale
Un servizio ha prezzo base di 500 euro. Il fornitore applica un aumento del x%, poi sul prezzo aumentato uno sconto di (x−10)%, infine aggiunge 20 euro fissi di consegna, non soggetti allo sconto. Il totale è 560 euro. Sapendo che entrambi aumento e sconto sono positivi e che lo sconto è inferiore al 100%, determina x.
Suggerimento
x è il numero di punti percentuali. Un aumento del x% non si scrive moltiplicando per 1+x.
Soluzione e verifica
Vincoli. x>10 e x−10<100, cioè 10<x<110. Prima della consegna il prezzo è 540 euro.
Modello. I due fattori si moltiplicano perché lo sconto agisce sul prezzo già aumentato. Manteniamo le parentesi per non perdere il termine quadratico:
500(1+x/100)[1−(x−10)/100]+20=560 (1+x/100)(1.10−x/100)=1.08 1.10+0.001x−0.0001x²=1.08 x²−10x−200=0 (x−20)(x+10)=0 x=20; x=−10
Scelta. x=20; −10 non rispetta i vincoli. Aumento del 20%: 500→600. Sconto del 10%: 600→540. Consegna: 540+20=560. Il solo servizio è aumentato complessivamente dell’8%, non del 10%.
10. Il pannello di sensori: bordo e interno
Ambientazione originale
Un pannello rettangolare è formato da r righe e c colonne di sensori, uno in ogni posizione di una griglia completa. I sensori sul bordo, contando ogni angolo una sola volta, sono 74. Tutti i sensori strettamente interni sono collegati a moduli da 12 ingressi: servono esattamente 22 moduli, tutti pieni, senza sensori ripetuti o esclusi. Trova le dimensioni della griglia e il numero totale di sensori.
Suggerimento
Trasforma prima i moduli in un numero di sensori. Nel bordo, i quattro angoli non vanno contati due volte.
Soluzione e verifica
Vincoli. r e c sono interi maggiori di 2. L’interno contiene 22·12=264 sensori. Il bordo contiene due righe complete e due colonne senza gli angoli già contati: 2c+2(r−2)=74.
Modello. L’interno è (r−2)(c−2). Ricaviamo somma e prodotto di r e c, poi costruiamo l’equazione che li ha come radici:
2r+2c−4=74
(r−2)(c−2)=264
r+c=39
rc−2(r+c)+4=264
rc=338
z²−39z+338=(z−13)(z−26)=0
{r,c}={13,26}Verifica. La griglia misura 13×26 oppure 26×13: i dati non distinguono l’orientamento. Ci sono 338 sensori, di cui 11×24=264 interni e 338−264=74 sul bordo. Le due radici non sono alternative da scartare: sono le due dimensioni.