Antes de calcular, haz una predicción. Después abre la solución y busca el detalle que contradice tu primera intuición. En estos modelos, los dados y las monedas son equilibrados y los ensayos repetidos son independientes, salvo indicación contraria.
P(A) indica la probabilidad del suceso A; P(A | B) significa la probabilidad de A sabiendo B. El complementario es el suceso contrario: P(no A) = 1 − P(A). El valor esperado es una media teórica sobre muchas repeticiones, no una promesa para un experimento aislado.
Diez retos
Monty Hall: ¿conviene cambiar de puerta?
Tres puertas esconden un premio y dos cabras. El premio es equiprobable detrás de cada puerta. Eliges una. El presentador sabe dónde está el premio, siempre abre otra puerta con una cabra y siempre ofrece cambiar; si tiene dos opciones, elige al azar. ¿Conviene cambiar?
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Sí: cambiando ganas con probabilidad 2/3; manteniendo la elección, 1/3. La elección inicial es correcta una de cada tres veces: en ese caso cambiar pierde. En los otros dos casos eliges una cabra y el presentador debe dejar cerrada la puerta del premio: cambiar gana.
Las dos puertas restantes no son equivalentes: la eliminada se eligió usando información. Un presentador que abre al azar sin conocer el premio define otro experimento.
Para profundizar: Wolfram MathWorld.
Cumpleaños: ¿bastan 23 personas?
En un grupo de 23 personas, ¿qué probabilidad hay de que al menos dos cumplan años el mismo día? Supongamos fechas independientes, uniformes sobre 365 días, sin 29 de febrero.
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Calculamos el contrario: todas las fechas distintas. La segunda persona debe evitar un día, la tercera dos, y así sucesivamente.
P(al menos una coincidencia) = 1 − (365/365)(364/365)…(343/365) ≈ 0,5073 = 50,73%Cuenta cualquier pareja: hay
23 · 22 / 2 = 253parejas. No podemos sumar sin más 253 probabilidades, porque los sucesos se solapan. Coincidir con una fecha fijada es un problema diferente.Para profundizar: Wolfram MathWorld.
Las tres cajas de Bertrand
Tres cajas contienen respectivamente dos monedas de oro, dos de plata, y una de cada. Elige una caja uniformemente y después una de sus dos monedas uniformemente. La moneda extraída es de oro. ¿Qué probabilidad hay de que la otra también sea de oro?
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2/3, no 1/2. Antes de observarla, cada una de las seis monedas físicas tiene probabilidad 1/6 de ser extraída. De las tres monedas de oro posibles, dos proceden de la caja con dos oros y una de la caja mixta. Tras observar oro, estos tres casos siguen siendo equiprobables.
No basta contar las dos cajas posibles: la caja con dos oros tiene el doble de posibilidades de producir la observación.
Dos hijos: al menos uno es niño
En un modelo simplificado, cada hijo es niño o niña con probabilidad 1/2, independientemente del otro. Seleccionamos uniformemente una familia entre las que tienen exactamente dos hijos y al menos un niño. ¿Qué probabilidad hay de que ambos sean niños?
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1/3. Usando N para niño y F para niña, y respetando el orden de nacimiento, NN, NF, FN y FF eran equiprobables. La selección solo excluye FF: quedan tres casos, uno favorable.
Si sabemos que el mayor es niño, solo quedan NN y NF: la respuesta es 1/2. Conocer a un hijo elegido al azar también es otro protocolo. «Tengo un niño» no especifica por sí solo cómo obtuvimos la información.
De Méré: dos apuestas aparentemente equivalentes
¿Es más probable obtener al menos un 6 en cuatro lanzamientos de un dado, o al menos un doble 6 en veinticuatro lanzamientos de dos dados? Todos los dados tienen seis caras.
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Usamos la probabilidad de no acertar nunca:
P₁ = 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77% P₂ = 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14%La primera supera el 50%; la segunda no. Sin embargo, los números esperados de aciertos coinciden:
4/6 = 24/36 = 2/3. El número medio de aciertos no es la probabilidad de lograr al menos uno: un experimento puede contener varios.Para profundizar: Wolfram MathWorld.
El guardarropa: nadie recibe su sombrero
Diez personas entregan diez sombreros distintos. Se devuelven según una permutación elegida uniformemente entre las 10! posibles. ¿Qué probabilidad hay de que nadie reciba el suyo?
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Aproximadamente 36,79%. No es
(9/10)¹⁰: las asignaciones son dependientes, porque cada sombrero se entrega una sola vez.El principio de inclusión-exclusión da:
P(ningún sombrero correcto) = 1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + … + 1/10! = 1334961/3628800 ≈ 0,367879Aquí n! es el producto de los enteros de 1 a n, y 0! = 1. Para n personas la suma alternada termina en 1/n!; al aumentar n tiende a
1/e ≈ 0,367879, no a cero.Para profundizar: Wolfram MathWorld.
Cara-cara o cara-cruz: ¿la misma espera?
Lanza una moneda hasta que aparezca por primera vez CC (cara-cara). En un experimento separado espera CX (cara-cruz). Cuenta todos los lanzamientos desde el inicio, incluido el último. ¿Las esperas medias son iguales, ya que cada patrón tiene probabilidad 1/4 en dos lanzamientos fijados?
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No: CC requiere una media de 6 lanzamientos, CX solo 4. Para CC, sea E la espera inicial y F la espera restante después de una cara:
E = 1 + E/2 + F/2 F = 1 + E/2 ⇒ E = 6Después de cara, cruz hace empezar de cero. Para CX, otra cara conserva una cara útil:
E = 1 + E/2 + F/2 F = 1 + F/2 ⇒ F = 2, E = 4El 1 cuenta el próximo lanzamiento; completar el patrón deja espera restante cero. Las ventanas consecutivas de dos lanzamientos se solapan: no son ensayos independientes.
Simpson: mejor en cada grupo, peor en total
Dos métodos A y B realizan tareas fáciles y difíciles. Estos datos inventados indican éxitos sobre intentos:
Tareas A B Fáciles 81/90 = 90% 10/10 = 100% Difíciles 2/10 = 20% 27/90 = 30% B tiene una tasa superior en ambos grupos. ¿Puede A tener una tasa total superior?
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Sí: A suma 83/100 = 83%, B 37/100 = 37%. No calculamos la media simple de los porcentajes: sumamos éxitos e intentos.
A realizó sobre todo tareas fáciles; B, difíciles. Los pesos de los grupos cambian y la clasificación puede invertirse. Estas tasas descriptivas no bastan para establecer qué método causa mejores resultados: necesitamos conocer cómo se asignaron las tareas.
Para profundizar: Wolfram MathWorld.
La ruina del jugador: ¿basta un juego justo?
Empiezas con 10 fichas; tu rival tiene 90. Cada lanzamiento independiente de una moneda equilibrada transfiere una ficha de un jugador al otro. Paráis cuando uno posee las 100 fichas. ¿Tienes un 50% de probabilidades de ganarlo todo?
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No: tienes un 10% de ganarlo todo y un 90% de perder tus fichas. Sea u(i) la probabilidad de llegar a 100 antes que a 0 empezando con i:
u(0) = 0, u(100) = 1 u(i) = [u(i − 1) + u(i + 1)]/2 ⇒ u(i) = i/100 ⇒ u(10) = 0,10La relación hace iguales las diferencias sucesivas: la solución es una recta. Cada lanzamiento es justo, pero los capitales iniciales no son simétricos. El capital final medio sigue siendo 10:
0,10 · 100 + 0,90 · 0 = 10. No es un consejo de apuestas.Para profundizar: Wolfram MathWorld.
La aguja de Buffon: hallar π lanzando una aguja
Un plano tiene rectas paralelas separadas una distancia d. Una aguja de longitud ℓ ≤ d cae con orientación uniforme y centro distribuido uniformemente respecto a las líneas, independientemente del ángulo. Si ℓ = d, ¿qué probabilidad hay de tocar o cruzar una línea?
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2/π ≈ 63,66%, no 50%. Sea x la distancia del centro a la línea más cercana, uniforme entre 0 y d/2. Sea θ el ángulo agudo con las líneas, uniforme entre 0 y π/2. La aguja encuentra una línea si
x ≤ (ℓ/2) sin θ.P = (2/π) ∫₀^(π/2) (ℓ/d) sin θ dθ = 2ℓ/(πd)Con N lanzamientos independientes y K encuentros, estimamos
π ≈ 2ℓN/(dK), siempre que K > 0. Es una estimación aleatoria, no una identidad exacta: pocos lanzamientos u orientaciones no uniformes pueden dar malos resultados. Conecta con los métodos de Montecarlo.Para profundizar: Wolfram MathWorld.
El hilo conductor es el modelo: cómo seleccionamos, qué información recibimos y cuándo nos detenemos. Las simulaciones pueden comprobar los cálculos, pero deben reproducir exactamente estas reglas.