Avant de calculer, faites une prédiction. Ouvrez ensuite la solution et cherchez le détail qui trompe votre intuition. Dans ces modèles, les dés et les pièces sont équilibrés, et les essais répétés sont indépendants sauf indication contraire.
P(A) désigne la probabilité de l’événement A ; P(A | B) signifie la probabilité de A sachant B. L’événement contraire vérifie P(non A) = 1 − P(A). L’espérance est une moyenne théorique sur de nombreuses répétitions, pas une promesse pour une expérience isolée.
Dix défis
Monty Hall : faut-il changer de porte ?
Trois portes cachent un prix et deux chèvres. Le prix est équiprobable derrière chaque porte. Vous en choisissez une. Le présentateur sait où se trouve le prix, ouvre toujours une autre porte cachant une chèvre et propose toujours de changer ; s’il a deux possibilités, il choisit au hasard. Faut-il changer ?
Afficher la solution et le raisonnement
Oui : changer donne une probabilité de gagner de 2/3 ; rester, de 1/3. Le choix initial est correct une fois sur trois : changer fait alors perdre. Dans les deux autres cas, vous choisissez d’abord une chèvre et le présentateur doit laisser fermée la porte du prix : changer fait gagner.
Les deux portes restantes ne sont pas équivalentes : l’élimination utilise une information. Un présentateur qui ouvre au hasard sans connaître le prix définit une autre expérience.
Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
Anniversaires : 23 personnes suffisent-elles ?
Dans un groupe de 23 personnes, quelle est la probabilité qu’au moins deux aient le même anniversaire ? Supposons des dates indépendantes, uniformément réparties sur 365 jours, sans 29 février.
Afficher la solution et le raisonnement
Calculons l’événement contraire : toutes les dates sont différentes. La deuxième personne doit éviter un jour, la troisième deux, etc.
P(au moins une coïncidence) = 1 − (365/365)(364/365)…(343/365) ≈ 0,5073 = 50,73%N’importe quelle paire compte : il y en a
23 · 22 / 2 = 253. Mais on ne peut pas simplement additionner 253 probabilités, car les événements se recoupent. Coïncider avec une date fixée est un autre problème.Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
Les trois boîtes de Bertrand
Trois boîtes contiennent respectivement deux pièces d’or, deux d’argent, et une de chaque. Choisissez une boîte uniformément, puis une de ses deux pièces uniformément. La pièce tirée est en or. Quelle est la probabilité que l’autre soit aussi en or ?
Afficher la solution et le raisonnement
2/3, et non 1/2. Avant l’observation, chacune des six pièces physiques a une probabilité de 1/6 d’être tirée. Parmi les trois pièces d’or possibles, deux viennent de la boîte tout en or et une de la boîte mixte. Après observation de l’or, ces trois cas restent équiprobables.
Compter les deux boîtes possibles ne suffit pas : la boîte avec deux pièces d’or a deux fois plus de chances de produire l’observation.
Deux enfants : au moins un garçon
Dans un modèle simplifié, chaque enfant est un garçon ou une fille avec probabilité 1/2, indépendamment de l’autre. Sélectionnons uniformément une famille parmi celles ayant exactement deux enfants et au moins un garçon. Quelle est la probabilité d’avoir deux garçons ?
Afficher la solution et le raisonnement
1/3. Dans l’ordre des naissances, GG, GF, FG et FF étaient équiprobables. La sélection exclut seulement FF : trois cas restent, dont un seul favorable.
Si l’on sait plutôt que l’aîné est un garçon, seuls GG et GF restent : la réponse est 1/2. Rencontrer un enfant choisi au hasard est encore un protocole différent. « J’ai un garçon » ne précise pas à lui seul comment l’information a été obtenue.
De Méré : deux paris apparemment équivalents
Est-il plus probable d’obtenir au moins un 6 en quatre lancers d’un dé, ou au moins un double 6 en vingt-quatre lancers de deux dés ? Tous les dés ont six faces.
Afficher la solution et le raisonnement
Utilisons la probabilité de ne jamais réussir :
P₁ = 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77% P₂ = 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14%La première dépasse 50 %, la seconde non. Pourtant les nombres moyens de succès sont égaux :
4/6 = 24/36 = 2/3. Le nombre moyen de succès n’est pas la probabilité d’en obtenir au moins un : certaines expériences en comptent plusieurs.Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
Le vestiaire : personne ne retrouve son chapeau
Dix personnes déposent dix chapeaux distincts. Ils sont rendus selon une permutation choisie uniformément parmi les 10! possibilités. Quelle est la probabilité que personne ne reçoive son propre chapeau ?
Afficher la solution et le raisonnement
Environ 36,79 %. Ce n’est pas
(9/10)¹⁰: les attributions sont dépendantes, car chaque chapeau n’est rendu qu’une fois.Le principe d’inclusion-exclusion donne :
P(aucun chapeau correct) = 1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + … + 1/10! = 1334961/3628800 ≈ 0,367879Ici n! est le produit des entiers de 1 à n, et 0! = 1. Pour n personnes, la somme alternée s’arrête à 1/n! ; lorsque n augmente, elle tend vers
1/e ≈ 0,367879, pas vers zéro.Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
Pile-pile ou pile-face : la même attente ?
Lancez une pièce jusqu’à la première apparition de PP (pile-pile). Dans une expérience séparée, attendez PF (pile-face). Comptez tous les lancers depuis le début, y compris le dernier. Les attentes moyennes sont-elles égales, puisque chaque motif a une probabilité de 1/4 dans deux lancers fixés ?
Afficher la solution et le raisonnement
Non : PP demande en moyenne 6 lancers, PF seulement 4. Pour PP, notons E l’attente initiale et F l’attente restante après pile :
E = 1 + E/2 + F/2 F = 1 + E/2 ⇒ E = 6Après pile, face fait repartir de zéro. Pour PF, un nouveau pile laisse au contraire un pile utile :
E = 1 + E/2 + F/2 F = 1 + F/2 ⇒ F = 2, E = 4Le 1 compte le prochain lancer ; terminer le motif laisse une attente nulle. Les fenêtres successives de deux lancers se chevauchent : ce ne sont pas des essais indépendants.
Simpson : meilleur dans chaque groupe, moins bon au total
Deux méthodes A et B traitent des tâches faciles et difficiles. Ces données fictives indiquent les réussites sur les tentatives :
Tâches A B Faciles 81/90 = 90% 10/10 = 100% Difficiles 2/10 = 20% 27/90 = 30% B a un taux supérieur dans chaque groupe. A peut-il avoir un taux global supérieur ?
Afficher la solution et le raisonnement
Oui : A totalise 83/100 = 83 %, B 37/100 = 37 %. On n’utilise pas la moyenne simple des pourcentages : on additionne les réussites et les tentatives.
A a surtout traité des tâches faciles, B des tâches difficiles. Les poids des groupes diffèrent, ce qui permet l’inversion du classement. Ces taux descriptifs ne suffisent pas à établir quelle méthode cause de meilleurs résultats : il faut connaître l’attribution des tâches.
Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
La ruine du joueur : un jeu équitable suffit-il ?
Vous commencez avec 10 jetons ; votre adversaire en a 90. Chaque lancer indépendant d’une pièce équilibrée transfère un jeton d’un joueur à l’autre. Vous arrêtez quand l’un possède les 100 jetons. Avez-vous 50 % de chances de tout gagner ?
Afficher la solution et le raisonnement
Non : vous avez 10 % de chances de tout gagner et 90 % de perdre vos jetons. Soit u(i) la probabilité d’atteindre 100 avant 0 en partant de i :
u(0) = 0, u(100) = 1 u(i) = [u(i − 1) + u(i + 1)]/2 ⇒ u(i) = i/100 ⇒ u(10) = 0,10Les différences successives sont égales : la solution est une droite. Chaque lancer est équitable, mais les capitaux initiaux sont asymétriques. Le capital final moyen reste 10 :
0,10 · 100 + 0,90 · 0 = 10. Ce n’est pas un conseil de jeu.Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
L’aiguille de Buffon : trouver π en lançant une aiguille
Des droites parallèles sont espacées d’une distance d. Une aiguille de longueur ℓ ≤ d tombe avec une orientation uniforme et un centre uniformément réparti par rapport aux lignes, indépendamment de l’angle. Si ℓ = d, quelle est la probabilité de toucher ou traverser une ligne ?
Afficher la solution et le raisonnement
2/π ≈ 63,66 %, et non 50 %. Soit x la distance du centre à la ligne la plus proche, uniforme entre 0 et d/2. Soit θ l’angle aigu avec les lignes, uniforme entre 0 et π/2. L’aiguille rencontre une ligne si
x ≤ (ℓ/2) sin θ.P = (2/π) ∫₀^(π/2) (ℓ/d) sin θ dθ = 2ℓ/(πd)Avec N lancers indépendants et K rencontres, on estime
π ≈ 2ℓN/(dK), à condition que K > 0. C’est une estimation aléatoire, non une identité exacte : peu de lancers ou des orientations non uniformes peuvent donner de mauvais résultats. C’est un lien avec les méthodes de Monte-Carlo.Pour approfondir: Wolfram MathWorld.
Le fil conducteur est le modèle : comment on sélectionne, quelle information on reçoit et quand on s’arrête. Une simulation peut vérifier les calculs, mais elle doit reproduire exactement ces règles.