Dos cartas, muchas imágenes y una sola coincidencia. El juego en sala utiliza una baraja completa de 57 cartas, 57 símbolos distintos y 8 símbolos por carta. Explicamos su construcción y demostramos por qué funciona, sin programación.
- El problema: deben funcionar todas las parejas
- Un ejemplo completo de siete cartas
- Símbolos como puntos, cartas como rectas
- Aritmética módulo 7 y numeración
- Construir las 49 cartas no verticales
- Siete verticales y la carta final
- Demostración: la misma dirección
- Demostración: direcciones diferentes
- Demostración: los otros tres casos
- Contar las cartas y los símbolos
- ¿Por qué un número primo?
- Mezclar, comprobar y practicar
1. El problema: deben funcionar todas las parejas
Dos cartas distintas cualesquiera deben compartir exactamente un símbolo. Cada carta contiene la misma cantidad de símbolos distintos. Si Cᵢ representa el conjunto de la carta i:
|Cᵢ ∩ Cⱼ| = 1 para todo i ≠ j
∩ indica la intersección, los elementos comunes. Distribuir dibujos al azar no garantiza esta regla. Tampoco basta comparar cartas consecutivas: importan todas las parejas. La construcción geométrica también equilibra las frecuencias de los símbolos.
2. Un ejemplo completo de siete cartas
Usamos los símbolos A a G, tres por carta. Cada columna representa una carta:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A B C | A D E | A F G | B D F | B E G | C D G | C E F |
Las cartas 1 y 2 comparten A; las 2 y 4, D; las 3 y 7, F. Las 7·6/2=21 parejas cumplen la condición. Cada letra aparece tres veces. Esta estructura es el plano de Fano, el plano proyectivo de orden 2.
3. Símbolos como puntos, cartas como rectas
Cada símbolo representa un punto y cada carta una recta que contiene sus puntos. Queremos que dos rectas distintas se corten en exactamente un punto. Las paralelas ordinarias no se cortan: añadimos un punto por dirección, compartido por todas sus paralelas. Estos puntos del infinito pertenecen a una recta nueva, la recta del infinito.
En el juego son dibujos normales. Un plano proyectivo finito permite esta organización con un número finito de puntos y rectas.
4. Aritmética módulo 7 y numeración
Usamos los números de 0 a 6. Calcular módulo 7 significa conservar el resto al dividir entre 7: 10 ≡ 3, 17 ≡ 3, 21 ≡ 0 y −1 ≡ 6 (mod 7). Es como un reloj de siete posiciones.
Tomamos los 49 puntos (x,y) con coordenadas de 0 a 6. Asignamos un símbolo a cada punto:
S(x,y) = 1 + 7x + y
Por ejemplo, S(0,0)=1, S(0,6)=7 y S(1,0)=8. Los símbolos 1 a 49 representan la cuadrícula; reservamos 50 a 57 para las direcciones. Los números son identificadores sustituidos por imágenes en pantalla.
5. Construir las 49 cartas no verticales
Para cada elección de m y b entre 0 y 6, consideramos:
y ≡ mx + b (mod 7)
m indica la dirección y b distingue las paralelas. Para cada x entre 0 y 6 calculamos y e incluimos S(x,y). Añadimos el símbolo de dirección 50+m. Las 7·7=49 elecciones producen 49 cartas de ocho símbolos.
Con m=1 y b=0, y=x proporciona (0,0), (1,1), …, (6,6), y la carta:
{1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 51}51 es el símbolo de dirección. Las ecuaciones usan restos: no son coordenadas ilimitadas de una hoja infinita.
6. Siete verticales y la carta final
Para cada c entre 0 y 6 tomamos (c,0), …, (c,6) y añadimos 57, la dirección vertical. Para x=0 obtenemos:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 57}La carta final contiene todas las direcciones y representa la recta del infinito:
{50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57}
Total: 49 + 7 + 1 = 57 cartasEl procedimiento queda completo: símbolos de la cuadrícula, cartas no verticales, verticales y carta final. No necesita búsquedas aleatorias ni correcciones posteriores.
7. Demostración: la misma dirección
Consideremos y ≡ mx+b₁ e y ≡ mx+b₂, con valores distintos de b. Para el mismo x, los valores de y difieren: no comparten puntos de la cuadrícula. Ambas contienen 50+m, que es su único símbolo común.
8. Demostración: direcciones diferentes
Un punto común a y ≡ m₁x+b₁ e y ≡ m₂x+b₂ debe cumplir:
(m₁ − m₂)x ≡ b₂ − b₁ (mod 7)
El coeficiente no es cero módulo 7. Como 7 es primo, cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo; por ejemplo, 3·5 ≡ 1. Existe exactamente un x y después un y. Las direcciones tienen símbolos distintos, por lo que solo queda un símbolo común.
Ejemplo: y=x e y=2x+1 dan x ≡ 2x+1, de donde x=6 e y=6 módulo 7. El símbolo común es S(6,6)=49. La segunda carta es {2,11,20,22,31,40,49,52}: únicamente coincide 49.
9. Demostración: los otros tres casos
- Vertical y no vertical: x=c determina un solo y ≡ mc+b. Comparten un punto y ningún símbolo de dirección.
- Dos verticales distintas: no comparten puntos de la cuadrícula, pero ambas incluyen 57.
- Carta final y cualquier otra: la primera solo contiene direcciones y cada otra carta contiene exactamente una.
Hemos cubierto todas las parejas posibles: la demostración vale para la baraja entera.
10. Contar las cartas y los símbolos
Para orden n hay n² puntos de cuadrícula y n+1 puntos de dirección; n² rectas no verticales, n verticales y una final:
Símbolos por carta = n + 1 Cartas = símbolos distintos = n² + n + 1
Un punto de cuadrícula pertenece a una recta de cada una de las n direcciones no verticales y a una vertical. Un punto de dirección pertenece a sus n paralelas y a la carta final. Cada símbolo aparece n+1 veces. Para n=7 hay 57·8=456 apariciones.
Otra cuenta: fijamos un símbolo. Sus n+1 cartas aportan n símbolos adicionales cada una, sin repeticiones, pues una repetición produciría dos coincidencias. En el plano completo se alcanzan todos los demás: 1+n(n+1)=n²+n+1.
La fórmula describe esta construcción completa, no toda colección que cumpla la regla. Quitar cartas conserva las intersecciones restantes, pero puede desequilibrar las frecuencias.
11. ¿Por qué un número primo?
Los restos módulo un primo permiten invertir todo elemento no nulo. Con un número compuesto esto puede fallar: 2x ≡ 0 (mod 6) admite x=0 y x=3. Una intersección podría dejar de ser única.
n = 2 → 3 símbolos/carta, 7 cartas n = 3 → 4 símbolos/carta, 13 cartas n = 5 → 6 símbolos/carta, 31 cartas n = 7 → 8 símbolos/carta, 57 cartas n = 11 → 12 símbolos/carta, 133 cartas
Esto no demuestra que todos los órdenes compuestos sean imposibles. Justifica la construcción mediante restos para órdenes primos, no sustituir 7 por cualquier número.
12. Mezclar, comprobar y practicar
Después podemos mezclar las cartas, reordenar sus símbolos y variar posiciones, tamaños y rotaciones. La pertenencia a cada carta no cambia. En cambio, eliminar o sustituir independientemente dibujos de cartas concretas puede romper la propiedad.
La comprobación completa verifica 57 cartas, ocho símbolos distintos por carta, identificadores de 1 a 57, ocho apariciones por símbolo y una intersección de tamaño uno en cada una de las 57·56/2=1596 parejas.
Ejercicio: ¿qué comparten y=x e y=x+1?
Ningún punto de cuadrícula. La dirección común m=1 proporciona el símbolo 51.
Ejercicio: construye la carta x=2
Los puntos (2,0), …, (2,6) dan los símbolos 15 a 21. Añadimos la dirección vertical: {15,16,17,18,19,20,21,57}.
Conclusión: la geometría garantiza una respuesta única. El jugador debe reconocerla rápidamente.