Trouver le symbole : la géométrie cachée des cartes

Deux cartes, de nombreuses images et une seule correspondance. Le jeu en salle utilise un jeu complet de 57 cartes, 57 symboles différents et 8 symboles par carte. Voici sa construction et sa justification, sans programmation.

1. Le problème : toutes les paires doivent fonctionner
2. Un exemple complet de sept cartes
3. Des symboles aux points, des cartes aux droites
4. Calcul modulo 7 et numérotation
5. Construire 49 cartes non verticales
6. Sept verticales et la dernière carte
7. Démonstration : même direction
8. Démonstration : directions différentes
9. Démonstration : les trois autres cas
10. Compter les cartes et les symboles
11. Pourquoi un nombre premier ?
12. Mélanger, vérifier et s’exercer

1. Le problème : toutes les paires doivent fonctionner

Deux cartes distinctes quelconques doivent partager exactement un symbole. Chaque carte contient le même nombre de symboles distincts. Si Cᵢ est l’ensemble des symboles de la carte i :

|Cᵢ ∩ Cⱼ| = 1 pour tout i ≠ j

∩ désigne l’intersection, les éléments communs. Une répartition aléatoire ne garantit pas cette propriété. Comparer seulement des cartes consécutives ne suffit pas : toutes les paires comptent. La construction géométrique équilibre aussi la fréquence des symboles.

2. Un exemple complet de sept cartes

Prenons les symboles A à G, trois par carte. Chaque colonne représente une carte :

Les cartes 1 et 2 partagent A ; les cartes 2 et 4 partagent D ; les cartes 3 et 7 partagent F. Les 7·6/2=21 paires respectent la règle. Chaque lettre apparaît trois fois. Cette structure est le plan de Fano, un plan projectif d’ordre 2.

3. Des symboles aux points, des cartes aux droites

Un symbole devient un point ; une carte devient une droite contenant ses points. On veut donc que deux droites distinctes se rencontrent en un seul point. Les parallèles ordinaires ne se rencontrent pas : ajoutons un point pour chaque direction, commun à toutes ses parallèles. Ces points à l’infini appartiennent à une nouvelle droite, la droite à l’infini.

Dans le jeu, ces points sont des images ordinaires. Un plan projectif fini permet cette organisation avec un nombre fini de points et de droites.

4. Calcul modulo 7 et numérotation

Utilisons 0 à 6. Calculer modulo 7 consiste à garder le reste de la division par 7 : 10 ≡ 3, 17 ≡ 3, 21 ≡ 0 et −1 ≡ 6 (mod 7). C’est une horloge à sept positions.

Les 49 points (x,y), dont les coordonnées vont de 0 à 6, reçoivent chacun un symbole :

S(x,y) = 1 + 7x + y

Ainsi S(0,0)=1, S(0,6)=7 et S(1,0)=8. Les symboles 1 à 49 représentent la grille ; les symboles 50 à 57 représenteront les directions. Les nombres sont remplacés par des images dans le jeu.

5. Construire 49 cartes non verticales

Pour chaque choix de m et b entre 0 et 6, prenons :

y ≡ mx + b (mod 7)

m représente la direction et b distingue les parallèles. Pour chaque x de 0 à 6, calculons y et ajoutons S(x,y) à la carte. Ajoutons ensuite le symbole de direction 50+m. Les 7·7=49 choix donnent 49 cartes de huit symboles.

Avec m=1 et b=0, y=x donne (0,0), (1,1), …, (6,6), donc :

{1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 51}

51 est le symbole de direction. Les équations utilisent les restes : ce ne sont pas des coordonnées sans limite sur une feuille infinie.

6. Sept verticales et la dernière carte

Pour chaque c entre 0 et 6, prenons (c,0), …, (c,6) et ajoutons 57 pour la direction verticale. Pour x=0 :

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 57}

La dernière carte contient toutes les directions et représente la droite à l’infini :

{50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57}
Total : 49 + 7 + 1 = 57 cartes

La procédure est complète : symboles de la grille, cartes non verticales, verticales et carte finale. Aucun tâtonnement aléatoire ni correction ultérieure n’est nécessaire.

7. Démonstration : même direction

Considérons y ≡ mx+b₁ et y ≡ mx+b₂, avec b₁ différent de b₂. Pour un même x, les valeurs de y diffèrent : aucun point de la grille n’est commun. Mais les deux cartes contiennent 50+m, leur unique symbole commun.

8. Démonstration : directions différentes

Pour y ≡ m₁x+b₁ et y ≡ m₂x+b₂, un point commun vérifie :

(m₁ − m₂)x ≡ b₂ − b₁ (mod 7)

Le coefficient est non nul modulo 7. Comme 7 est premier, tout élément non nul possède un inverse multiplicatif : par exemple 3·5 ≡ 1. Il existe donc un seul x, puis un seul y. Les symboles de direction étant différents, il reste exactement un symbole commun.

Exemple : y=x et y=2x+1 donnent x ≡ 2x+1, donc x=6 puis y=6 modulo 7. Le symbole commun est S(6,6)=49. La seconde carte est {2,11,20,22,31,40,49,52} : seul 49 correspond.

9. Démonstration : les trois autres cas

1. Verticale et non verticale : x=c impose un seul y ≡ mc+b. Un point commun, aucune direction commune.
2. Deux verticales différentes : aucun point de la grille en commun, mais toutes deux contiennent 57.
3. Carte finale et toute autre carte : la première ne contient que des directions ; l’autre contient exactement une direction.

Toutes les paires possibles ont été traitées : la preuve vaut pour le jeu entier.

10. Compter les cartes et les symboles

À l’ordre n, il y a n² points de grille et n+1 points de direction ; n² droites non verticales, n verticales et une dernière droite :

Symboles par carte = n + 1
Cartes = symboles différents = n² + n + 1

Un point de grille appartient à une droite de chacune des n directions non verticales et à une verticale. Un point de direction appartient à ses n parallèles et à la carte finale. Chaque symbole apparaît donc n+1 fois. Pour n=7, cela donne 57·8=456 occurrences.

Autre raisonnement : fixons un symbole. Ses n+1 cartes ajoutent chacune n autres symboles, sans répétition, sinon deux cartes auraient deux correspondances. Dans le plan complet, tous les autres symboles sont atteints : 1+n(n+1)=n²+n+1.

Cette formule concerne la construction complète, pas toute collection vérifiant la règle. Retirer des cartes conserve les intersections restantes mais peut déséquilibrer les fréquences.

11. Pourquoi un nombre premier ?

Les restes modulo un nombre premier permettent d’inverser tout élément non nul. Avec un nombre composé, cela peut échouer : 2x ≡ 0 (mod 6) admet x=0 et x=3. Une intersection peut ne plus être unique.

n = 2 → 3 symboles/carte, 7 cartes
n = 3 → 4 symboles/carte, 13 cartes
n = 5 → 6 symboles/carte, 31 cartes
n = 7 → 8 symboles/carte, 57 cartes
n = 11 → 12 symboles/carte, 133 cartes

Cela ne prouve pas que tous les ordres composés sont impossibles. Nous avons justifié cette construction par les restes pour les ordres premiers, pas le remplacement de 7 par un nombre arbitraire.

12. Mélanger, vérifier et s’exercer

On peut mélanger les cartes, réordonner leurs symboles, changer positions, tailles et rotations des images. Leur appartenance aux cartes reste inchangée. En revanche, supprimer ou remplacer indépendamment des images sur certaines cartes peut casser la propriété.

Le contrôle complet vérifie : 57 cartes ; huit symboles distincts par carte ; identifiants de 1 à 57 ; huit occurrences par symbole ; une intersection de taille un pour chacune des 57·56/2=1596 paires.

Conclusion : la géométrie garantit une réponse unique ; le joueur doit la reconnaître rapidement.

The geometry of the Game DOBBLE — Cecilia Salgado