Trova il simbolo: la geometria nascosta nelle carte

Due carte, tante immagini e una sola corrispondenza da trovare. Dietro questa sfida di attenzione si nasconde una costruzione geometrica precisa. Nel gioco «Trova il simbolo in stanza» il mazzo completo contiene 57 carte, utilizza 57 simboli diversi e presenta 8 simboli su ogni carta. Vediamo come costruirlo e perché funziona, senza scrivere codice.

1. Il problema: una garanzia per tutte le coppie
2. Un esempio completo con sole 7 carte
3. L’idea geometrica: simboli come punti, carte come rette
4. Calcolare modulo 7 e numerare i simboli
5. Primo gruppo: 49 carte non verticali
6. Secondo gruppo: 7 verticali e l’ultima carta
7. Dimostrazione: due carte con la stessa direzione
8. Dimostrazione: due direzioni diverse
9. Dimostrazione: i tre casi rimanenti
10. Quante carte? Da dove viene n²+n+1?
11. Perché un numero primo?
12. Mescolare, verificare e provare da soli

1. Il problema: una garanzia per tutte le coppie

Vogliamo che qualunque coppia di carte diverse abbia esattamente un simbolo in comune: né zero, né due. Ogni carta deve contenere lo stesso numero di simboli, tutti distinti al suo interno. Indicando con Cᵢ l’insieme dei simboli della carta i, la richiesta è:

|Cᵢ ∩ Cⱼ| = 1, per ogni i ≠ j

Il simbolo ∩ indica l’intersezione, cioè gli elementi comuni. Distribuire immagini casualmente non garantisce questa proprietà. Non basta neppure controllare ogni carta soltanto con quella precedente: occorre garantire tutte le coppie. La soluzione geometrica fornisce inoltre un mazzo equilibrato, nel quale ogni simbolo compare lo stesso numero di volte.

2. Un esempio completo con sole 7 carte

Usiamo sette simboli A, B, C, D, E, F, G e tre simboli per carta. Le colonne indicano le sette carte:

Le carte 1 e 2 condividono A; le carte 2 e 4 condividono D; le carte 3 e 7 condividono F. Si può verificare la proprietà per tutte le 7·6/2 = 21 coppie. Ogni lettera compare esattamente tre volte. Questa piccola struttura è il piano di Fano, il piano proiettivo di ordine 2.

3. L’idea geometrica: simboli come punti, carte come rette

Associamo a ogni simbolo un punto e a ogni carta una retta. Una carta contiene i simboli dei punti appartenenti alla sua retta. La richiesta diventa: due rette distinte devono incontrarsi in un solo punto.

Nella geometria ordinaria le parallele non si incontrano. Per completare la costruzione aggiungiamo un punto per ogni direzione: tutte le parallele della stessa direzione condividono quel punto, chiamato punto all’infinito. Tutti questi nuovi punti appartengono a una nuova retta, la retta all’infinito. Nel mazzo non sono immagini speciali: sono simboli normali. La struttura finita così ottenuta è un piano proiettivo finito.

4. Calcolare modulo 7 e numerare i simboli

Lavoriamo con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Calcolare modulo 7 significa prendere il resto della divisione per 7: 10 ≡ 3, 17 ≡ 3 e 21 ≡ 0 (mod 7). Anche −1 ≡ 6 (mod 7): aggiungiamo un multiplo di 7 per tornare tra 0 e 6. È un orologio con sette posizioni.

Prendiamo i 49 punti (x,y), con entrambe le coordinate tra 0 e 6. Ogni punto identifica un simbolo distinto:

S(x,y) = 1 + 7x + y

Per esempio S(0,0)=1, S(0,6)=7 e S(1,0)=8. Otteniamo i simboli da 1 a 49. Riserviamo i numeri da 50 a 57 alle otto direzioni. I numeri sono identificatori: nel gioco vengono sostituiti dalle immagini.

5. Primo gruppo: 49 carte non verticali

Per ogni coppia di valori m e b tra 0 e 6 consideriamo l’equazione:

y ≡ mx + b (mod 7)

m indica la direzione; b distingue le rette con la stessa direzione. Facciamo variare x da 0 a 6 e calcoliamo i sette valori di y. Inseriamo nella carta i corrispondenti simboli S(x,y) e aggiungiamo il simbolo di direzione 50+m. Le scelte sono 7·7=49: otteniamo 49 carte, ciascuna con 7+1=8 simboli.

Per esempio, scegliendo m=1 e b=0, otteniamo y=x e i punti (0,0), (1,1), …, (6,6). La carta è:

{1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 51}

I primi sette numeri identificano i punti; 51=50+1 rappresenta la direzione. Non stiamo disegnando rette euclidee su un foglio infinito: i calcoli vengono sempre riportati alla griglia usando i resti.

6. Secondo gruppo: 7 verticali e l’ultima carta

Le equazioni precedenti non comprendono le rette verticali. Per ogni c tra 0 e 6 creiamo una carta con i punti (c,0), (c,1), …, (c,6), aggiungendo il simbolo 57 della direzione verticale. Per x=0 otteniamo:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 57}

Le verticali aggiungono sette carte. Infine creiamo la carta delle direzioni, corrispondente alla retta all’infinito:

{50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57}
Totale carte: 49 + 7 + 1 = 57

Questa è l’intera procedura: generare i simboli della griglia, le carte non verticali, quelle verticali e la carta finale. Non richiede tentativi casuali o correzioni successive.

7. Dimostrazione: due carte con la stessa direzione

Consideriamo y ≡ mx+b₁ e y ≡ mx+b₂, con b₁ diverso da b₂. Per lo stesso x i valori di y sono diversi: non esiste un punto della griglia comune. Le due carte contengono però entrambe il simbolo 50+m. Hanno dunque esattamente un simbolo comune, quello di direzione.

8. Dimostrazione: due direzioni diverse

Per trovare un punto comune a y ≡ m₁x+b₁ e y ≡ m₂x+b₂, uguagliamo i secondi membri:

(m₁ − m₂)x ≡ b₂ − b₁ (mod 7)

Poiché le direzioni sono diverse, m₁−m₂ non è zero modulo 7. Poiché 7 è primo, ogni numero non nullo ha un inverso moltiplicativo modulo 7: per esempio 3·5 ≡ 1. Possiamo quindi determinare un solo x e poi un solo y. Le carte hanno un unico punto della griglia in comune e simboli di direzione diversi.

Esempio: y=x e y=2x+1. Uguagliando, x ≡ 2x+1, quindi −x ≡ 1 e x ≡ 6. Anche y=6. Il simbolo comune è S(6,6)=49. La seconda carta è {2,11,20,22,31,40,49,52}: il confronto conferma che soltanto 49 è comune.

9. Dimostrazione: i tre casi rimanenti

1. Verticale e non verticale. La prima impone x=c. Sostituendo nell’altra troviamo un solo y ≡ mc+b. Un solo punto comune; simboli di direzione distinti.
2. Due verticali diverse. Non condividono punti della griglia, ma contengono entrambe il simbolo 57, e soltanto quello.
3. Carta finale e qualsiasi altra. La carta finale contiene solo direzioni. Ogni altra carta ne contiene esattamente una.

Abbiamo esaminato tutte le coppie possibili: la proprietà è dimostrata per l’intero mazzo, non soltanto per gli esempi.

10. Quante carte? Da dove viene n²+n+1?

Nella costruzione completa di ordine n abbiamo n² punti della griglia e n+1 punti di direzione; analogamente n² carte non verticali, n verticali e una finale. Quindi:

Simboli per carta = n + 1
Carte = simboli diversi = n² + n + 1

Ogni punto della griglia appartiene a una retta per ciascuna delle n direzioni non verticali e a una verticale: compare su n+1 carte. Ogni simbolo di direzione compare sulle n parallele corrispondenti e sulla carta finale: ancora n+1 volte. Per n=7 ogni simbolo compare otto volte e le presenze complessive sono 57·8=456.

Un altro conteggio: fissiamo un simbolo, per esempio una stella. Le n+1 carte che lo contengono aggiungono ciascuna n simboli diversi. Nessuno può ripetersi, altrimenti due carte condividerebbero anche quel simbolo oltre alla stella. Nel piano completo tutti gli altri simboli sono raggiunti: il totale è 1+n(n+1)=n²+n+1.

Attenzione: questa formula riguarda la costruzione completa, non ogni possibile collezione con la proprietà di intersezione. Eliminare carte non cambia le intersezioni delle rimanenti, ma può rendere diverse le frequenze dei simboli.

11. Perché un numero primo?

Usando i normali resti, il numero primo garantisce l’inverso di ogni elemento non nullo. Con un numero composto questa garanzia scompare: 2x ≡ 0 (mod 6) ha sia x=0 sia x=3 come soluzioni. Un’intersezione potrebbe quindi non essere unica.

n = 2 → 3 simboli per carta, 7 carte
n = 3 → 4 simboli per carta, 13 carte
n = 5 → 6 simboli per carta, 31 carte
n = 7 → 8 simboli per carta, 57 carte
n = 11 → 12 simboli per carta, 133 carte

Non bisogna concludere che tutti gli ordini composti siano impossibili: questa spiegazione dimostra la costruzione mediante resti per gli ordini primi. Non autorizza a sostituire il 7 con un numero qualsiasi nella stessa procedura.

12. Mescolare, verificare e provare da soli

Una volta costruito il mazzo possiamo mescolare le carte, riordinare i simboli, cambiarne posizione, dimensione e rotazione. Cambia la difficoltà visiva, non l’appartenenza dei simboli alle carte. Naturalmente non bisogna eliminare o sostituire indipendentemente immagini su singole carte.

Una verifica completa controlla: 57 carte; 8 simboli distinti su ciascuna; identificatori da 1 a 57; ogni simbolo presente otto volte; intersezione di dimensione uno per tutte le coppie. Le coppie da verificare sono 57·56/2=1596.

Conclusione: la geometria garantisce che la risposta esista e sia unica. L’abilità del giocatore consiste nel riconoscerla rapidamente.

The geometry of the Game DOBBLE — Cecilia Salgado