Resolver un problema no significa limitarse a hacer cálculos: significa comprender la pregunta, seleccionar la información necesaria y reconocer la relación que une los datos y las incógnitas. Este itinerario, preparado originalmente para un curso de formación de nuevos docentes en 2011-2012, conduce gradualmente del lenguaje natural al algebraico y también muestra cuándo una ecuación no es el camino más inmediato.
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1. Resumen
En el aprendizaje de las matemáticas, el alumnado manifiesta a menudo dificultades o inseguridad al resolver problemas. Por eso conviene proponer actividades que permitan interiorizar un itinerario guiado, hasta desarrollar la capacidad de resolver correcta y autónomamente una situación problemática.
El malestar ante un problema aparece pronto. Para interpretar un texto hay que entrenar cuatro operaciones fundamentales:
- comprender el texto mediante un razonamiento atento;
- reconocer e identificar los datos y la información imprescindibles;
- reconocer la pregunta, o las preguntas, del problema;
- captar las relaciones entre los datos y lo que se pide.
2. Tengo un problema: ¿cómo puedo resolverlo?
Cada vez que afrontamos un problema, la primera pregunta debe ser: ¿de qué tipo de problema se trata?
| Tipo de problema | Ejemplo y observación |
|---|---|
| Problema que no se puede resolver | Lucas juega a las cartas con Marcos y gana la partida. ¿Por cuántos puntos ha ganado? El problema no se puede resolver: faltan datos imprescindibles. Saber que Lucas jugó bien no permite determinar la puntuación. |
| Problema que no es un verdadero problema | Paola tiene 8 años. Su amiga Ana nació el mismo día del mismo año. ¿Cuántos años tiene Ana? La respuesta ya está en el texto: las dos amigas tienen exactamente la misma fecha de nacimiento, así que Ana tiene 8 años. |
| Problema que se resuelve con una acción | Andrés debe hacer una tarea escolar, pero descubre que su cuaderno se ha quedado sin páginas. ¿Cómo puede hacer la tarea? El problema se resuelve actuando: Andrés toma un cuaderno nuevo. |
| Problema que se resuelve con un cálculo aritmético | Felipe posee una colección de 35 cromos y su abuelo le regala otros 12. ¿Cuántos cromos posee Felipe en total? Hay que sumar: |
| Problema que se resuelve con una intuición | Una baraja francesa completa de 52 cartas, todas del mismo grosor, mide 1,3 cm vista de canto. ¿Cuánto mediría si se quitaran todos los reyes? Hay una regla disponible y se debe responder en un minuto. Al retirar los cuatro reyes quedan 48 cartas. El grosor es proporcional al número de cartas: |
3. ¿Por dónde empezar?
Resolver problemas exige distintas habilidades, pero comprender la pregunta es fundamental. De lo contrario, corremos el riesgo de resolver otro problema y toda nuestra capacidad de cálculo resulta inútil.
En una prueba de acceso a Medicina se planteó esta pregunta: «Catorce personas se van de excursión. Mueren todas menos nueve. ¿Cuántos supervivientes hay?»
Respuestas posibles: a) 14; b) 9; c) 5; d) 23.
Más de la mitad de los candidatos eligió 5: la redacción induce al cerebro a calcular automáticamente 14 − 9. Analicemos, en cambio, el texto.
| ¿De quién se habla? | De personas. |
|---|---|
| ¿Cuántas son? | 14. |
| ¿Cuántas personas mueren? | Todas menos 9. |
| ¿Cuántas sobreviven? | 9. |
El primer subproblema es siempre: ¿qué pide el problema? Si no se entiende la petición, el razonamiento posterior no puede conducir a la respuesta correcta.
4. Del lenguaje natural al lenguaje algebraico
Muchos problemas se resuelven traduciendo los datos al lenguaje algebraico, pero ese paso no es inmediato. El álgebra hace visible una regla que puede permanecer oculta en los casos numéricos.
Consideremos la frase: «Tú y yo sumamos 40 años». Si conocemos una de las edades, podemos determinar la otra:
yo tengo 30 años → tú tienes 40 − 30 = 10
yo tengo 35 años → tú tienes 40 − 35 = 5
yo tengo x años → tú tienes 40 − xDecir solamente que 30 + 10 = 40 y 35 + 5 = 40 verifica los dos ejemplos, pero todavía no expresa la regla. La regla numérica es «restar de 40 la edad conocida»; su formulación algebraica es x ↦ 40 − x.
Cuando sabemos ejecutar un procedimiento con números, debemos preguntarnos qué regla hemos usado e intentar expresarla algebraicamente.
5. Problemas guiados
Para acostumbrar al alumnado a traducir el lenguaje natural al álgebra, conviene guiarlo mediante preguntas adecuadas. En los problemas siguientes fingimos conocer la respuesta, la representamos con una letra y utilizamos la información del enunciado para construir la ecuación.
5.1. Problema guiado 1: la edad de Claudia
Si preguntáramos a Claudia cuántos años tiene, respondería: «Si tuviera 4 años más, superaría los 20 en tantos años como me faltan ahora para alcanzarlos». ¿Cuántos años tiene?
| Edad actual supuesta | x |
|---|---|
| Edad si tuviera 4 años más | x + 4 |
| Años que le faltan ahora para llegar a 20 | 20 − x |
| Ecuación | x + 4 = 20 + (20 − x) |
x + 4 = 20 + 20 − x
x + x = 40 − 4
2x = 36
x = 18Claudia tiene 18 años. Con cuatro años más tendría 22 y superaría los 20 en 2 años, los mismos que le faltan hoy.
5.2. Problema guiado 2: las respuestas de Alberto
La abuela de Alberto le hace veinte preguntas. Le da 3 euros por cada respuesta correcta y le quita 2 euros por cada respuesta equivocada. Al final Alberto recibe 10 euros. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?
| Número supuesto de respuestas correctas | x |
|---|---|
| Respuestas equivocadas | 20 − x |
| Ganancia por las respuestas correctas | 3x |
| Pérdida por las respuestas equivocadas | 2(20 − x) |
| Saldo | 3x − 2(20 − x) = 10 |
3x − 40 + 2x = 10
5x = 50
x = 10Alberto dio 10 respuestas correctas y 10 equivocadas: ganó 30 euros y perdió 20, con un saldo de 10 euros.
5.3. Problema guiado 3: las monedas de la máquina
Una máquina de bebidas calientes acepta monedas de 0,50 €, 1 € y 2 €. El depósito contiene 100 € en total. Las monedas de 1 € triplican a las de 0,50 €; las monedas de 2 € son 45 menos que las de 1 €. ¿Cuántas monedas hay de cada valor?
| Número supuesto de monedas de 0,50 € | x |
|---|---|
| Monedas de 1 € | 3x |
| Monedas de 2 € | 3x − 45 |
| Valor total | (1/2)x + 3x + 2(3x − 45) = 100 |
x + 6x + 12x − 180 = 200
19x = 380
x = 20Hay 20 monedas de 0,50 €, 60 monedas de 1 € y 15 monedas de 2 €. La comprobación es 10 + 60 + 30 = 100 €.
5.4. Problema guiado 4: el cuadrado de alumnos
Este problema es algo más difícil: hay que preguntarse qué no cambia en las dos situaciones. Además, la incógnita no coincide directamente con la respuesta pedida.
Cuando los alumnos de una clase forman un cuadrado, sobran 8. Si se aumenta en uno el lado del cuadrado, falta en cambio 1 alumno. ¿Cuántos alumnos hay?
| Lado supuesto del primer cuadrado | x |
|---|---|
| Número de alumnos en la primera disposición | x² + 8 |
| Lado del segundo cuadrado | x + 1 |
| Número de alumnos en la segunda disposición | (x + 1)² − 1 |
| Ecuación | x² + 8 = (x + 1)² − 1 |
x² + 8 = x² + 2x + 1 − 1
8 = 2x
x = 4Hay 4² + 8 = 24 alumnos, o de forma equivalente 5² − 1 = 24.
6. Formalización del problema de los pollos y los conejos
A menudo se puede resolver un problema sin ecuaciones, pero el razonamiento necesario no siempre resulta evidente. Ocurre algo interesante si primero lo resolvemos de forma general, usando parámetros - datos conocidos representados con símbolos en lugar de números: la fórmula obtenida revela el razonamiento aritmético que al principio pudo escapársenos.
Un granjero cría pollos y conejos. Posee 55 animales que tienen 160 patas en total. ¿Cuántos son conejos y cuántos son pollos?
| Cantidad | Conejos | Pollos |
|---|---|---|
| Número de animales | x | 55 − x |
| Número de patas | 4x | 2(55 − x) |
La afirmación «en total hay 160 patas» produce la ecuación:
4x + 2(55 − x) = 160
4x + 110 − 2x = 160
2x = 50
x = 25 conejos
55 − x = 30 pollosGeneralización
Supongamos ahora que el granjero posee T animales con Z patas en total. Si x es el número de conejos, los pollos son T − x. Los conejos tienen 4x patas y los pollos 2(T − x).
4x + 2(T − x) = Z
4x + 2T − 2x = Z
2x = Z − 2T
x = (Z − 2T) / 2 conejos
T − x = (4T − Z) / 2 pollosPara obtener cantidades enteras no negativas de animales, T y Z deben ser enteros, Z debe ser par y debe cumplirse 2T ≤ Z ≤ 4T. En esas condiciones, ambas fórmulas devuelven números enteros comprendidos entre 0 y T.
Las dos fórmulas tienen un sentido concreto. 2T es el número de patas que habría si todos los animales fueran pollos. La diferencia Z − 2T deja dos patas adicionales por cada conejo; al dividir por 2 obtenemos, por tanto, el número de conejos.
Del mismo modo, 4T es el número de patas que habría si todos fueran conejos. La diferencia 4T − Z deja dos patas por cada pollo; al dividir por 2 obtenemos los pollos. El álgebra ha hecho explícito un procedimiento aritmético.
7. No siempre es fácil
Cuantos más problemas examinamos, más claro resulta que una traducción mecánica del lenguaje natural no basta. Hay que elaborar la información, reflexionar sobre ella y deducir nueva información. No existe un único esquema prefijado, más allá del proceso general de elaboración de la información.
Sin embargo, dos preguntas suelen ser decisivas:
- ¿dónde está la igualdad?
- ¿qué no ha cambiado en las situaciones descritas?
Tres situaciones para explorar
Hay 158 estudiantes y las chicas son más numerosas que los chicos. Una undécima parte de las chicas lleva gafas, mientras que una séptima parte de los chicos lleva gafas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?
Hermanos y hermanas están sentados alrededor de una mesa. Aldo dice: «El número de mis hermanos es igual al número de mis hermanas». Claudia dice: «El número de mis hermanos es el doble del número de mis hermanas». ¿Cuántos hermanos y hermanas hay?
Marco tiene 6 años más que su esposa Mara. Marco dice: «Hace cuatro años llevaba casado tantos años como la mitad de mi edad de entonces». Mara dice: «Dentro de diez años habré pasado casada dos tercios de tu vida». ¿Cuántos años llevan casados y qué edad tiene cada uno?
El documento original desarrolla con detalle el primer ejemplo. Los otros dos muestran lo difícil que puede resultar identificar la igualdad oculta en las relaciones familiares y temporales.
7.1. Chicos y chicas: utilizar la divisibilidad
En el primer ejemplo no aparece de inmediato una ecuación evidente, pero del texto se deducen dos restricciones:
- si una undécima parte de las chicas lleva gafas, el número de chicas debe ser múltiplo de 11;
- si una séptima parte de los chicos lleva gafas, el número de chicos debe ser múltiplo de 7.
Como las chicas son más numerosas, su número F supera la mitad de 158: F > 79. El primer múltiplo de 11 que debemos comprobar es 88. Para cada múltiplo calculamos M = 158 − F y comprobamos si M/7 es entero.
| Multiplicador k | F = 11k | M = 158 − F | M/7 |
|---|---|---|---|
| 8 | 88 | 70 | 10 |
| 9 | 99 | 59 | 8,428571 |
| 10 | 110 | 48 | 6,857143 |
| 11 | 121 | 37 | 5,285714 |
| 12 | 132 | 26 | 3,714286 |
| 13 | 143 | 15 | 2,142857 |
| 14 | 154 | 4 | 0,571429 |
| 15 | 165 | −7 | −1 |
La única solución admisible es 88 chicas y 70 chicos. Este método, fácil de reproducir en una hoja de cálculo, transforma la información sobre las fracciones en condiciones de divisibilidad.
7.2. ¿Qué no cambia?
En un barco hay 20 hombres y agua suficiente para 33 días. Suben a bordo dos náufragos y el capitán reduce la ración diaria de agua a los
5/6de la ración inicial. ¿Cuántos días durará ahora el agua?
Supongamos que conocemos la nueva autonomía y la llamamos x. La pregunta decisiva es: ¿qué no cambia entre las dos situaciones? No cambia la cantidad total de agua disponible.
| Primera situación | 20 · 33 · 1 raciones |
|---|---|
| Segunda situación | 22 · x · 5/6 raciones |
20 · 33 · 1 = 22 · x · 5/6
x = (6/5) · (20 · 33 / 22)
x = 36Con 22 personas y la ración reducida a cinco sextos, el agua dura 36 días.
7.3. Razonar hacia atrás
Tres amigos, A, B y C, poseen 48 euros en total. Primero A entrega a B una cantidad que duplica el dinero de B; después B entrega a C una cantidad que duplica el dinero de C; por último C entrega a A una cantidad que duplica el dinero de A. Al final, los tres tienen la misma cantidad. ¿Cuánto poseían al principio?
Procedamos paso a paso hacia atrás. Al final cada uno posee 48/3 = 16 euros:
situación final: A = 16, B = 16, C = 16En la última operación A duplicó su dinero: justo antes tenía 8 euros y C le dio otros 8. Antes de entregarlos, C tenía por tanto 16 + 8 = 24.
antes de la última operación: A = 8, B = 16, C = 24En la operación anterior C había duplicado su dinero: antes tenía 12 euros y B le dio 12. Antes de entregarlos, B tenía por tanto 16 + 12 = 28.
antes de la segunda operación: A = 8, B = 28, C = 12En la primera operación B había duplicado su dinero: antes tenía 14 euros y A le dio 14. Antes de entregarlos, A tenía por tanto 8 + 14 = 22.
situación inicial: A = 22, B = 14, C = 12La situación inicial buscada es A = 22 €, B = 14 €, C = 12 €. Un sistema de tres incógnitas sería posible, pero mucho más laborioso que el razonamiento hacia atrás.
A cargo de Salvatore Mosaico.