Risolvere problemi: dal linguaggio naturale all’algebra

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Risolvere un problema non significa soltanto eseguire calcoli: significa capire la domanda, selezionare le informazioni necessarie e riconoscere la relazione che lega dati e incognite. Questo percorso, nato nel corso per neoassunti 2011-2012, accompagna gradualmente dal linguaggio naturale a quello algebrico e mostra anche quando un’equazione non è la strada più immediata.

Materiale originale stampato il 22 maggio 2012.

1. Riassunto

Nell’apprendimento della matematica gli alunni manifestano spesso difficoltà o incertezze nella risoluzione dei problemi. È quindi utile proporre attività che facciano interiorizzare un percorso guidato, fino a rendere autonoma la capacità di risolvere correttamente una situazione problematica.

Il disagio davanti a un problema compare presto. Per interpretare il testo occorre allenare quattro operazioni fondamentali:

comprendere il testo in modo ragionato;
riconoscere e individuare i dati e le informazioni indispensabili;
riconoscere la domanda, o le domande, del problema;
cogliere le relazioni esistenti fra i dati e ciò che viene richiesto.

2. Ho un problema: come posso risolverlo?

Ogni volta che dobbiamo affrontare un problema, la prima domanda è: di che tipo di problema si tratta?

Cinque tipi di problema e relativi esempi
Tipo di problema	Esempio e osservazione
Problema che non si può risolvere	Luca gioca a carte con Marco e vince la partita. Con quanti punti ha vinto? Il problema non si può risolvere: mancano informazioni indispensabili. Sapere che Luca è stato bravo non basta per determinare il punteggio.
Problema che non è un vero problema	Paola ha 8 anni. La sua amica Anna è nata lo stesso giorno dello stesso anno. Quanti anni ha Anna? La risposta è già contenuta nel testo: le due amiche hanno esattamente la stessa data di nascita, quindi Anna ha 8 anni.
Problema risolvibile con un’azione	Andrea deve svolgere un compito assegnato a scuola, ma si accorge che il quaderno è finito. Come può eseguire il compito? Il problema si risolve agendo: Andrea prende un quaderno nuovo.
Problema risolvibile con un calcolo aritmetico	Filippo possiede 35 figurine e il nonno gliene regala altre 12. Quante figurine possiede in tutto? Serve un’addizione: `35 + 12 = 47`.
Problema risolvibile con un’intuizione	Un mazzo francese completo di 52 carte, tutte dello stesso spessore, misura 1,3 cm visto di lato. Quanto misurerebbe togliendo tutti i re? È disponibile un righello e bisogna rispondere in un minuto. I quattro re vengono rimossi e restano 48 carte. Lo spessore è proporzionale al numero di carte: `1,3 × 48/52 = 1,2 cm`. Il righello non serve, perché basta la proporzione.

3. Da dove partire?

Per risolvere problemi servono abilità diverse, ma comprendere la domanda è fondamentale. Altrimenti rischiamo di risolvere un altro problema e ogni abilità di calcolo diventa inutile.

In un test di ammissione a Medicina venne proposta questa domanda: «Quattordici persone vanno in gita. Muoiono tutte tranne nove. Quanti sono i superstiti?»
Possibili risposte: a) 14; b) 9; c) 5; d) 23.

Più della metà dei candidati scelse 5: la forma della frase induce il cervello a calcolare automaticamente 14 − 9. Analizziamo invece il testo.

Analisi ragionata della domanda sui superstiti
Di chi si parla?	Di persone.
Quante sono?	14.
Quante persone muoiono?	Tutte tranne 9.
Quante sopravvivono?	9.

Il primo sottoproblema è dunque sempre: che cosa chiede il problema? Se la richiesta non è chiara, il ragionamento successivo non può portarci alla risposta corretta.

4. Dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico

Molti problemi si risolvono traducendo i dati in linguaggio algebrico, ma il passaggio non è immediato. L’algebra rende visibile una regola che, nei casi numerici, può restare nascosta.

Consideriamo la frase: «Io e te abbiamo insieme 40 anni». Conoscendo una delle due età, possiamo determinare l’altra:

io ho 30 anni  →  tu hai 40 − 30 = 10 anni
io ho 35 anni  →  tu hai 40 − 35 = 5 anni
io ho x anni   →  tu hai 40 − x anni

Dire soltanto che 30 + 10 = 40 e 35 + 5 = 40 verifica i due esempi, ma non esplicita ancora la regola. La regola numerica è «sottrarre l’età conosciuta da 40»; la sua formulazione algebrica è x ↦ 40 − x.

Quando sappiamo svolgere un procedimento con i numeri, dobbiamo chiederci quale regola abbiamo utilizzato e provare a formularla algebricamente.

5. Problemi guidati

Per abituare gli studenti a tradurre il linguaggio naturale in algebra è utile guidarli con domande mirate. Nei problemi seguenti fingiamo di conoscere la risposta, la rappresentiamo con una lettera e usiamo le informazioni del testo per costruire l’equazione.

5.1. Problema guidato 1: l’età di Claudia

Se chiedessimo a Claudia quanti anni ha, risponderebbe: «Se fossi più vecchia di 4 anni, supererei i 20 di tanti anni quanti in realtà me ne mancano». Quanti anni ha?

Traduzione del problema sull’età di Claudia
Età attuale supposta	`x`
Età se fosse più vecchia di 4 anni	`x + 4`
Anni che oggi le mancano per arrivare a 20	`20 − x`
Equazione	`x + 4 = 20 + (20 − x)`

x + 4 = 20 + 20 − x
x + x = 40 − 4
2x = 36
x = 18

Claudia ha 18 anni. Se ne avesse quattro in più, ne avrebbe 22 e supererebbe 20 di 2 anni, gli stessi che oggi le mancano.

5.2. Problema guidato 2: le risposte di Alberto

La nonna propone ad Alberto venti domande. Gli regala 3 euro per ogni risposta esatta e gliene toglie 2 per ogni risposta sbagliata. Alla fine Alberto riceve 10 euro. Quante risposte ha dato correttamente?

Traduzione del problema delle risposte
Risposte esatte supposte	`x`
Risposte sbagliate	`20 − x`
Guadagno per le risposte esatte	`3x`
Perdita per le risposte sbagliate	`2(20 − x)`
Saldo	`3x − 2(20 − x) = 10`

3x − 40 + 2x = 10
5x = 50
x = 10

Alberto ha dato 10 risposte esatte e 10 sbagliate: ha guadagnato 30 euro e ne ha persi 20, con un saldo di 10 euro.

5.3. Problema guidato 3: le monete del distributore

Un distributore di bevande calde accetta monete da 0,50 €, 1 € e 2 €. Nel contenitore ci sono complessivamente 100 €. Le monete da 1 € sono il triplo di quelle da 0,50 €; quelle da 2 € sono 45 in meno delle monete da 1 €. Quante monete ci sono per ogni taglio?

Traduzione del problema delle monete
Monete da 0,50 € supposte	`x`
Monete da 1 €	`3x`
Monete da 2 €	`3x − 45`
Valore complessivo	`(1/2)x + 3x + 2(3x − 45) = 100`

x + 6x + 12x − 180 = 200
19x = 380
x = 20

Ci sono 20 monete da 0,50 €, 60 monete da 1 € e 15 monete da 2 €. La verifica è 10 + 60 + 30 = 100 €.

5.4. Problema guidato 4: il quadrato di alunni

Questo problema è più difficile: bisogna chiedersi che cosa non cambia nelle due situazioni? Inoltre l’incognita non coincide direttamente con la risposta.

Disponendo gli alunni della classe in un quadrato ne avanzano 8; aumentando di uno il lato del quadrato, manca invece 1 alunno. Quanti sono gli alunni?

Traduzione del problema del quadrato
Lato del primo quadrato supposto	`x`
Numero degli alunni nella prima disposizione	`x² + 8`
Lato del secondo quadrato	`x + 1`
Numero degli alunni nella seconda disposizione	`(x + 1)² − 1`
Equazione	`x² + 8 = (x + 1)² − 1`

x² + 8 = x² + 2x + 1 − 1
8 = 2x
x = 4

Gli alunni sono 4² + 8 = 24, oppure 5² − 1 = 24.

6. Formalizzazione del problema dei polli e dei conigli

Spesso un problema può essere risolto senza equazioni, ma il ragionamento richiesto non è sempre evidente. Succede una cosa interessante: se lo risolviamo prima in forma generale, usando parametri - dati noti rappresentati da simboli anziché da numeri - la formula ottenuta rivela il ragionamento aritmetico che poteva essere sfuggito.

Un contadino alleva polli e conigli. Possiede 55 capi con complessivamente 160 zampe. Quanti sono i conigli e quanti i polli?

Teste e zampe nel caso numerico
Quantità	Conigli	Polli
Numero di animali	`x`	`55 − x`
Numero di zampe	`4x`	`2(55 − x)`

L’affermazione «complessivamente sono 160 zampe» produce l’equazione:

4x + 2(55 − x) = 160
4x + 110 − 2x = 160
2x = 50
x = 25 conigli
55 − x = 30 polli

Generalizzazione

Supponiamo ora che il contadino possieda T animali con complessivamente Z zampe. Se x è il numero dei conigli, i polli sono T − x. Le zampe dei conigli sono 4x e quelle dei polli 2(T − x).

4x + 2(T − x) = Z
4x + 2T − 2x = Z
2x = Z − 2T
x = (Z − 2T) / 2                 conigli
T − x = (4T − Z) / 2             polli

Perché il problema produca conteggi interi e non negativi, T e Z devono essere interi, Z deve essere pari e deve valere 2T ≤ Z ≤ 4T. In queste condizioni entrambe le formule restituiscono conteggi interi compresi fra 0 e T.

Le due formule hanno un significato concreto. 2T è il numero di zampe che avremmo se tutti gli animali fossero polli. La differenza Z − 2T lascia due zampe in più per ogni coniglio; dividendo per 2 otteniamo quindi i conigli.

Analogamente, 4T è il numero di zampe che avremmo se tutti fossero conigli. La differenza 4T − Z lascia due zampe per ogni pollo; dividendo per 2 troviamo i polli. L’algebra ha reso esplicito un procedimento aritmetico.

7. Non è sempre facile

Più problemi osserviamo, più diventa evidente che una traduzione meccanica dal linguaggio naturale non basta. Bisogna elaborare le informazioni, riflettere su di esse e ricavarne altre. Non esiste uno schema unico, oltre al processo generale di elaborazione dell’informazione.

Due domande sono però spesso decisive:

dove si trova l’uguaglianza?
che cosa non cambia nelle situazioni descritte?

Tre situazioni da esplorare

Ci sono 158 studenti e le ragazze sono più numerose dei ragazzi. Un undicesimo delle ragazze porta gli occhiali, mentre un settimo dei ragazzi porta gli occhiali. Quanti sono i ragazzi e quante le ragazze?
A un tavolo siedono fratelli e sorelle. Aldo dice: «Il numero dei miei fratelli è uguale al numero delle mie sorelle». Claudia dice: «Il numero dei miei fratelli è il doppio del numero delle mie sorelle». Quanti sono i fratelli e quante le sorelle?
Marco ha 6 anni più della moglie Mara. Marco dice: «Quattro anni fa ero sposato da un numero di anni pari alla metà della mia età di allora». Mara dice: «Fra dieci anni avrò trascorso da sposata due terzi della tua vita». Da quanti anni sono sposati e quanti anni ha ciascuno?

Il documento originale sviluppa in dettaglio il primo esempio; gli altri due mostrano quanto possa essere impegnativo individuare l’uguaglianza nascosta nelle relazioni familiari e temporali.

7.1. Ragazzi e ragazze: usare la divisibilità

Nel primo esempio non compare subito un’equazione evidente, ma dal testo possiamo dedurre due vincoli:

se un undicesimo delle ragazze porta gli occhiali, il numero delle ragazze deve essere un multiplo di 11;
se un settimo dei ragazzi porta gli occhiali, il numero dei ragazzi deve essere un multiplo di 7.

Poiché le ragazze sono più numerose, il loro numero F supera la metà di 158: F > 79. Il primo multiplo di 11 da verificare è dunque 88. Per ogni multiplo calcoliamo M = 158 − F e controlliamo se M/7 è intero.

Ricerca del numero di ragazze F e ragazzi M
Moltiplicatore k	`F = 11k`	`M = 158 − F`	`M/7`
8	88	70	10
9	99	59	8,428571
10	110	48	6,857143
11	121	37	5,285714
12	132	26	3,714286
13	143	15	2,142857
14	154	4	0,571429
15	165	−7	−1

L’unica soluzione ammissibile è 88 ragazze e 70 ragazzi. Il metodo, facilmente riproducibile in un foglio di calcolo, trasforma le informazioni sulle frazioni in condizioni di divisibilità.

7.2. Che cosa non cambia?

Su una nave ci sono 20 uomini e acqua sufficiente per 33 giorni. Salgono a bordo due naufraghi e il capitano riduce la razione giornaliera d’acqua a 5/6 di quella iniziale. Per quanti giorni durerà ora l’acqua?

Supponiamo di conoscere la nuova autonomia e indichiamola con x. La domanda decisiva è: che cosa non cambia fra le due situazioni? Non cambia la quantità totale d’acqua disponibile.

La stessa quantità d’acqua nelle due situazioni
Prima situazione	`20 · 33 · 1` razioni
Seconda situazione	`22 · x · 5/6` razioni

20 · 33 · 1 = 22 · x · 5/6
x = (6/5) · (20 · 33 / 22)
x = 36

Con 22 persone e una razione ridotta a cinque sesti, l’acqua dura 36 giorni.

7.3. Andare a ritroso

Tre amici, A, B e C, possiedono complessivamente 48 euro. Prima A dà a B una somma che raddoppia il denaro di B; poi B dà a C una somma che raddoppia il denaro di C; infine C dà ad A una somma che raddoppia il denaro di A. Alla fine tutti e tre hanno la stessa somma. Quanto possedevano inizialmente?

Procediamo passo dopo passo a ritroso. Alla fine ciascuno possiede 48/3 = 16 euro:

situazione finale:       A = 16, B = 16, C = 16

Nell’ultima operazione A ha raddoppiato il proprio denaro: subito prima aveva 8 euro e C gli ha dato altri 8. C, prima di darli, ne aveva quindi 16 + 8 = 24.

prima dell’ultima mossa: A = 8,  B = 16, C = 24

Nella mossa precedente C aveva raddoppiato il proprio denaro: prima aveva 12 euro e B gliene ha dati 12. B, prima di darli, ne aveva 16 + 12 = 28.

prima della seconda:     A = 8,  B = 28, C = 12

Nella prima mossa B aveva raddoppiato il proprio denaro: prima aveva 14 euro e A gliene ha dati 14. A, prima di darli, ne aveva 8 + 14 = 22.

situazione iniziale:     A = 22, B = 14, C = 12

La situazione cercata è quindi A = 22 €, B = 14 €, C = 12 €. Un sistema di tre incognite sarebbe possibile, ma molto più laborioso del ragionamento a ritroso.

A cura di Salvatore Mosaico.