Enseigner et apprendre par problèmes : du langage naturel à l’algèbre

Résoudre un problème ne consiste pas seulement à effectuer des calculs : il faut comprendre la question, sélectionner les informations nécessaires et reconnaître la relation qui unit les données aux inconnues. Ce parcours, conçu à l’origine pour une formation de nouveaux enseignants en 2011-2012, conduit progressivement du langage naturel au langage algébrique et montre aussi quand une équation n’est pas la voie la plus immédiate.

Le document d’origine a été imprimé le 22 mai 2012.

1. Résumé

Dans l’apprentissage des mathématiques, les élèves manifestent souvent des difficultés ou des incertitudes face à la résolution de problèmes. Il est donc utile de proposer des activités qui leur permettent d’intérioriser une démarche guidée, jusqu’à devenir capables de résoudre correctement et de façon autonome une situation-problème.

Le malaise devant un problème apparaît tôt. Pour interpréter un énoncé, il faut entraîner quatre opérations fondamentales :

• comprendre le texte par un raisonnement attentif ;
• reconnaître et repérer les données et informations indispensables ;
• identifier la question, ou les questions, posées ;
• saisir les relations entre les données et ce qui est demandé.

2. J’ai un problème : comment le résoudre ?

Chaque fois que nous devons affronter un problème, la première question est : de quel type de problème s’agit-il ?

Cinq types de problèmes et leurs exemples

Type de problème	Exemple et observation
Problème impossible à résoudre	Luc joue aux cartes avec Marc et gagne la partie. Avec combien de points d’avance a-t-il gagné ? Le problème est insoluble : des informations indispensables manquent. Savoir que Luc a bien joué ne permet pas de déterminer le score.
Problème qui n’en est pas vraiment un	Paola a 8 ans. Son amie Anna est née le même jour de la même année. Quel âge a Anna ? La réponse se trouve déjà dans le texte : les deux amies ont exactement la même date de naissance, donc Anna a 8 ans.
Problème résolu par une action	Andrea doit faire un devoir, mais il constate que son cahier est rempli et n’a plus de pages libres. Comment peut-il faire son devoir ? Le problème se résout en agissant : Andrea prend un cahier neuf.
Problème résolu par un calcul arithmétique	Filippo possède une collection de 35 images et son grand-père lui en offre 12 autres. Combien d’images Filippo possède-t-il en tout ? Il faut additionner : 35 + 12 = 47.
Problème résolu par une intuition	Un jeu standard complet de 52 cartes, toutes de même épaisseur, mesure 1,3 cm vu de côté. Quelle serait son épaisseur si l’on retirait tous les rois ? Une règle est disponible et il faut répondre en une minute. En retirant les quatre rois, il reste 48 cartes. L’épaisseur est proportionnelle au nombre de cartes : 1,3 × 48/52 = 1,2 cm. La règle ne sert pas, car la proportion suffit.

3. Par où commencer ?

Résoudre des problèmes mobilise plusieurs compétences, mais il est fondamental de comprendre la question. Sinon, nous risquons de résoudre un autre problème et toutes nos capacités de calcul deviennent inutiles.

Un concours d’admission en médecine a proposé la question suivante : « Quatorze personnes partent en excursion. Toutes meurent sauf neuf. Combien y a-t-il de survivants ? »

Réponses possibles : a) 14 ; b) 9 ; c) 5 ; d) 23.

Plus de la moitié des candidats ont choisi 5 : la formulation pousse le cerveau à calculer automatiquement 14 − 9. Analysons plutôt l’énoncé.

Analyse raisonnée de la question sur les survivants

De qui parle-t-on ?	De personnes.
Combien sont-elles ?	14.
Combien de personnes meurent ?	Toutes sauf 9.
Combien survivent ?	9.

Le premier sous-problème est donc toujours : que demande le problème ? Si la demande n’est pas comprise, le raisonnement qui suit ne peut pas mener à la bonne réponse.

4. Du langage naturel au langage algébrique

De nombreux problèmes se résolvent en traduisant les données en langage algébrique, mais ce passage n’est pas immédiat. L’algèbre rend visible une règle qui peut rester cachée dans les cas numériques.

Considérons la phrase : « Toi et moi avons ensemble 40 ans. » Si nous connaissons l’un des deux âges, nous pouvons déterminer l’autre :

j’ai 30 ans  →  tu as 40 − 30 = 10 ans
j’ai 35 ans  →  tu as 40 − 35 = 5 ans
j’ai x ans   →  tu as 40 − x ans

Dire seulement que 30 + 10 = 40 et 35 + 5 = 40 vérifie les deux exemples, mais n’énonce pas encore la règle. La règle numérique est « soustraire l’âge connu de 40 » ; sa formulation algébrique est x ↦ 40 − x.

Lorsque nous savons exécuter une procédure avec des nombres, nous devons nous demander quelle règle nous avons utilisée et tenter de l’exprimer algébriquement.

5. Problèmes guidés

Pour habituer les élèves à traduire le langage naturel en algèbre, il est utile de les guider par des questions bien choisies. Dans les problèmes suivants, nous faisons comme si nous connaissions la réponse, nous la représentons par une lettre, puis nous utilisons les informations de l’énoncé pour construire l’équation.

5.1. Problème guidé 1 : l’âge de Claudia

Si l’on demandait son âge à Claudia, elle répondrait : « Si j’avais 4 ans de plus, je dépasserais 20 ans d’autant d’années qu’il m’en manque actuellement pour les atteindre. » Quel âge a-t-elle ?

Traduction du problème sur l’âge de Claudia

Âge actuel supposé	x
Âge si elle avait 4 ans de plus	x + 4
Nombre d’années qui lui manquent pour atteindre 20 ans	20 − x
Équation	x + 4 = 20 + (20 − x)

x + 4 = 20 + 20 − x
x + x = 40 − 4
2x = 36
x = 18

Claudia a 18 ans. Avec quatre ans de plus, elle en aurait 22 et dépasserait 20 de 2 ans, exactement le nombre d’années qui lui manquent aujourd’hui.

5.2. Problème guidé 2 : les réponses d’Alberto

La grand-mère d’Alberto lui pose vingt questions. Elle lui donne 3 euros pour chaque bonne réponse et lui retire 2 euros pour chaque mauvaise réponse. À la fin, Alberto reçoit 10 euros. À combien de questions a-t-il répondu correctement ?

Traduction du problème des réponses

Nombre supposé de bonnes réponses	x
Mauvaises réponses	20 − x
Gain dû aux bonnes réponses	3x
Perte due aux mauvaises réponses	2(20 − x)
Solde	3x − 2(20 − x) = 10

3x − 40 + 2x = 10
5x = 50
x = 10

Alberto a donné 10 bonnes et 10 mauvaises réponses : il a gagné 30 euros et en a perdu 20, soit un solde de 10 euros.

5.3. Problème guidé 3 : les pièces du distributeur

Un distributeur de boissons chaudes accepte les pièces de 0,50 €, 1 € et 2 €. Sa caisse contient au total 100 €. Les pièces de 1 € sont trois fois plus nombreuses que celles de 0,50 € ; les pièces de 2 € sont 45 de moins que celles de 1 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque valeur ?

Traduction du problème des pièces

Nombre supposé de pièces de 0,50 €	x
Pièces de 1 €	3x
Pièces de 2 €	3x − 45
Valeur totale	(1/2)x + 3x + 2(3x − 45) = 100

x + 6x + 12x − 180 = 200
19x = 380
x = 20

Il y a 20 pièces de 0,50 €, 60 pièces de 1 € et 15 pièces de 2 €. La vérification donne 10 + 60 + 30 = 100 €.

5.4. Problème guidé 4 : le carré d’élèves

Ce problème est un peu plus difficile : il faut demander ce qui ne change pas dans les deux situations. En outre, l’inconnue n’est pas directement la réponse demandée.

Lorsque les élèves d’une classe forment un carré, il en reste 8. Si l’on augmente d’une unité le côté du carré, il manque au contraire 1 élève. Combien y a-t-il d’élèves ?

Traduction du problème du carré

Côté supposé du premier carré	x
Nombre d’élèves dans la première disposition	x² + 8
Côté du second carré	x + 1
Nombre d’élèves dans la seconde disposition	(x + 1)² − 1
Équation	x² + 8 = (x + 1)² − 1

x² + 8 = x² + 2x + 1 − 1
8 = 2x
x = 4

Il y a 4² + 8 = 24 élèves, ou de façon équivalente 5² − 1 = 24.

6. Formaliser le problème des poules et des lapins

Il est souvent possible de résoudre un problème sans équations, mais le raisonnement nécessaire n’est pas toujours évident. Un phénomène intéressant se produit si nous résolvons d’abord le problème sous une forme générale, avec des paramètres - des données connues représentées par des symboles plutôt que par des nombres : la formule obtenue révèle le raisonnement arithmétique qui avait pu nous échapper.

Un fermier élève des poules et des lapins. Il possède 55 animaux ayant au total 160 pattes. Combien y a-t-il de lapins et de poules ?

Animaux et pattes dans le cas numérique

Quantité	Lapins	Poules
Nombre d’animaux	x	55 − x
Nombre de pattes	4x	2(55 − x)

L’affirmation « il y a au total 160 pattes » produit l’équation :

4x + 2(55 − x) = 160
4x + 110 − 2x = 160
2x = 50
x = 25 lapins
55 − x = 30 poules

Généralisation

Supposons maintenant que le fermier possède T animaux ayant au total Z pattes. Si x est le nombre de lapins, le nombre de poules est T − x. Les lapins ont 4x pattes et les poules 2(T − x) pattes.

4x + 2(T − x) = Z
4x + 2T − 2x = Z
2x = Z − 2T
x = (Z − 2T) / 2                 lapins
T − x = (4T − Z) / 2             poules

Pour obtenir des nombres entiers non négatifs d’animaux, T et Z doivent être entiers, Z doit être pair et 2T ≤ Z ≤ 4T. Dans ces conditions, les deux formules donnent des entiers compris entre 0 et T.

Les deux formules ont un sens concret. 2T est le nombre de pattes que nous aurions si tous les animaux étaient des poules. La différence Z − 2T laisse deux pattes supplémentaires pour chaque lapin ; en divisant par 2, nous obtenons donc le nombre de lapins.

De même, 4T est le nombre de pattes que nous aurions si tous les animaux étaient des lapins. La différence 4T − Z laisse deux pattes pour chaque poule ; en divisant par 2, nous obtenons le nombre de poules. L’algèbre a rendu explicite une procédure arithmétique.

7. Ce n’est pas toujours facile

Plus nous examinons de problèmes, plus il devient clair qu’une traduction mécanique du langage naturel ne suffit pas. Il faut traiter les informations, y réfléchir et en déduire d’autres. Il n’existe pas de schéma unique, hormis le processus général d’élaboration de l’information.

Deux questions sont cependant souvent décisives :

• où se trouve l’égalité ?
• qu’est-ce qui n’a pas changé dans les situations décrites ?

Trois situations à explorer

1. Il y a 158 élèves, et les filles sont plus nombreuses que les garçons. Un onzième des filles porte des lunettes, tandis qu’un septième des garçons en porte. Combien y a-t-il de garçons et de filles ?

2. Des frères et des sœurs sont assis autour d’une table. Aldo dit : « Le nombre de mes frères est égal au nombre de mes sœurs. » Claudia dit : « Le nombre de mes frères est le double de celui de mes sœurs. » Combien y a-t-il de frères et de sœurs ?

3. Marco a 6 ans de plus que sa femme Mara. Marco dit : « Il y a quatre ans, j’étais marié depuis un nombre d’années égal à la moitié de mon âge à cette époque. » Mara dit : « Dans dix ans, j’aurai passé mariée les deux tiers de ta vie. » Depuis combien d’années sont-ils mariés et quel âge a chacun ?

Le document d’origine développe en détail le premier exemple. Les deux autres montrent à quel point il peut être difficile de repérer l’égalité cachée dans des relations familiales et temporelles.

7.1. Garçons et filles : utiliser la divisibilité

Dans le premier exemple, aucune équation ne s’impose immédiatement, mais l’énoncé permet de déduire deux contraintes :

• si un onzième des filles porte des lunettes, le nombre de filles doit être un multiple de 11 ;
• si un septième des garçons porte des lunettes, le nombre de garçons doit être un multiple de 7.

Comme les filles sont plus nombreuses, leur nombre F est supérieur à la moitié de 158 : F > 79. Le premier multiple de 11 à tester est donc 88. Pour chaque multiple, calculons M = 158 − F et vérifions si M/7 est entier.

Recherche du nombre de filles F et de garçons M

Multiplicateur k	F = 11k	M = 158 − F	M/7
8	88	70	10
9	99	59	8,428571
10	110	48	6,857143
11	121	37	5,285714
12	132	26	3,714286
13	143	15	2,142857
14	154	4	0,571429
15	165	−7	−1

La seule solution admissible est 88 filles et 70 garçons. Cette méthode, facile à reproduire dans un tableur, transforme les informations sur les fractions en conditions de divisibilité.

7.2. Qu’est-ce qui ne change pas ?

Un navire transporte 20 hommes et dispose d’assez d’eau pour 33 jours. Deux naufragés montent à bord et le capitaine réduit la ration quotidienne d’eau aux 5/6 de la ration initiale. Pendant combien de jours l’eau durera-t-elle désormais ?

Supposons que nous connaissions la nouvelle autonomie et notons-la x. La question décisive est : qu’est-ce qui ne change pas entre les deux situations ? La quantité totale d’eau disponible ne change pas.

La même quantité d’eau dans les deux situations

Première situation	20 · 33 · 1 rations
Seconde situation	22 · x · 5/6 rations

20 · 33 · 1 = 22 · x · 5/6
x = (6/5) · (20 · 33 / 22)
x = 36

Avec 22 personnes et une ration réduite aux cinq sixièmes, l’eau dure 36 jours.

7.3. Raisonner à rebours

Trois amis, A, B et C, possèdent ensemble 48 euros. D’abord A donne à B une somme qui double l’argent de B ; puis B donne à C une somme qui double l’argent de C ; enfin C donne à A une somme qui double l’argent de A. À la fin, tous trois possèdent la même somme. Combien avaient-ils au départ ?

Procédons pas à pas à rebours. À la fin, chacun possède 48/3 = 16 euros :

situation finale :            A = 16, B = 16, C = 16

Lors de la dernière opération, A a doublé son argent : juste avant, il avait 8 euros et C lui en a donné 8. Avant ce don, C possédait donc 16 + 8 = 24.

avant la dernière opération : A = 8,  B = 16, C = 24

Lors de l’opération précédente, C avait doublé son argent : juste avant, il avait 12 euros et B lui en a donné 12. Avant ce don, B possédait donc 16 + 12 = 28.

avant la deuxième opération : A = 8,  B = 28, C = 12

Lors de la première opération, B avait doublé son argent : juste avant, il avait 14 euros et A lui en a donné 14. Avant ce don, A possédait donc 8 + 14 = 22.

situation initiale :          A = 22, B = 14, C = 12

La situation initiale recherchée est donc A = 22 €, B = 14 €, C = 12 €. Un système de trois inconnues serait possible, mais beaucoup plus laborieux que le raisonnement à rebours.

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Sous la direction de Salvatore Mosaico.