La solución no basta: la herencia de Fibonacci

Artículo original de Salvatore Mosaico: «La soluzione non basta», publicado en Alice & Bob, n.º 17, el 18 de mayo de 2010. La demostración atribuida a ChatGPT es una ampliación posterior y no formaba parte de la publicación original.

Resumen

Siempre me ha impresionado la imaginación de los matemáticos antiguos. Inventaron problemas muy bellos, pero las soluciones que ofrecen a menudo no están demostradas: se limitan a indicar el resultado con el que se pueden comprobar los datos del problema. Con las técnicas actuales podemos buscar la solución mediante ecuaciones, sistemas u otras herramientas.

Sin embargo, leí las soluciones modernas de dos problemas de Fibonacci tomados del Liber Abaci. Aunque son correctas, me dejan perplejo: encuentran los números, pero no resuelven el problema en su esencia, porque no explican por qué funciona el mecanismo. En este artículo intento dar una explicación y también una generalización.

Introducción

Al leer el libro Juegos matemáticos de la Edad Media, coordinado por Nando Geronimi, me quedé perplejo ante la solución propuesta para el siguiente problema.

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/7 de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/7 de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/7 de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/7 de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Nota. El problema aparece en la parte séptima del capítulo XII del Liber Abaci, con el título «La herencia de los bienes de un hombre», en el folio 70 recto del manuscrito.

La solución propuesta

La solución propuesta calcula cuánto recibe el primer hijo y cuánto recibe el segundo, y después exige que ambas cantidades sean iguales. Indicamos con N el número de hijos y con S la cantidad que recibe cada uno; N · S representa toda la herencia.

Primer hijo:  1 + (N · S − 1) / 7
Segundo hijo: 2 + ((N − 1) · S − 2) / 7

Como ambos reciben S, se obtiene el sistema:

1 + (N · S − 1) / 7 = S
2 + ((N − 1) · S − 2) / 7 = S

Al resolverlo se obtienen N = 6 y S = 6.

Comprobación con 36 besantes

Mi perplejidad nace del hecho de que, aunque el razonamiento es correcto, no parte de la hipótesis completa: no hay solamente dos hijos. Además, ¿por qué el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto reciben también la misma cantidad?

Una solución que utiliza todos los datos

Partamos de la hipótesis correcta. Sea T toda la herencia y sea k la cantidad que recibe cada hijo. Antes del turno del hijo j ya se han distribuido (j − 1)k monedas. Por tanto, el hijo j recibe:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7

Como cada hijo recibe la misma cantidad, para j = 1, 2, 3, … podemos escribir:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7 = k

Multiplicamos ambos miembros por 7 y desarrollamos:

7j + T − (j − 1)k − j = 7k
7j + T − jk + k − j = 7k
T + k − 7k = jk − 7j + j
T − 6k = jk − 6j
T − 6k = j(k − 6)

Esta igualdad debe ser cierta para todo j. Eso solo ocurre si T − 6k = 0 y k − 6 = 0. Por consiguiente, k = 6 y T = 36.

La primera generalización

En este problema, 7 = k + 1. Probemos a sustituir el denominador 7 por k + 1 y veamos qué ocurre. Es un intento exploratorio: esta coincidencia, por sí sola, no garantiza que la fórmula funcione en los demás casos.

j + [T − (j − 1)k − j] / (k + 1) = k

Al multiplicar ambos miembros por k + 1 obtenemos:

(k + 1)j + T − (j − 1)k − j = (k + 1)k
(k + 1)j + T − jk + k − j = (k + 1)k
kj + j + T − jk + k − j = (k + 1)k
T + k = k² + k
T = k²

Por qué funciona siempre — nota de ChatGPT

Nota explicativa elaborada por ChatGPT en diálogo con Salvatore Mosaico, añadida después del artículo original de 2010. Este razonamiento no parte de la solución: parte únicamente de la exigencia de que las partes sean iguales.

Consideremos dos hijos consecutivos. El siguiente toma un besante fijo más. Para recibir la misma cantidad total, debe recibir un besante menos de la parte fraccionaria.

La fracción es un séptimo: para que esa parte disminuya en un besante, su base de cálculo debe disminuir en siete. ¿De dónde procede esta disminución? De la parte todavía desconocida asignada al hijo anterior y del besante fijo adicional retirado para el siguiente.

Llamemos k a la parte común. Sin conocer previamente su valor, obtenemos:

k + 1 = 7 → k = 6

La parte de seis besantes se deduce de la compensación; no era nuestro punto de partida. El primer hijo debe recibir seis: un besante fijo y cinco de la fracción. Tras retirar el primer besante deben quedar 5 × 7 = 35 besantes; la herencia inicial es 36. Repartida en partes de seis, corresponde a seis hijos.

¿Por qué continúa el mecanismo? Tras asignar una parte de seis, la base fraccionaria siguiente disminuye en 6 + 1 = 7. El séptimo disminuye en uno y la parte fija aumenta en uno: el total sigue siendo seis. El primer turno funciona y cada turno reproduce la misma compensación hasta el último:

1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1 = 6 + 0

En general, con denominador d y parte común k, la base disminuye en k + 1. La compensación exige (k + 1)/d = 1, de modo que k = d − 1. Para el primer hijo, 1 + (T − 1)/d = d − 1 da T = (d − 1)² y n = T/k = d − 1. Para al menos dos hijos y la misma regla hasta el último turno, tomamos un entero d ≥ 3. La compensación conserva la parte en cada turno hasta agotar la herencia.

El mecanismo es fácil de comprobar una vez identificado qué comparar; descubrirlo no es necesariamente inmediato. La demostración siguiente formaliza esta explicación.

Demostración de la generalización — aportación de ChatGPT

Esta demostración fue elaborada por ChatGPT en diálogo con Salvatore Mosaico, como ampliación posterior al artículo de 2010. El intento exploratorio y la generalización anteriores pertenecen al autor; aquí se explicitan su necesidad, su suficiencia y el mecanismo de compensación.

1. Un denominador independiente

No supongamos que el denominador es k + 1: llamémoslo d. Sean T la herencia, k > 0 la parte común y n ≥ 2 el número de hijos; d > 1. Adoptamos la regla uniforme de las comprobaciones: también el último hijo sigue el mismo procedimiento y agota la herencia. Si «el último toma todo» fuera una excepción, habría que precisar las condiciones por separado.

Antes del hijo j, los j − 1 hijos anteriores han recibido (j − 1)k. El hijo j toma j besantes y después 1/d del resto. La igualdad de las partes exige:

j + [T − (j − 1)k − j]/d = k
dj + T − (j − 1)k − j = dk
dj + T − jk + k − j = dk
T − (d − 1)k = j[k − (d − 1)]

2. Por qué debe cumplirse d = k + 1

El último miembro de la derecha debe dar el mismo valor para todo j. Escribámoslo para j = 1 y j = 2 y restemos:

j = 1:  T − (d − 1)k = k − (d − 1)
j = 2:  T − (d − 1)k = 2[k − (d − 1)]
0 = k − (d − 1)
k = d − 1;  d = k + 1

La relación d = k + 1 ya no es una suposición: es necesaria. Sustituyéndola y utilizando T = nk, obtenemos:

T = (d − 1)k = k²
T = nk;  nk = k²;  n = k
d = n + 1;  k = n;  T = n²

3. Por qué funciona para todos los hijos

Las condiciones necesarias no bastan: comprobemos la suficiencia. Elegimos un entero n ≥ 2, una herencia n² y el denominador n + 1. Supongamos que los primeros j − 1 hijos han recibido n cada uno. Tras asignar los j besantes fijos al hijo j, quedan:

n² − (j − 1)n − j
= n² − jn + n − j
= (n + 1)(n − j)
j + [(n + 1)(n − j)]/(n + 1) = j + (n − j) = n

La parte fraccionaria es n − j. La parte total es, por tanto, j + (n − j) = n. Para j = 1 no hay partes anteriores que suponer: queda verificado el primer paso. El razonamiento pasa después de cada hijo al siguiente. Para 1 ≤ j ≤ n el resto no es negativo; la última parte es n + 0 y quedan n² − n × n = 0. Es una demostración por inducción, no una comprobación limitada a algunos ejemplos.

4. El mecanismo de compensación

De un hijo al siguiente, la parte fija aumenta en 1. La base sobre la que se calcula la fracción disminuye en k + 1: k ya asignados al hijo anterior, más un besante fijo adicional para el siguiente. La parte fraccionaria disminuye en (k + 1)/d. Para compensar exactamente el aumento fijo, debe ser (k + 1)/d = 1, es decir, d = k + 1. Esto explica el mecanismo.

5. Comparación con la segunda forma

En la segunda forma, descrita más adelante, se calcula primero la fracción del dinero disponible y después se añaden j besantes. Se obtiene:

j + [T − (j − 1)k]/d = k
T − (d − 1)k = j(k − d)
k = d;  T = d(d − 1);  n = d − 1
d = n + 1;  k = n + 1;  T = n(n + 1)

La base fraccionaria disminuye ahora solo en k. La compensación exige k/d = 1. También se comprueba la suficiencia: si T = n(n + 1) y cada hijo anterior recibió n + 1, el hijo j recibe (n − j + 1) + j = n + 1, hasta agotar la herencia.

6. Una precisión sobre las dos primeras ecuaciones

Usar las ecuaciones de los dos primeros hijos no significa suponer que solo hay dos hijos: esas condiciones son necesarias aunque haya muchos. Después de encontrar los valores candidatos, hay que demostrar que funcionan para todos y agotan la herencia. La fórmula con j hace explícito ese paso. La exploración cuenta el descubrimiento; el denominador independiente demuestra la necesidad; la inducción demuestra la suficiencia.

Como la herencia total también es T = N · k, de la igualdad T = k² se deduce N = k (para k > 0). Por tanto, la situación se produce cuando la herencia es el cuadrado del número de hijos.

Ejemplo con 8 hijos y 64 besantes

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/9 de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/9 de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/9 de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/9 de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Ejemplo con 9 hijos y 81 besantes

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/10 de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/10 de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/10 de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/10 de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Comprobación sintética. Antes del turno del hijo j quedan 81 − (j − 1) · 9 = 9(10 − j) besantes. Por tanto, su parte es:

j + [9(10 − j) − j] / 10 = 9

Esta identidad se cumple para todo j = 1, …, 9; en consecuencia, los nueve hijos reciben 9 besantes cada uno.

Conclusiones sobre la primera forma

En general, si hay n hijos y una herencia de n² besantes, el enunciado se convierte en:

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/(n + 1) de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/(n + 1) de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/(n + 1) de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/(n + 1) de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Respuesta: había n hijos, la herencia era de n² besantes y cada hijo recibió n besantes.

Una segunda forma del problema

Con el mismo procedimiento también se puede generalizar el problema siguiente, en el cual primero se calcula la fracción del dinero disponible y después se suma el número fijo de besantes.

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Hijos míos, repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1/7 de todos los besantes más 1 besante».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 1/7 de los besantes restantes más otros 2 besantes».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1/7 de los besantes restantes y un besante más que al hijo anterior.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Nota. Este problema también aparece en la parte séptima del capítulo XII del Liber Abaci, con el título «La herencia de los bienes de un hombre», en el folio 70 recto del manuscrito.

La solución propuesta vuelve a representar con N el número de hijos y con S la parte de cada uno:

Primer hijo:  (N · S) / 7 + 1 = S
Segundo hijo: ((N − 1) · S) / 7 + 2 = S

Las soluciones son N = 6 y S = 7.

Comprobación con 42 besantes

De manera análoga a lo anterior, se demuestra fácilmente que, en general, si n es el número de hijos, la herencia es n(n + 1) y cada uno recibe n + 1 besantes. El enunciado es:

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Hijos míos, repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1/(n + 1) de todos los besantes más 1 besante».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 1/(n + 1) de los besantes restantes más otros 2 besantes».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1/(n + 1) de los besantes restantes y un besante más que al hijo anterior.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Demostración de la segunda generalización

Sean T = n(n + 1) la herencia y k = n + 1 la parte común. Antes del turno del hijo j queda:

T − (j − 1)k = (n − j + 1)(n + 1)

La cantidad recibida por el hijo j es, por tanto:

[T − (j − 1)k] / (n + 1) + j
= n − j + 1 + j
= n + 1

El cálculo es válido para todo j = 1, …, n; por consiguiente, los n hijos reciben la misma parte.

Respuesta: hay n hijos, cada uno recibe n + 1 besantes y la herencia es de n(n + 1) besantes.

Preparado por Salvatore Mosaico.

De 2010 a 2026: el problema de la herencia generalizado