La solución no basta: la herencia de Fibonacci

Resumen

Siempre me ha impresionado la imaginación de los matemáticos antiguos. Inventaron problemas muy bellos, pero las soluciones que ofrecen a menudo no están demostradas: se limitan a indicar el resultado con el que se pueden comprobar los datos del problema. Con las técnicas actuales podemos buscar la solución mediante ecuaciones, sistemas u otras herramientas.

Sin embargo, leí las soluciones modernas de dos problemas de Fibonacci tomados del Liber Abaci. Aunque son correctas, me dejan perplejo: encuentran los números, pero no resuelven el problema en su esencia, porque no explican por qué funciona el mecanismo. En este artículo intento dar una explicación y también una generalización.

Introducción

Al leer el libro Juegos matemáticos de la Edad Media, coordinado por Nando Geronimi, me quedé perplejo ante la solución propuesta para el siguiente problema.

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/7 de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/7 de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/7 de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/7 de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Nota. El problema aparece en la parte séptima del capítulo XII del Liber Abaci, con el título «La herencia de los bienes de un hombre», en el folio 70 recto del manuscrito.

La solución propuesta

La solución propuesta calcula cuánto recibe el primer hijo y cuánto recibe el segundo, y después exige que ambas cantidades sean iguales. Indicamos con N el número de hijos y con S la cantidad que recibe cada uno; N · S representa toda la herencia.

Primer hijo:  1 + (N · S − 1) / 7
Segundo hijo: 2 + ((N − 1) · S − 2) / 7

Como ambos reciben S, se obtiene el sistema:

1 + (N · S − 1) / 7 = S
2 + ((N − 1) · S − 2) / 7 = S

Al resolverlo se obtienen N = 6 y S = 6.

Comprobación con 36 besantes

Mi perplejidad nace del hecho de que, aunque el razonamiento es correcto, no parte de la hipótesis completa: no hay solamente dos hijos. Además, ¿por qué el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto reciben también la misma cantidad?

Una solución que utiliza todos los datos

Partamos de la hipótesis correcta. Sea T toda la herencia y sea k la cantidad que recibe cada hijo. Antes del turno del hijo j ya se han distribuido (j − 1)k monedas. Por tanto, el hijo j recibe:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7

Como cada hijo recibe la misma cantidad, para j = 1, 2, 3, … podemos escribir:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7 = k

Multiplicamos ambos miembros por 7 y desarrollamos:

7j + T − (j − 1)k − j = 7k
7j + T − jk + k − j = 7k
T + k − 7k = jk − 7j + j
T − 6k = jk − 6j
T − 6k = j(k − 6)

Esta igualdad debe ser cierta para todo j. Eso solo ocurre si T − 6k = 0 y k − 6 = 0. Por consiguiente, k = 6 y T = 36.

La primera generalización

Observamos que en el problema 7 = k + 1. Para comprobar si la estructura se puede generalizar, sustituimos el denominador 7 por k + 1:

j + [T − (j − 1)k − j] / (k + 1) = k

Al multiplicar ambos miembros por k + 1 obtenemos:

(k + 1)j + T − (j − 1)k − j = (k + 1)k
(k + 1)j + T − jk + k − j = (k + 1)k
kj + j + T − jk + k − j = (k + 1)k
T + k = k² + k
T = k²

Como la herencia total también es T = N · k, de la igualdad T = k² se deduce N = k (para k > 0). Por tanto, la situación se produce cuando la herencia es el cuadrado del número de hijos.

Ejemplo con 8 hijos y 64 besantes

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/9 de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/9 de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/9 de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/9 de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Ejemplo con 9 hijos y 81 besantes

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/10 de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/10 de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/10 de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/10 de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Comprobación sintética. Antes del turno del hijo j quedan 81 − (j − 1) · 9 = 9(10 − j) besantes. Por tanto, su parte es:

j + [9(10 − j) − j] / 10 = 9

Esta identidad se cumple para todo j = 1, …, 9; en consecuencia, los nueve hijos reciben 9 besantes cada uno.

Conclusiones sobre la primera forma

En general, si hay n hijos y una herencia de n² besantes, el enunciado se convierte en:

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1 besante y 1/(n + 1) de lo que quede».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 2 besantes y 1/(n + 1) de lo que quede».

Al tercer hijo le dijo: «Tú tomarás 3 besantes y 1/(n + 1) de lo que quede».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1 besante más que al hijo anterior y siempre 1/(n + 1) de lo que quedaba. Finalmente, el último tomó todo lo restante.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Respuesta: había n hijos, la herencia era de n² besantes y cada hijo recibió n besantes.

Una segunda forma del problema

Con el mismo procedimiento también se puede generalizar el problema siguiente, en el cual primero se calcula la fracción del dinero disponible y después se suma el número fijo de besantes.

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Hijos míos, repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1/7 de todos los besantes más 1 besante».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 1/7 de los besantes restantes más otros 2 besantes».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1/7 de los besantes restantes y un besante más que al hijo anterior.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Nota. Este problema también aparece en la parte séptima del capítulo XII del Liber Abaci, con el título «La herencia de los bienes de un hombre», en el folio 70 recto del manuscrito.

La solución propuesta vuelve a representar con N el número de hijos y con S la parte de cada uno:

Primer hijo:  (N · S) / 7 + 1 = S
Segundo hijo: ((N − 1) · S) / 7 + 2 = S

Las soluciones son N = 6 y S = 7.

Comprobación con 42 besantes

De manera análoga a lo anterior, se demuestra fácilmente que, en general, si n es el número de hijos, la herencia es n(n + 1) y cada uno recibe n + 1 besantes. El enunciado es:

Poco antes de morir, un hombre llamó a su hijo mayor y le dijo: «Hijos míos, repartid entre vosotros mis modestos bienes. Tú conservarás 1/(n + 1) de todos los besantes más 1 besante».

Al segundo hijo le dijo: «Tú tomarás 1/(n + 1) de los besantes restantes más otros 2 besantes».

Así llamó a todos sus hijos por orden decreciente de edad, dando a cada uno 1/(n + 1) de los besantes restantes y un besante más que al hijo anterior.

Después de repartir toda la herencia, los hijos vieron que cada uno había recibido el mismo número de besantes.

¿Cuántos hijos había y cuántos besantes recibió cada uno?

Demostración de la segunda generalización

Sean T = n(n + 1) la herencia y k = n + 1 la parte común. Antes del turno del hijo j queda:

T − (j − 1)k = (n − j + 1)(n + 1)

La cantidad recibida por el hijo j es, por tanto:

[T − (j − 1)k] / (n + 1) + j
= n − j + 1 + j
= n + 1

El cálculo es válido para todo j = 1, …, n; por consiguiente, los n hijos reciben la misma parte.

Respuesta: hay n hijos, cada uno recibe n + 1 besantes y la herencia es de n(n + 1) besantes.

Preparado por Salvatore Mosaico.